| Dato | Avsnitt og tema |
| 17.08 | 1.1–1.2: Induksjonsbevis: metode og eksempler. Pascals regel, binomialteoremet (uten bevis). |
| 19.08 | 1.2: Bevis av binomialteoremet. 2.3: Delbarhet for heltall, definisjon 2.1 og teorem 2.2. 2.2: Teorem 2.1 (divisjonsalgoritmen), begynte på beviset. |
| 24.08 | 2.2: Fullførte bevis av Teorem 2.1. Eksempler på bruk av teoremet. 2.3: Introduserte største felles divisor, og relativt primiske tall. Viste Teorem 2.3, som sier at \( \gcd(a,b) \) alltid kan uttrykkes som en lineærkombinasjon \( ax + by \). Viste at tall er relativt primiske hvis og bare hvis en kan finne en lineærkombinasjon \( ax + by = 1 \) (Teorem 2.4). |
| 26.08 | 2.3: Mer om gcd! Spesielt beviste vi Euklids lemma (Teorem 2.5), som vil bli viktig senere. 2.4: Gikk gjennom Euklids algoritme, som beregner største felles divisor uten å ha kjennskap til primtallsfaktorene. I tillegg så vi at Euklids algoritme (ved å gå baklengs) gir største felles divisor som en lineærkombinasjon. Teorem 2.9 uten bevis. |
| 31.08 | 2.4: Bevis for Teorem 2.9 og eksempler. 3.1: Teorem 3.1 og dets to korollar med bevis. Aritmetikkens fundamentalteorem, uten bevis. |
| 02.09 | 3.1: Bevis av Teorem 3.2 (fundamentalteoremet). 3.2: Erathostenes' såld, Teorem 3.4 (Euklid): Det finnes uendelig mange primtall. 3.3: Teorem 3.6: Det finnes uendelig mange primtall på formen 4n+3. |
| 07.09 | 4.2: Grunnleggende egenskaper av kongruenser, spesielt Teorem 4.1, 4.2 og 4.3. |
| 09.09 | 4.3: Teorem 4.4, 4.5 og 4.6 (delbarhetstester for 9 og 11). 4.4: Løsninger av lineære kongruenser (Teorem 4.7) med eksempler, samt det kinesiske restteoremet (Teorem 4.8) uten bevis. |
| 14.09 | 4.4: Eksempler på bruk av det kinesiske restteoremet. 5.2: Fermats lille teorem (Teorem 5.1), dets korollar og eksempler. |
| 15.09 | 5.3: Wilsons teorem (Teorem 5.4 og kommentarer etter beviset i boka): \( n>1 \) er et primtall hvis og bare \( (n-1)! \equiv -1 \pmod n \), eksempler. Teorem 5.5, som gir løsninger av visse kvadratiske kongruenser. |
| 21.09 | 6.1: De tallteoretiske funksjonene \( \tau, \sigma, \varphi \), som henholdsvis er antallet positive divisorer, summen av de positive divisorene og antallet mindre tall relativt primiske til et tall \( n \). Teorem 6.1–6.3, som viser at \( \tau, \sigma \) er multiplikative funksjoner. Kommentarer om viktigheten til \( \varphi \). |
| 23.09 | 6.1: Repetisjon fra forrige gang. 7.2: Eulers \( \varphi \)-funksjon er multiplikativ, og formelen for \( \varphi(n) \), gitt primtallsfaktoriseringa til \( n \). (Teorem 7.1–7.3.) |
| 28.09 | Repetisjon før midtsemesterprøve. |
| 30.09 | Repetisjon før midtsemesterprøve. |
| 05.10 | Midtsemesterprøve. |
| 07.10 | 7.3: Eulers teorem 7.5. Eksempler. |
| 12.10 | 7.5: Teorem 7.6 (Gauss) og Teorem 7.7. Notat 2 om RSA: Beviste én retning av Teorem 1.2, nemlig at om \( n>1 \) er kvadratfritt, så er \( a^{k\varphi(n)+1} \equiv a \pmod n \) for alle \(a\) og alle \(k\geq0\). |
| 14.10 | Notat 1 om RSA: Selve algoritmen (se nederst side 2). Bevis for at \( m^{de} \equiv m \pmod n \), ved hjelp at Teorem 1.2 i Notat 2. Viste at dersom \( n \) er et produkt av to forskjellige primtall og vi kjenner \( \varphi(n) \), så kan vi finne primtallsfaktoriseringen. Eksempler. |
| 19.10 | RSA: Gjentok oppsett av RSA og hvorfor den fungerer. Protokoll for å gjennomføre myntkast, med eksempel i Maple. 8.1: Ordenen til et tall, og halve beviset av Teorem 8.1. |
| 21.10 | 8.1: Beviste teoremene 8.1–8.4 med korollar. Eksempler. |
| 26.10 | 8.2: Beviste Lagranges teorem 8.5, og dets korollar, som sier at ligninga \( x^k \equiv 1 \pmod p \) har nøyaktig \( k \) løsninger dersom \( k \mid (p-1) \). Beviste teorem 8.6, som garanterer eksistens av tall av orden \( k \mid (p-1) \), og videre sier at det finnes \( \varphi(k) \) inkongruente slike tall. Spesielt har alle primtall primitive røtter. |
| 28.10 | 8.2: Litt repetisjon, og hvordan finne alle tall av en gitt orden. I tillegg en kortfattet gjennomgang av Diffie–Hellmann (ikke pensum). 12.1: Pytagoreiske tripler, største felles divisor av tre tall og Lemma 1. Teorem 12.1 uten bevis (bevises neste gang). |
| 02.11 | 12.1: Beviste Teorem 12.1 og Teorem 12.1, som henholdvis gir alle primitive pytagoreiske triper, og viser at radiusen til en innskrevet sirkel i en rettvinklet trekant er er et heltall, gitt at alle sidene har heltallslengder. 12.2: Viste teorem 12.3, og dets korollar, nemlig at \( x^4 + y^4 = z^4 \) ikke har løsninger i positive heltall. |
| 04.11 | 12.1–12.2: Repetisjon av hovedresultatene. 14.2: Viste teoremene 14.1–14.3, hvor det siste sier at \( \gcd(F_m,F_n) = F_{\gcd(m,n)} \). |
| 09.11 | Viste korollaret til teorem 14.3, som sier at \( m \mid n \) hvis og bare hvis \( F_m \mid F_n \), \( m,n \geq 3 \). Viste korollaret som sier at dersom \( n \geq 5 \) og \( F_n \) er et primtall, så må \( n \) nødvendigvis også være et primtall. 14.3: Viste Binets formel, se nederst på side 296 i boka. Viste ligning (2) og (3) på side 292 ved induksjon. (Den siste kan også vises ved hjelp av Binets formel, se Øving 13). |
| 11.11 | Regnet på oppgave 1–3 eksamen høst 2014, og oppgave 5 eksamen høst 2013. |
| 16.11 | Repetisjon. |