MA1102 våren 2011 – Øvinger
Øvingene er obligatoriske og en del av pensum. For å kunne ta eksamen kreves 8 av 12 øvinger godkjent. Differansen mellom 8 og 12 er for å håndtere underkjente øvinger, sykdom og annet fravær. Ta kontakt hvis du kommer i faresonen (mangler 3–4 øvinger) slik at vi finner en løsning før det eventuelt går galt.
Innleveringssted for øvingene er 3.etg nordre lavblokk, sentralbygg 2. Hyllene finner du på venstre hånd og nederst til høyre (de er merket med fag, gruppenummer, veiledningstidspunkt og navn på stud.ass).
Oversikt over antall godkjente øvinger
Dette kan du få tilsendt på epost ved å gå inn her.
Innleveringsfrister
Første øving vil ha innleveringsfrist mandag 24/1, kl. 1600.
Fra øving 2 og utover er innleveringsfristen kl. 1600 dagen etter veiledning.
Fra og med øving 4, er innleveringsfristen kl. 1600 to dager etter veiledning (altså, veiledning på mandag betyr innleveringsfrist onsdag kl. 1600; for de med veiledning på fredag, er fristen tirsdag kl. 1600).
Veiledning
Det er ukentlig veiledning. Her får du muligheten til å diskutere både øvingsoppgavene og andre spørsmål. Tenk gjennom på forhånd hva du vil få ut av veiledningstimen. Jo bedre forberedt du er til en veiledningstime, jo mer får du ut av den.
Oppgavene til den første øvingen legges ut i løpet av første undervisningsuke. Første veiledningstime blir uken etter. Gruppeinndeling for veiledningen og oppgavene vil etterhvert komme på en egen side.
Øvingsoppgaver
| Øving | Veiledningsuke | Oppgaver | |
|---|---|---|---|
| 13 | – | «Amnestiøving» for de som har bare 7 godkjente øvinger. Se pdf-fil. Det blir ingen veiledning på denne øvingen! Innleveringsfrist fredag 6. mai. kl 1700. (Leveres i innleveringshyllene i nordre lavblokk, 3.etg SBII som vanlig.) | |
| 12 | 14 | 6.6 | 11 og regn også ut \(S_8\) |
| 6.7 | 11 | ||
| For henholdsvis trapesmetoden, midtpunktmetoden og Simpsons metode, finn en passe stor \(n\) slik at metoden med \(n\) delintervaller gir \(\int_0^1 e^{-x^2}\,dx\) med nøyaktighet bedre enn \(10^{-4}\). (Du trenger ikke regne ut tilnærmingene til integralet.) | |||
| 6.8 | 1, 7, 9, 11 (Hint for nummer 11: Det er nok å få rett svar for \(x^3\), \(x^2\), \(x\) og \(1\).) | ||
| 11 | 13 | 17.7 | 2, 3, 6, 7 |
| 4.2 | 11 | ||
| 8.6 | 19 | ||
| 10 | 12 | De fleste oppgavene er hentet fra eksamensoppgaven i desember 2010, og er denne gangen lagt ut som en pdf-fil. | |
| 9 | 11 | Vi tar med noen repetisjonsoppgaver i denne runden | |
| 9.7 | 18 (og beregn \(L(\pi/2)\) med nøyaktighet bedre enn 0,005) | ||
| 9.8 | 2 | ||
| 9.9 | 1, 4, 5 | ||
| Vis at integralet \[\int_0^\infty \frac{\sin x}x\,dx\] konvergerer ved å skrive \[\int_0^{n\pi} \frac{\sin x}x\,dx=\sum_{k=1}^n\int_{(k-1)\pi}^{k\pi} \frac{\sin x}x\,dx,\] la \(n\to\infty\) og benytte et passende konvergenskriterium. (Hint: Punktene \(k\pi\) er akkurat de punktene der \(\sin x\) skifter fortegn. Husk at \(\sin(x+\pi)=-\sin(x)\) og at \(1/x\) er en avtagende funksjon for \(x>0\), og sammenlign to naboledd i følgen.) | |||
