MA1102 våren 2011: Forelesninger

Denne siden er for ymse notater i etterkant av forelesningene.

Semesteret er over, og forelesningene med det. Jeg har flyttet notatene så alt ligger i kronologisk rekkefølge – også de siste par ukene.

Uke 2

Tirsdag

Avsnittene 8.2–8.3 om parametriske kurver og glatte sådanne. Jeg forklarte hva en parametrisk kurve er, og ga en del eksempler. Noen av eksemplene var illustrert med litt data-assistanse. Jeg har samlet disse figurene i en webside. (Figurene bruker et javascript-bibliotek, og bør virke i de fleste nettlesere, men jeg har primært testet på Firefox.)

Torsdag

Avsnittene 8.3–8.4 om glatte kurver, buelengde og arealberegninger. Men først snakket jeg litt om bokens begrep «plan kurve», som er en punktmengde i planet beskrevet av en parametrisk kurve. Siden vi ikke stiller noen krav til en parametrisk kurve utover kontinuitet, viser det seg at begrepet «plan kurve» inneholder noen overraskelser, slik som et helt kvadrat! Et kvadrat i planet kan nemlig fylles helt av en parametrisk kurve!

Uke 3

Tirsdag

Avsnitt 8.5 om polarkoordinater og kurver i polarkoordinater. Det ble mye prat og mange eksempler, men forhåpentligvis klarte jeg å formidle litt om hvordan man tenker når man tegner kurver i polarkoordinater. Særlig nyttig: Når r=0 for en gitt verdi av θ så får grafen en tangent med retning θ i origo. Situasjoner med r<0 krever spesiell omtanke. Jeg hadde et javascript-program for hånden til å tegne kurver gitt i polarkoordinater. Avsluttet med kjeglesnitt i polarkoordinater, men ble ikke riktig ferdig med det.

Torsdag

Jeg åpnet med å gjøre ferdig det om kjeglesnittene i polarkoordinater. Jeg har laget et lite notat (kun ment for spesielt interesserte, ikke pensum) som viser at kjeglesnittene uttrykt på denne måten beskriver satellittbaner – A5-format: best for å lese på skjerm; A4-format: best for utskrift. Deretter avsnitt 8.6 om vinkelbetraktninger, buelengde og arealberegninger i polarkoordinater.

Uke 4

Tirsdag

Avsnitt 4.9 om lineær tilnærming. Poenget er at deriverbarhet betyr *per definisjon* at funksjonen kan tilnærmes lineært rundt et punkt der funksjonen er deriverbar. Spørsmålet blir nå *hvor god* denne tilnærmingen er. Dersom funksjonen er to ganger deriverbar får vi en bedre tilnærming enn definisjonen skulle tilsi. Jeg varmet opp til avsnitt 4.10 ved å se på kvadratisk tilnærming, som er det samme som annengrads Taylorpolynom. Av visuelle hjelpemidler brukte jeg en pdf-fil og en geogebra-fil (mer om geogebra).

Torsdag

Avsnitt 4.10 om Taylorpolynom. Jeg definerte Taylorpolynomet som det polynomet som passer med den gitte funksjonen og alle dens deriverte i et gitt punkt opp til en bestemt orden, og viste i grufull detalj at det bare finnes ett slikt polynom og hvilke koeffisienter det har. Videre om restleddsformelen til Lagrange, og en annen restleddformel på integralform (for spesielt interesserte, ikke pensum). Men jeg hoppet over beviset, som i hovedsak er det samme som beviset for restleddet ved kvadratisk tilnærming (og *det* gjorde jeg skikkelig på tirsdag). Resten av tiden gikk til å se på noen eksempler: \((1-x)^{-1}\), \(e^x\) og \(\cos x\), alle rundt \(x=0\) (Maclaurinpolynom, altså). Spesielt for de to første analyserte jeg restleddet omhyggelig. Jeg nådde ikke «stor O-notasjon» og substitusjon for å finne for eksempel Taylorpolynomet for \(f(4x)\) gitt Taylorpolynomet for \(f(x)\). (Hint: Svaret er det du skulle forvente, nemlig \(P_n(4x)\).) Visuelle hjelpemidler: pdf-filen fra tirsdag, som har fått noen flere sider, og en Maplefil (som jeg har flikket litt på i etterkant).

