Øvinger

  • For å få tilgang til eksamen må en ha minimum 8 av totalt 12 øvinger godkjent av øvingslærer.
  • Innleveringsfristen for tirsdagsgruppen er torsdag kl. 18 i samme uke, og for torsdagsgruppene er den mandag kl. 12 i påfølgende uke. Øvingene leveres i boksene i Nordre Lavblokk (3. etasje over kiosken på stripa).
  • Alle oppgavene er hentet fra læreboken (7. utgave) og gamle eksamener.
  • Vær vennlig og skriv navnet ditt tydelig på innleveringa.

For å sjekke antall godkjente øvinger kan dere bruke øvingssystemet.

Øving 1 (uke 35)

Denne øvingen inneholder kun oppgaver fra kapittel 1. Her er det flere induksjonsbevis. Husk å skriv bevisene på en slik måte at det er klart for leseren (øvingslæreren) hva det er som foregår.

Avsnitt Oppgaver
1.1 1c, 1e, 10a, 14 
1.2 3d, 7

Her er løsningsforslag.

Øving 2 (uke 36)

Kun oppgaver merket med * innleveres.

Avsnitt Oppgaver
1.2 7 (Oi, denne var på forrige øving også. 5a er et godt alternativ.) 
2.2 2, 8*
2.3 3, 4c*, 8b, 11, 21*, Bevis*: Hvis \( a \mid c \) og \(b \mid c \), hvor \( \gcd(a,b) = 1 \), så \( ab \mid c \).
2.4  2a, 2d*, 4a*

Her er løsningsforslag.

Øving 3 (uke 37)

Kun oppgaver merket med * innleveres.

Avsnitt Oppgaver
2.5 1, 2, 3d*, 6*
3.1 2, 3c*, 10*
3.2 4c, 5, 12c*
3.3  2*, 3

Her er løsningsforslag.

Øving 4 (uke 38)

Kun oppgaver merket med * innleveres.

Avsnitt Oppgaver
4.2 1a*, 1b, 2, 4, 8a, 8d*
4.3 4, 20*
4.4 1a, 1d*, 4d, 6*, 10, 18*

Her er løsningsforslag.

Øving 5 (uke 39)

Kun oppgaver merket med * innleveres. 20XXH/V betyr eksamen høst/vår 20XX. Dere finner disse under Tidligere eksamener.

Avsnitt Oppgaver
5.2 2a, 4a*, 7*, 10a
5.3 1a, 3, 5a*, 11
2006H 6*
2007H 4*
2011V 4*

Løsningsforslag.

Øving 6 (uke 40)

Dette er en repetisjonsøving for kapittel 1–5.

Kun oppgaver merket med * innleveres. 20XXH/V betyr eksamen høst/vår 20XX. Dere finner disse under Tidligere eksamener.

Avsnitt Oppgaver
2003H 1
2004H 6*
2005V 7
2006H 1*
2008H 3*, 6*
2009H 2* (hint: er det noen forskjell på ligningssystemene?), 5
2011V 5

Løsningsforslag.

Øving 7 (uke 41)

Kun oppgaver merket med * innleveres.

Avsnitt Oppgaver
6.1 8*, 12*, 17, 18
7.2 1*, 4a, 4b, 6, 9b*

Løsningsforslag.

Øving 8 (uke 42)

Kun oppgaver merket med * innleveres.

Avsnitt Oppgaver
7.2 13*, 20
7.3 1c*, 2*, 4, 5, 9*, 10*

Her er løsningsforslag.

Øving 9 (uke 43)

Kun oppgaver merket med * innleveres. 20XXH/V betyr eksamen høst/vår 20XX. Dere finner disse under Tidligere eksamener.

Avsnitt Oppgaver
7.4 13, 14*, 16 (For definisjon av reduced set of residues modulo n, se Oppg. 7.3.12.)
2004H 5
2005H 3*
2006H 5*
2007H 3*, 7

Her er løsningsforslag.

Øving 10 (uke 44)

Kun oppgaver merket med * innleveres. 20XXH/V betyr eksamen høst/vår 20XX. Dere finner disse under Tidligere eksamener.

Avsnitt Oppgaver
8.1 1a, 1b*, 2, 4, 5, 6a*, 11*
2003H 4*, 5
2004H 7* (hint til 7b: du kan anta at 37 har minst én primitiv rot (dette bevises i avsnitt 8.2))

Løsningsforslag.

Øving 11 (uke 45)

Kun oppgaver merket med * innleveres. 20XXH/V betyr eksamen høst/vår 20XX. Dere finner disse under Tidligere eksamener.

Avsnitt Oppgaver
8.2 1*, 2, 3, 4*, 7, 10*
12.1 Ekstra: Anta at \( x,y,z \) er et pytagoreisk trippel. Bruk teorem 12.1 til å vise at minst ett av tallene deles av 5.
2005V 3*, 5*, 6

Løsningsforslag.

