Primtall

Primtall er en av de konseptene som matematikere aldri vil slutte å bry seg om. Nesten all moderne matematikk, har en eller annen gang blitt brukt for å prøve å studere primtall, nettopp fordi de er utrolige mystiske, og utrolig vanskelig å forstå. Å definere et primtall, og skjønne hva de kan brukes til er relativt enkelt. Et primtall er et naturlig tall som kun kan deles på seg selv og \(1\) og fortsatt stå igjen med et naturlig tall. For eksempel er \(7\) et slikt tall, ettersom vi ikke kan dele det på noe annet tall og fortsatt få et naturlig tall. På grunn av tekniske årsaker så kaller vi ikke \(1\) et primtall. De 10 første primtallene er dermed

\[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29\]

Det som er viktig med primtall er at de danner selve byggestenene for alle andre tall. Et hvilket som helst naturlig tall kan beskrives ved å multiplisere sammen primtall. Ta for eksempel tallet \(14\). Dette kan vi beskrive som \(2\cdot 7\), der vi ser i listen over at både \(2\) og \(7\) er primtall. Et litt større eksempel kan være \(100 = 2\cdot 2 \cdot 5 \cdot 5\) eller \(196883 = 47\cdot 59 \cdot 71\). Ikke bare kan vi beskrive et hvert tall som et produkt av primtall, men måten å gjøre det på er helt unik (opp til hvilken rekkefølge vi skriver primtallene i).

Til venstre ser du igjen en liste med primtall, nemlig de åtte første primtallene. Til høyre ser vi noen tall som ser ved første øyekast litt mer kompliserte ut. Men, disse tallene er også primtall. Så, hvordan henger tallene til høyre og til venstre sammen? Klarer du å se en sammenheng før vi forklarer den under? Et hint kan være å tenke på potenser av \(2\). Dette er kanskje mer normalt å gjøre for de som har holdt på med datavitenskap eller informatikk, der binærtall er veldig mye brukt.

Sammenhengen mellom de to rekkene er som hintet sier gjennom potenser av \(2\). Tallet til høyre er på formen \(2^p-1\) der \(p\) er primtallet venstre. I noen tilfeller, så er disse nye tallene også primtall, og det er disse tilfellene vi har beskrevet til høyre. Det er derfor det mangler et tall til høyre for \(11\), ettersom

\[2^{11}-1 = 2047 = 23 \cdot 89,\]

altså er det ikke et primtall. Disse primtallene på formen \(2^p-1\) kalles Mersenne-primtall, og er veldig viktige for å forstå andre deler av matematikken. For eksempel har Mersenne-primtallene en sterk tilkobling til det som heter perfekte tall, som er tall der summen av divisorene er tallet selv. Et eksempel på et perfekt tall er \(28\), ettersom vi har divisorer \(1,2,4,7,14\), og summen av disse er \(1+2+4+7+14 = 28\). En annen viktig bruk av Mersenne-primtall er å finne store primtall. Som du ser blir tallene på høyre side veldig mye fortere større en de på venstre side. Dette gjør at vi kan bruke tall på formen \(2^p-1\) for å lete etter store primtall mye lettere enn å kun lete etter de på vanlig måte. Det største primtallet vi vet om (per 12.05.2022) er \(2^{82 589 933}-1\), som er et tall med \(24 862 048\) siffer.