Uke 5

Tirsdag

Jeg brukte hele første time på å avslutte avsnitt 4.10, med «stor O»-notasjon, Teorem 13, og anvendelse av dette på substitusjon i Taylorpolynom. Deretter gikk vi til avnsitt 4.2 om numerisk løsning av ligninger ved iterasjon og ved Newtons metode. Vi er ikke riktig ferdig med det temaet. Visulle hjelpemidler: Et par geogebrafiler for å illustrerer iterasjon og Newtons metode (de er neppe av stor nytte for de som ikke var på forelesningen og fikk dem forklart).

Torsdag

Gjorde ferdig avsnitt 4.2 med et par kvantitative resultater om konvergens for iterativ metode og Newtons metode (slides). Det siste resultatet er en forenklet utgave av Teorem 2 på side 226 i læreboken. Deretter tok jeg for meg konstruksjon av eksponential- og logaritmefunksjoner (slides, med en feil rettet på side 4 – \(A/x\) er byttet ut med \(1/(Ax)\)). Dette er basert på et notat som jeg la ut igår. Jeg nådde akkurat frem til definisjonen av den naturlige logaritmen.

Uke 6

Tirsdag

Gjorde ferdig notatet om eksponentialfunksjonen. Tok deretter fatt på avsnitt 9.1 om følger.

Torsdag

Åpnet med å presentere en liten nøtt: En kålorm kryper langs en kilometerlang gummistrikk. Den starter i den ene enden og kryper en cm per sekund, men hvert sekund strekkes hele strikken så den blir en kilometer lengre. Kommer kålormen noen gang frem til den andre enden, og hvor lang tid tar det? Deretter avsluttet jeg avsnitt 9.1 om følger og dekket en god del av 9.2 om rekker. Jeg rakk dessverre ikke teorem 4 (den såkalte n'te-leddstesten), så les det på egen hånd (det er ikke av de vanskelige teoremene, men ekstremt nyttig). Blant eksemplene jeg dekket var geometrisk rekke, teleskoprekke (eksempel 3 side 506), divergens av harmonisk rekke basert på ulikheten \[\sum_{n=2^k+1}^{2^{k+1}}\frac1n > \sum_{n=2^k+1}^{2^{k+1}}\frac1{2^{k+1}}=\frac12,\] og i full fart på slutten, konvergens av rekken \[\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}\] basert på en lignende ulikhet \[\sum_{n=2^k}^{2^{k+1}-1}\frac1{n^2} < \sum_{n=2^k}^{2^{k+1}-1}\frac1{4^{k}}=\frac1{2^k}.\] (Men jeg forklarte litt mer og skrev det ikke fullt så kort og knapt på tavlen.)

Vi var også innom kompletthetsaksiomet for de reelle tall. Dette er den fundamentale forskjellen på de reelle og de rasjonale tallene. Du kan finne mer informasjon om dette på Wikipedia. Det er også noen litteraturreferanser på slutten av wikipedia-artikkelen.

Uke 7

Tirsdag

Jeg startet med å ta opp igjen kålormen og gummistrikken, og viste at den når den andre enden av strikken – i hvert fall før det er gått \(2^{199998}\approx2.5\cdot10^{60205}\) sekunder (til sammenligning er universet bare omlag \(3.5\cdot10^{17}\) sekunder gammelt). Så viste jeg direkte at en såkalt \(p\)-rekke konvergerer når \(p>1\), og endelig kom jeg igang med avsnitt 9.3 om konvergenstester for positive rekker. Jeg utsatte integraltesten til slutt, og nådde ikke over det – så vi får ta det på torsdag.

Torsdag

Jeg brukte første økt på integraltesten, og viste med et eksempel hvordan testen kan brukes til å tilnærme summen av rekken ved å ta en delsum og så tilnærme resten ved et integral.

Andre økt ble viet avsnitt 9.4 om alternerende rekker og absolutt og betinget konvergens. I forbindelse med det noe overraskende resultatet om at en betinget konvergent rekke kan omarrangeres til å gi en hvilken som helst sum, nevnte jeg historien om Hilberts hotell i forbifarten.