| 4.2 | 18 | ||
| 8.4 | 16 | ||
| 8.5 | 9 | ||
| En kurve er gitt på parameterform ved \[x=\int_0^t\cos(s^2)\,ds,\quad y=\int_0^t\sin(s^2)\,ds.\] Finn buelengden av kurven fra origo til første sted på kurven (med \(t>0\)) der kurven har vertikal tangent. | |||
| 8 | 10 | 9.6 | 11, 15, 17, 33, 37 |
| 9.7 | 3, 15, 17 | ||
| Følgen av Fibonaccitall \(\{1,1,2,3,5,8,\ldots\}\) er definert ved at \(F_0=F_1=1\) og \(F_n=F_{n-1}+F_{n-2}\) for \(n=2,3,\ldots\). Det er lett å vise ved induksjon at \(F_n\le2^{n-1}\) for \(n\ge1\) (du trenger ikke gjøre det). La \(f(x)=\sum_{n=0}^\infty F_nx^n\). Vis at rekken har positiv konvergensradius, og at \(f(x)=1/(1-x-x^2)\). (Hint: Samle sammen like potenser av \(x\) i produktet \((1-x-x^2)f(x)\).) | |||
| Vis at om \[a_n=\int_{n}^{n+1}\frac{dx}{x}-\frac{1}{n+1},\quad n=1,2,\ldots\quad\text{så er}\quad 0<a_n<\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1},\] og summen \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) konvergerer. Bruk dette til å vise at grensen \[\lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1{n}-\ln n\Bigr)\] eksisterer. (Grensen kalles gjerne Eulers konstant, eller Eulers gamma. Den har verdien \(\gamma=0{,}57721\ldots\).) | |||
| 7 | 9 | 9.4 | 11, 27, 30 |
| 9.5 | 1, 4, 8, 21, 24, 28, 32 | ||
| Vis at \[\lim_{n\to\infty}\;\lim_{x\to1-}x^n\ne\lim_{x\to1-}\;\lim_{n\to\infty}x^n\] ved å regne ut begge sider. (Hint: Når du skal regne ut den innerste grensen på høyre side kan du utnytte at \(x<1\).) (Dette eksemplet viser at du ikke alltid kan bytte om grenser. Det er relevant i forbindelse med derivasjon av potensrekker. Ser du hvorfor?) |
|||
| 6 | 8 | 9.2 | 28–31 |
| 9.3 | 2, 3, 7, 11, 28, 31 | ||
| 9.4 | 1, 3, 5, 14 | ||
| 5 | 7 | 9.1 | 2, 4, 11, 24, 27, 36, og samme spørsmål som 1–13 for \(\{\sqrt{n}+(-1)^{n}\}\) |
| 9.2 | 2, 3, 10, 12, 21, 22 | ||
| Utfordring | Diskutér oppgave 3.3.54. Legg merke til at du får et problem om \(a\) er for stor, men hvor stor er for stor? Alle burde kunne komme i gang med oppgaven (det kan hende du trenger et lite hint helt i starten), men hvis du prøver å gå i dybden, kan det fort bli *svært* utfordrende. | ||
| 4 | 6 | 4.2 | 1, 6, 14, 15, 20, 22 |
| 4.10 | 21, 25, 30, 32 | ||
| Vis at dersom \(g\) er en funksjon definert på de reelle tallene og som tilfredsstiller \(g(u+v)=g(u)g(v)\) for alle \(u\) og \(v\) så er enten \(g(0)=1\), eller så er \(g(u)=0\) for alle \(u\). | |||
| 3 | 5 | 4.9 | 4, 8, 12, 18, 20, 29 |
| 4.10 | 1, 2, 8, 9, 12, 22 | ||
| 2 | 4 | 8.3 | 5 |
| 8.5 | 23, 24, 27, 30, 31 | ||
| 8.6 | 7, 11, 12, 17, 24 | ||
| 1 | 3 | 8.2 | 5, 19, 22 |
| 8.3 | 6, 15, 19, 25 | ||
| 8.4 | 1, 7, 15, 17 | ||