Tallfølger

En av tingene matematikere har studert i århundre er det som kalles tallfølger. En tallfølge er en sekvens av tall som tilfredstiller et eller annet mønster. Et eksempel vi har sett i seksjon 5 er primtallene og Mersenne-primtallene. Disse danner to tallfølger \(2,3,5,7,11,13,17,19,\ldots\) og \(3,7,31,127,8193,131071,\ldots\). Er det én ting matematikere elsker over alt, så er det mønstre. Dette kan være grafiske mønstre, mønstre i tall, mønstre i struktur, sammenhenger mellom to eller flere ulike matematiske konsepter, etc. Tallfølger er noen av de eldste versjonene av slike mønster som matematikere har studert.

Designet viser frem to tallfølger, kalt Fibonaccitallene og Lucastallene. Klarer du å finne mønsteret i følgene? altså, hvordan er tallene i følgen definert? Tenk litt over dette før du leser forklaringen under.

Tallfølgen til venstre, Fibonaccitallene, er en av de mest kjente tallfølgene vi har. Den er ofte sagt å beskrive naturlige fenomener, danne grunnlaget for skjønnhet, og spille inn på universets underliggende mønstre. Følgen er definert ut i fra en enkel rekursiv formel. Vi starter med tallene \(0\) og \(1\) – de to første tallene. Så legger vi disse to sammen, og får på nytt tallet \(1\). Følgen vår ser nå ut som \(0,1,1\). Vi får neste tall i følgen ved å igjen legge sammen de to tallene som kom før, i neste tilfelle tallene \(1\) og \(1\) som gir oss at neste tall i følgen er \(2\). Vi har nå følgen \(0,1,1,2\). Gjør vi det samme igjen får vi \(0,1,1,2,3\), og så videre mot uendeligheten. Den rekursive formelen vi bruker er at den \(n\)'te tallet i følgen, altså det \(n\)'te Fibonaccitallet \(F_n\), er gitt ved formelen

\[F_n = F_{n-1}+F_{n-2}.\]

Lucastallene er definert på helt samme måte, bare at isteden for å starte med tallene \(0\) og \(1\), så starter vi med tallene \(2\) og \(1\).