TMA4305 Partielle differensialligninger 2021

Exercises are not mandatory, but essential for your understanding. The oldest exercises are at the bottom. THIS LIST FROM 2020 WILL BE UPDATED (Exercises in Norwegian are from last year). EXERCISES in F3 Wednesday, 14.15 -15.00. THE FIRST SESSION ON WEDNESDAY SEPT. 1st. 2021.

Gitt en PDE med initialdata: \[ u_t+u^2u_x=0,\quad u(0,x)=\frac1{1+x^2}. \] Hva er største verdi av \(T\) slik at problemet har en klassisk løsning for \(x\in\mathbb{R}\), \(t\in[0,T)\)?

Løs initialverdiproblemet \[uu_x+y^2u_y=yu,\quad u(x,1)=x.\] Hva er det største området i planet som tillater en klassisk løsning?

Benytt løsningen til B 4.1 til å vise at den homogene bølgeligningen på et område gitt ved \(a_0<x+ct<a_1\), \(b_0<x-ct<b_1\) har generell løsning \(u(t,x)=f_1(x-ct)+f_2(x+ct)\) for funksjoner \(f_1\) og \(f_2\). Hvordan kan du utvide resultatet til \(x\in\mathbb{R}\), \(t>0\)?

En alternativ utledning av D'Alemmberts løsning: Fyll inn de manglende detaljene nedenfor.

Start med ligningen \(u_{tt}-c^2u_{xx}=0\). Anta at \(u\) er en løsning, og definer de to funksjonene \(u_t \pm c u_x\). Disse oppfyller enkle transportligninger, så hver av dem er en bølge med hastighet \(\pm c\). Med andre ord finnes funksjoner \(w_\pm\) slik at \[ \begin{aligned} u_t-cu_x &= -2c w_+'(x-ct)&&\text{(en høyrebølge),}\\ u_t+cu_x &= 2c w_-'(x+ct)&&\text{(en venstrebølge).} \end{aligned} \] (Faktorene \(\pm 2c\) og derivasjonen på høyresiden er ikke vesentlige; de er bare for å forenkle regningen videre.) Addér de to ligningene og integrer mhp \(t\), og subtraher dem og integrer mhp \(x\). Du trenger to «integrasjonskonstanter» \(C_1(x)\) og \(C_2(t)\). Konkluder at de integrasjonskonstantene må være like, og derfor en virkelig konstant \(C\). Konkluder at \[ u(t,x) = w_+(x-ct)+w_-(x+ct)+C. \]

(Men vi kan like godt inkorporere \(C\) i en av de to funksjonene \(w_{\pm}\).)

Til slutt, sett inn i initialdataene \[ u(0,x) = g(x), \quad u_t(0,x) = h(x) \] og utled D'Alemberts løsning.

Bjelkelingningen har formen \(u_{tt} + u_{xxxx} = f(t,x)\). Finn en tilhørende energitetthet og -fluks, og bruk disse til å vise entydighet av løsninger for et initial- og randverdiproblem på intervallet \((0,1)\). Det er en del av oppgaven å finne egnede initialverdier og randbetingelser som sikrer entydighet.

(a) Betrakt terningen \(Q=(0,\pi)\subset\mathbb{R}^n\) og funksjonen \[w(t,\mathbf{x})=e^{-nt}\prod_{i=1}^{n} \sin x_i\qquad(t\ge0,\mathbf{x}\in\overline{Q}).\] Verifiser at \(w\) tilfredsstiller varmeligningen.

(b) La \(\Omega\) være et område med \(\overline\Omega\subset Q\), Anta at \(u \in C\bigl([0,\infty)\times\overline{\Omega}\bigr) \cap C^2\bigl((0,\infty)\times \Omega\bigr)\) tilfredsstiller \(u_t-\Delta u=0\) for \((t,\mathbf{x}) \in (0,\infty)\times \Omega\) og \(u(t,\mathbf{x})=0\) for \((t,\mathbf{x}) \in [0,\infty)\times\partial \Omega\). Vis at \[\lim_{t\to\infty} u(t,\mathbf{x})=0\] uniformt mhp \(\mathbf{x}\).

Hint: Anvend maksimumsprinsippet på \(mw \pm u\) der \(m\) er en passe stor konstant.