Her er ett konkret eksempel på en omarrangering, som jeg ikke dekket i forelesningen: La \(s\) være summen av den alternerende harmoniske rekken: \[s=1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15-\frac16+\cdots\] (Senere skal vi vise at \(s=\ln 2\), men det er ikke nødvendig å vite ennå. Men vi trenger å vite at rekken er konvergent, som testen for alternerende rekker sier at den er.) Vi bytter om på leddene slik: For hvert positive ledd tar vi to negative ledd, og former slik en ny sum: \[s'=1-\frac12-\frac14+\frac13-\frac16-\frac18+\frac15-\frac1{10}-\frac1{12}+\cdots\] Legg merke til at hvert av de positive leddene er dobbelt så stort som det etterfølgende negative leddet. Vi gjør subtraksjonen, og står igjen med \[s'=\frac12-\frac14+\frac16-\frac18+\frac1{10}-\frac1{12}+\cdots,\] så summen av den omarrangerte rekken blir \(s'=s/2\) siden hvert av leddene er halvparten av det tilsvarende leddet i den opprinnelige rekken!

Uke 8

Tirsdag

Avsnitt 9.5 om potensrekker: Jeg gikk gjennom alle hovedresultatene og tok en del eksempler.

Torsdag

Jeg startet med å gi noen brede hint om utfordringen fra øving 5 (oppgave 3.3.54): En mulig tolkning er at \(a\) skal være grensen av følgen \(\{x,x^x,x^{x^x},\ldots\}\), en annen at \(a\) skal være definert ved relasjonen \(a=x^a\). Den andre tolkningen leder til den første dersom jeg prøver å løse ligningen ved iterasjonsmetoden: \(a_{n+1}=x^{a_n}\) og startverdi \(a_0=x\). Jeg kan også prøve å finne løsningen ved å ta \(1/a\)-te potens, som gir \(a^{1/a}=x\). Men denne ligningen (der \(a\) er den ukjente) har av og til ingen løsning, av og til to løsninger, og av og til en løsning.

Så ga jeg noen eksempler på utregning av verdier for potensrekker ved å manipulere dem inntil man har noe kjent, eller manipulere kjente rekker ved derivasjon, integrasjon, bytte ut variabelen, og sette faste potenser av den ukjente utenfor summen. For ikke å si kombinasjoner av alle disse.

Jeg avsluttet med å gi et (med vilje) feilaktig, men plausibelt bevis for teoremet om at potensrekker kan integreres leddvis. Via noen eksempler nærmet jeg meg begrepet uniform konvergens, som løser opp i vanskelighetene. Det ene eksemplet var at \(n^2x^n(1-x)\to0\) når \(n\to\infty\) for alle \(x\in[0,1]\), men likevel er \[\lim_{n\to\infty}\int_0^1 n^2x^n(1-x)\,dx=1.\] Dette er lett å vise ved direkte utregning. Jeg brukte et maple-regneark til å illustrere poenget.

Uke 9

Tirsdag

Uniform konvergens, integrasjon og derivasjon av potensrekker (slides). Startet så vidt på 9.6 og fikk i hvert fall med oss definisjonen på Taylorrekker, og det faktum at dersom en funksjon kan skrives som en sum av en potensrekke, så må potensrekken være Taylorrekken til funksjonen. Jeg ga også et eksempel på en funksjon som er uendelig deriverbar, men som ikke er summen av sin egen Maclaurinrekke: \[f(x)=\begin{cases}e^{-1/x^2}&x\ne0\\0&x=0\end{cases}\] (Alle leddene i Maclaurinrekken til denne funksjonen er null.)

Torsdag

Avsnitt 9.6–9.7. Mer grundig om konvergens av Taylor-rekkene for eksponentialfunksjonen, sinus og cosinus. Jeg viste konvergens direkte ved å estimere restleddet i Taylors formel. Så påpekte jeg hvordan bruken av imaginære verdier innsatt i rekken for eksponentialfunksjonen leder til Eulers formel. (Vi skal komme tilbake til dette.) Jeg avsluttet med eksempel 2 i 9.7 (side 547). (Slides er samme fil som på tirsdag, litt utvidet og endret.)

