Seksjon 2: Andre tellemetoder

I antikken ble bruk av tall mer og mer viktig for flere samfunnsfunksjoner. Noen århundre før vår tidsregning begynte det dermed i flere kulturer rundt om i verden å dukke opp mer avanserte hjelpemidler for å behandle tall. I Hellas dukket *abakusen* opp, mens i Kina brukte de en lignende konstruksjon kalt *suanpan*. En suanpan består av to inndelte seksjoner med en ytre ramme. Det er en mengde med staver plassert på tvers av seksjonene, og på hver av stavene er det syv kuler; to i den ene seksjonen og fem i den andre.

Man kan bruke en suanpan til å beskrive tall, desimaltall, heksadesimaltall, gjøre aritmetikk som addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, kvadratrøtter, etc. For å beskrive et tall i ti-tallsystemet trenger vi bare fem av de syv kulene; en fra den øvre og fire fra den nedre. Under bildet over kan du se noen tall: \(6, 3, 0, 2, 7, 1, 5, 4, 0, 8\). Klarer du å finne ut av mønsteret? altså hvordan de ulike tallene er beskrevet ved hjelp av suanpan'en?

Designet er en litt mer abstrakt representasjon av en suanpan med seks staver. Hver prikk representerer at en kule er forflyttet. De to øverste prikkene representerer den øvre seksjonen, og de fem nederste den nedre. Hver kolonne beskriver et tall, i dette tilfellet tallene \(1, 9, 6, 8, 8, 3\). Setter man disse tallene sammen for å beskrive et enkelt tall får vi altså \(196883\). Dette tallet har en viktig matematisk betydning, som vi beskriver under for de spesielt interesserte – merk at det er nogenlunde abstraks og komplisert.

Alle tallsystemer kan beskrives av en abstrakt struktur som kalles grupper. En gruppe er en samling med elementer, for eksempel tall, med en operasjon som kombinerer to tall, for eksempel addisjon eller multiplikasjon. Mer her at vi restrikterer oss til kun *én* operasjon, altså kan vi ikke både addere og gange for eksempel. Noen av de enklere gruppene er de endelige gruppene, altså de som består av bare en endelig mengdre med elementer. Et eksempel er tallene på klokken, der vi kun har \(12\) tall. For å lære mer om disse se seksjon 9 og 10. Det viser seg at endelige grupper kan bygges opp av mindre byggestener – på lik måte som alle heltal kan bygges opp av primtall. Disse byggestenene heter de *endelige simple gruppene*. Akkuratt som for primtallene ønsker vi jo å vite hvordan disse byggestenene fungerer og hvordan de ser ut. Etter mange år med aktiv forskning, bestående av tusenvis av sider med komplisert matematikk, publisert i hundrevis av artikler over flere tiår, kunne man endelig i 2004 si at man forsto alle endelige simple grupper. Det viser seg at mesteparten av de endelige simple gruppene ligger i tre familier

• Sykliske grupper av primtallsorden, for eksempel klokketallene dersom vi hadde basert de på \(13\) timer i stedenfor \(12\)
• De alternerende gruppene med grad minst \(5\)
• Grupper av Lie type (her inkluderer vi Tits-gruppen for å unngå å snakke om denne sammen med unntakene)

Hva disse to sistnevnte er skal vi ikke begi oss ut på her. I tillegg til disse tre familiene med grupper har vi 26 unntak. Disse unntakene kalles de *sporadiske* endelige simple gruppene. Den største av disse unntaksgruppene er ofte kalt *monstergruppen*. Det viser seg at denne gruppen, på en presis måte, lever i \(196883\) dimensjoner. I seksjon 13 og 14 skal vi se litt på representasjonsteori, som gjør dette konseptet litt mer formelt. Men for denne forklaringen er det nok å tenke på at dette tallet er spesielt fordi den største unntaksgruppen lever i denne dimensjonen.

Gjennom annen fantastisk matematikk fra et helt annet fagfelt ble dette tallet inspirasjonen for en av de mest overraskende sammenhengene i matematikken, kalt *monstrøst måneskinn*. Denne sammenhengen ble bevist av Richard Borcherds i 1992.