Heltall modulo 7

På en ukjent planet, i et solsystem langt fra vårt eget, finnes det kanskje intelligent liv. Hvis de har utviklet seg like langt som oss er det veldig sannsynlig at de har utviklet en eller annen måte å beskrive tid på, altså en eller annen form for klokke. På jorden har vi en klokke som består av \(12\) timer, men på denne fjerne planeten har de kanskje en klokke som bruker et annet antall timer, for eksempel \(7\). En klokke med \(7\) timer oppfører seg egentlig relativt likt som en klokke med \(12\) timer, men det er noen grunnleggende forskjeller i den mer matematiske versjonen av klokken. I Seksjon 9 så vi litt på hvordan klokketallene fungerte, og vi beskrev disse med tallene \(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\). En klokke med syv timer vil dermed beskrives av tallene \(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\). For å skille disse kaller vi nå klokketallene med \(12\) timer for \(12\)-klokketallene, og klokketallene med \(7\) timer for \(7\)-klokketallene.

Vi kan fortsatt plusse sammen 2 tall fra \(7\)-klokketallene, for eksempel \(2+3=5\), akkuratt som for \(12\)-klokketallene. Men, dersom vi plusser sammen \(4\) og \(5\) får vi ikke lenger \(11\), ettersom \(11\) ikke eksisterer i \(7\)-klokketallene. Når vi lærte om \(12\)-klokketallene fant vi ut at vi måtte legge sammen tallene vanlig, og så trekke fra \(12\) helt til vi fikk et tall som var et \(12\)-klokketall. Vi kan gjøre den samme strategian for \(7\)-klokketallene. Vi får da \(4+5=2\) i \(7\)-klokketallene. For å gjøre det litt enklere for oss selv finner vi på en ny skrivemåte for å beskrive slik addisjon på en klokke med \(7\) timer. Vi skriver \(4+5 = 2 \pmod 7\). Dette gjør at vi også kan skrive \(9=2 \pmod 7\), som gjør det litt enklere å snakke om disse klokketallene.

I designet på denne seksjonen har vi listet opp tallene i \(7\)-klokketallene til venstre, men til høyre er det noen tilhørende tall som har et mønster vi kanskje ikke kjenner igjen ved første øyekast. Klarer du å finne ut hvilke tall dette er? Blir du for nyskjerrig kan du lese under for en forklaring.

Noe vi ikke sa noe om når vi snakket om \(12\)-klokketallene var multiplikasjon. Vi vet jo at det er mulig å gange sammen vanlige tall, så det burde jo fortsatt være mulig i disse klokketallene vi nå lærer om. Vi gjør akuratt samme strategi som for addisjon, der vi ganger sammen tallene som vanlig, og så trekker fra \(7\) helt til vi får et tall som er i \(7\)-klokketallene. For eksempel har vi \(5\cdot 4 = 20 = 6 \pmod 7\) og \(6\cdot 6 = 36 = 1 \pmod 7\).

Den siste ligningen vi skrev, altså \(6\cdot 6 = 1 \pmod 7\) er interessant. Med de vanlige heltallene vet vi at vi kan lage brøker, som gjør at vi får såkalte rasjonale tall, altså tall på formen \(\frac{a}{b}\) for to heltall \(a\) og \(b\). Dersom vi tar et tall \(a\), og deler på det samme tallet, altså \(\frac{a}{a}\) får vi alltid \(1\). For eksempel \(\frac{6}{6}=1\). Vi vet at å dele på et tall er egentlig det samme som å gange med inverstallet, altså å dele på \(6\) er det samme som å gange med \(\frac{1}{6}\). Hvis vi skriver det helt ut får vi \(6\cdot \frac{1}{6}=1\). Dette begynner å se litt ut som den ligningen vi hadde tildligere for \(7\)-klokketallene.

I \(7\)-klokketallene er altså det å gange med \(6\) "det samme som" å dele på \(6\). Vi sier at tallet \(6\) er inverstallet til tallet \(6\), altså er tallet \(6\) sin egen invers. Vi kan også finne inverstall for de andre tallene i \(7\)-klokketallene. Vi har selvfølgelig \(1\cdot 1 = 1 \pmod 7\), altså er også tallet \(1\) sitt egen inverstall. Vi har også \(2\cdot 4 = 8 = 1\pmod 7\), som vil si at \(4\) er inverstallet til \(2\). Tilsvarende har vi også \(4\cdot 2=8=1\pmod 7\), så \(2\) er også inverstallet til \(4\). Til sist har vi \(3\cdot 5 = 15 = 1 \pmod 7\), altså er tallene \(5\) og \(7\) inverstallene til hverandre.

Denne oppførselen til \(7\)-klokketallene er veldig spesiell, og dette fungerer ikke for \(12\)-klokketallene. For eksempel har tallet \(4\) ikke et inverstall i \(12\)-klokketallene. Det viser seg at denne oppførselen funger for klokketall med et spesielt antall timer, nemlig de med et primtall antall timer! Vi lærte litt om primtall i Seksjon 5, så les der for å lære litt mer om de. Altså har vi at alle tall i \(p\)-klokketallene, der \(p\) er et primtall, har et inverstall! Vel, det er ett unntak, nemlig tallet \(0\). Vi kan aldri finne et tall \(a\) slik at \(0\cdot a = 1 \pmod 7\), ettersom alt ganget med \(0\) er lik \(0\). Så egentlig har vi bare inverstall for alle tall som ikke er lik \(0\).

Tallene på høyre side av trappen er altså disse inverstallene for \(7\)-klokketallene der vi har unnlatt å skrive noe ved \(0\), ettersom dette ikke har noe inverstall.