Uke 10

Tirsdag

Avsnitt 9.8 om binomialrekker. Hovedpoenget her er ikke så mye å bevise riktigheten av binomialformelen – men snarere det at beviset kan betraktes som et omfattende eksempel der vi får bruk for en god del av verktøykassen vi har for å håndtere potensrekker: Først identifiserte vi koeffisientene i Maclaurinrekken til \((1+x)^r\) for et generelt reelt tall \(r\) (vi kan kalle dem generaliserte binomialkoeffisienter). Så nevnte jeg i forbifarten at det er vanskelig i dette tilfellet å estimere restleddet i Taylors formel direkte, så vi trenger andre teknikker for å vise at Maclaurinrekken konvergerer mot \((1+x)^r\). Strategien ble å først finne konvergensradien til rekken (en nokså likefrem anvendelse av forholdstesten), deretter å skrive opp en ordinær differensialligning for \((1+x)^r\), så verifisere at Maclaurinrekken tilfredsstiller denne ligningen, og til sist å anvende dette for å vise at rekken konvergerer mot \((1+x)^r\) som forventet.

Etterpå ga jeg et eksplisitt eksempel på endring av rekkefølgen i en betinget konvergent rekke: \[1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15-\cdots=2\Bigl(1-\frac12-\frac14+\frac13-\frac16-\frac18+\frac15-\ldots\Bigr)\] der vi tar to negative ledd for hvert positive ledd på høyresiden. (Det som fikk det til å virke, er at hvert positivt ledd på høyresiden er dobbelt så stort som det negative bak det.) Og helt til slutt ga jeg en lynkjapp forklaring på hvorfor en tilsvarende endring av rekkefølgen ikke ville endret summen i en positiv rekke. Her var poenget at enhver delsum i den ene rekken er mindre enn eller lik en passende delsum i den andre, så vi kan vise at summen av hver rekke er mindre enn eller like summen av den andre.

Torsdag

Gibbs' fenomen Avsnitt 9.9 om Fourierrekker. Kun én slide og en Maple-fil med bilder for eksempel 4 og 5 i boken. I eksempel 5 ser du at delsummene i Fourierrekken får en «spiker» på hver side av diskontinuiteten. Dette kalles Gibbs' fenomen. Vi har ikke gjort noen bevis angående konvergensen av Fourierrekker. Men de spesielt interesserte kan ta en kikk på en artikkel av Paul R. Chernoff: Pointwise convergence of Fourier series. Amer. Math. Monthly 87 (1980), no. 5, 399–400. Artikkelen benytter den komplekse varianten av Fourierrekketeori. (NTNU har abonnement, så du skal kunne få tak i artikkelen når du er innenfor NTNUs nett. Men ikke ellers.)

Uke 11

Tirsdag

Komplekse tall og Eulers formel \(e^{it}=\cos t+i\sin t\). (Jeg har tenkt å skrive et notat om dette, men har ikke rukket det ennå.) Jeg åpnet med en historisk bemerkning: Behovet for komplekse tall er først synlig i Cardanos (egentlig de Ferro og Tartaglias) behandling av tredjegradsligningen, der komplekse tall oppstår i mellomregningen selv om sluttsvaret er reelt. Jeg argumenterte geometrisk for at multiplikasjon av komplekse tall adderer vinklene og multipliserer absoluttverdiene. Det er naturlig at \(f(t)=e^{it}\) bør oppfylle differentialligningen \(f'(t)=if(t)\). Men da følger at absoluttverdien er konstant lik 1, og vi ledes raskt til den konklusjon at \(e^{it}\) bør ligge på enhetssirkelen, i avstand \(t\) fra 1 målt langs sirkelen. Og dét beskriver nettopp \(\cos t+i\sin t\). Jeg trakk frem noen anvendelser av Eulers formel.

Torsdag

Litt mer om Eulers formel, deretter litt ymse blanding: Noe om O-notasjon, hva den betyr og hvordan den kan brukes i praksis, deretter litt om hvordan kontinuerlige funksjoner ikke trenger være stykkevis deriverbare – de trenger ikke en gang være deriverbare i noe punkt! (Maplefil.) Jeg måtte bare komme tilbake til Gibbs fenomen og hvordan det kan unngås ved å summere rekken på en litt annen måte (enda en Maplefil). Til slutt svarte jeg på et spørsmål om når man kan substituere i en potensrekke. Det korte svaret: Du kan alltid sette \(x\) lik et mer eller mindre komplisert uttrykk i en potensrekke, og svaret er gyldig så lenge verdien av uttrykket du setter inn er i konvergensintervallet til rekken. Et helt annet spørsmål er om du klarer å gjøre nytte av resultatet. Svaret er ja dersom den resulterende rekken er en ny potensrekke. Hvis ikke, er svaret «tja»: Det kommer an på hva du vil og hvor god du er til å regne.