Øving 12 (uke 46)

Kun oppgaver merket med * innleveres. 20XXH/V betyr eksamen høst/vår 20XX. Dere finner disse under Tidligere eksamener.

Avsnitt Oppgaver
12.1 1b* (kun for \( x = 40 \)), 4*, 8*, 11
12.2 1*, 3 (hint: bruk teorem 12.3 og 12.4 (det siste har vi ikke bevist))
Ekstra 1: Vis at hvis \( (x,y,z) \) er et primitivt pytagoreisk trippel, så deler \( 3 \) nøyaktig én av \( x \) og \( y \).
2: Vis at hvis \( b \mid c \) så er \( \gcd(a+c,b) = \gcd(a,b) \).
3*: Vis at dersom \( a \) og \( b \) er relativt primiske, så er \( \gcd(ac,b) = \gcd(c,b) \).
Utfordring (Se oppgave 12.2.11 i boka.) Vis at alle løsninger i positive hele tall av ligninga \( 1/x^2 + 1/y^2 = 1/z^2 \), hvor \( \gcd(x,y,z) = 1 \) er gitt ved \( (x,y,z) = (bc, ac, ab) \), hvor \( (a,b,c) \) er et primitivt pytagoreisk trippel. Gi eksempler på tripler \( (x,y,z) \) som løser ligninga.
Hint: Kall \( \gcd(x,y) \) for \( c \), og skriv \( x = bc, y = ac \). Vis deretter at \( z = ab \) og at \( (a,b,c) \) er et primitivt pytagoreisk trippel.

Løsningsforslag.

Øving 13 (uke 47)

Innleveres av de som mangler en åttende øving for å få gått opp til eksamen. Kun oppgaver merket med * innleveres.

I forelesningene og i oppgavene under har jeg brukt \( F_n \) for å betegne det \( n \)te fibonaccitallet. I boka kalles dette \( u_n \).

Avsnitt Oppgaver
14.2 5, 9*, 10*, 15, 16
14.3 2a*, 10*
Ekstra 1 Vis, ved hjelp av Binets formel, at for \( n \geq 1 \), så er \( F_{n+1}^2 = F_{n+2}F_n + (-1)^n \). Dette er ligning (3) på side 292 i boka.
Hint: Binets formel sier at \( F_n = \frac1{\sqrt5} (g_+^n - g_-^n) \) hvor \( g_\pm = \frac{1 \pm \sqrt5}2 \), som er røttene i ligninga \( x^2 = x+1 \). (I boka er \( g_+ = \alpha \) og \(g_- = \beta \).) Bruk disse uttrykkene til å vise påstanden. På et eller annet tidspunkt må du bruke (vis dette først) at \( (g_+ - g_-)^2 = \frac{5(-1)^n}{g_+^ng_-^n} \). 
Ekstra 2 En ikke ukjent “nøtt” er gitt ved bildet http://i.imgur.com/zuNLXQB.png, hvor man blir bedt om å forklare hvor det siste kvadratet tok veien.
Dette er enkelt å forklare: Selv om man får inntrykk av at at begge figurene utspenner samme trekant med areal \( \frac12 \cdot 13 \cdot 5 \), så er dette ikke tilfelle. For eksempel ser man at den blå og oransje trekanten ikke er formlike, og at den øverste figuren er et konkavt trapes.
Når dette er sagt, så er det vanskelig å få øye på at den øverste er et trapes og ikke en trekant. Grunnen til dette er at fibonaccitall gir opphav til trekanter som er svært nært å være formlike. (Se etter fibonaccitall i figuren.)
I denne oppgaven skal du vise at vi kan lage flere slike eksempler på figurer som nesten er trekanter, og hvor den ene tilsynelatende “mangler” areal \( 1 \). Mer presist la \( k \geq 1 \), la den oransje trekanten ha grunnlinje \( F_{2k+1} \) og høyde \( F_{2k-1} \), og la den blå trekanten ha grunnlinje \( F_{2k+2} \) og høyde \( F_{2k} \). Vis at da har rektanglene gitt av de gule og grønne områdene areal med differanse \( 1 \). Dvs. vis at:
\( F_{2k}F_{2k+1} - F_{2k-1}F_{2k+2} = 1 \) (hint: bruk den rekursive definisjonen av fibonaccitall og ekstraoppgave 1 på denne øvinga)
(Dette viser at \( \frac{F_{2k}F_{2k+1}}{F_{2k+2}} = F_{2k-1} + \frac1{F_{2k+2}} \), så den blå og den oransje trekanten blir svært nært formlike når \( k \) blir større.)

Løsningsforslag.

2015-12-12, Magnus B. Landstad