Uke 12

Tirsdag

Først: Litt om å løse annenordens lineære differensialligninger med konstante koeffisienter ved å bruke den komplekse eksponentialfunksjonen – og hvordan bruke Eulers formel for å konvertere mellom denne måten å gjøre den på og løsningen beskrevet i avsnitt 3.7.

Deretter: Om utfordringen (oppgave 3.3.54) som ble gitt med øving 5.

Til sist tok jeg fatt på avsnitt 17.7 (rekkeløsninger til differensialligninger). Jeg gikk rett løs på eksempel 1 (Hermites ligning) uten å gjøre noen teoretiske betraktninger i forkant.

Torsdag

Mer fra avsnitt 17.7: Rekkeløsninger for det tilfellet der vi har med et regulært singulært punkt å gjøre. Spesielt tok jeg for meg løsningen av Bessels differensialligning.

Uke 13

Tirsdag

Avsnitt 6.6: Trapes- og midtpunktsregelen for numerisk integrasjon. Både hva tanken bak er, hvordan disse metodene er definert og fungerer, og feilestimater. Jeg viste feilestimatet for trapesregelen først for avsnittet \([-1,1]\) med \(n=1\), og reskalerte deretter til \([a,b]\) med \(n=1\). Estimatet for generelle \(n\) kommer ved å estimere i hvert delintervall og legge sammen. (Dette gikk litt vel kjapt på slutten av timen, så jeg får ta det litt langsommere torsdag.) Feilen i trapesregelen er typisk omtrent dobbelt så stor som feilen i midtpunktsregelen, med motsatt fortegn, så det er naturlig å kombinere dem. Resultatet vil være Simpsons formel, som er tema for torsdagen.

Torsdag

Avsnitt 6.7: Simpsons formel, og 6.8 med stopp før Rombergintegrasjon på side 381. Et lite tips: Når du skal estimere feilen i en numerisk metode er det som regel bortkastet tid å bruke mye energi på å finne det beste mulige estimatet. For Simpsons metode for eksempel, når du skal bestemme \(K\) slik at \(|f''''(x)|\le K\) på integrasjonsintervallet, så ta det ikke så nøye med å finne den beste konstanten. Om den for eksempel er dobbelt så stor som den behøvde, ender du bare med å gjøre \(n\) en faktor \(2^{1/4}=1{,}189\ldots\) større enn du ellers hadde trengt for å garantere en gitt nøyaktighet. Det er som regel en liten pris å betale.

Uke 14

Tirsdag

Fra avsnitt 17.3: Mest om eksistens- og entydighetsteori, først for førsteordens ligninger. Jeg gikk litt utenom læreboken og presenterte Peanos eksistensteorem, som sier at initialverdiproblemet for en førsteordens ordinær differensialligning har en løsning dersom høyresiden er kontinuerlig. Men jeg ga et eksempel som viste at løsningen ikke trenger være entydig. Deretter presenterte jeg Picard–Lindelöfs teorem (Theorem 3 side 947), som også gir entydighet med litt sterkere krav på høyresiden. Jeg ga til og med noen flyktige blikk på beviset, men ikke ta det så tungt om det var vrient å forstå. Endelig sa jeg et par ord om systemer av to førsteordens ligninger, og sammenhengen med annenordens ligninger (som forklarer hvorfor man trenger to initialbetingelser, vanligvis en for funksjonsverdien og en for den deriverte, for å få entydig løsning). Jeg brukte både slides og et (udokumentert!) mapleregneark.

Til sist litt om numerisk løsning av differensialligninger ved Eulers metode.

Torsdag

Mer fra 17.3. Først litt mer om entydighet. Deretter Eulers metode igjen, forbedret Euler, og Runge–Kutta. Slides.

Og dermed er jeg ferdig med pensum.

Uke 15

Tirsdag

Stort sett gjennomgang av eksamensoppgavene fra i fjor.

Torsdag

Diverse oppsummering samt noen tips om kalkulatorbruk. Jeg skal prøve å finne tid til å skrive opp noen av disse tipsene og legge dem ut.

2011-04-14, Harald Hanche-Olsen