Eksempler om integrasjon i vektorfelt

Under følger en rekke eksempler som illustrerer konseptene beskrevet i Integrasjon i vektorfelt.

Oppgave: La \(\mathcal{S}\) være kuleflaten \(x^2+y^2+z^2=2\). Bestem arealet av den delen av \(\mathcal{S}\) som ligger over kvadratet \(-1\le x\le 1, -1\le y\le 1\). Hint: Dersom du løser oppgaven ved hjelp av integrasjon kan du få bruk for at \(\int_0^1 \arcsin \frac{1}{\sqrt{2-x}} \: dx = \left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \pi\).
Løsningsvideo 1: Flateintegral over et kvadrat (metode 1)
Løsningsvideo 2: Flateintegral over et kvadrat (metode 2)

Oppgave: Er vektorfeltet \(\mathbf{F}\) gitt ved \(\mathbf{F}(x,y) = (\sin xy+xy\cos xy, x^2\cos xy)\) konservativt?
Løsningsvideo: Konservativt vektorfelt

Oppgave: Skisser vektorfeltet og finn feltlinjene for \(\mathbf{F}(x,y) = \cos y\mathbf{i}-\cos x\mathbf{j}\).
Løsningsvideo: Skissér vektorfelt og finn feltlinjer

Oppgave: Beskriv strømlinjene for hastighetsfeltet \(\mathbf{v}(x,y) = x\mathbf{i}+(x+y)\mathbf{j}\). Hint: La \(y=xv(x)\).
Løsningsvideo: Strømlinjer for hastighetsfelt

Oppgave: Regn ut \(\nabla \ln \left|\mathbf{r}\right|\), der \(\mathbf{r} = x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}\).
Løsningsvideo: Gradient av lengden til vektor

Oppgave: Evaluer \(\frac{1}{2\pi} \oint_\mathcal{C} \frac{-y\: dx+d\:dy}{x^2+y^2}\), der \(\mathcal{C}\) er orintert

• mot klokka rundt sirkelen \(x^2+y^2 = a^2\),
• med klokka rundt kvadratet med hjørner i \((-1,-1),(1,1),(-1,1)\) og \((1,-1)\),
• mot klokka rundt kanten av området bestemt av \(1\le x^2+y^2\le 4,y\ge 0\).
  

Løsningsvideo: Linjeintegral over vektorfelt

Oppgave: La \(\mathbf{F}(x,y) = (\sin xy+xy\cos xy)\mathbf{i}+x^2\cos xy\mathbf{j}\). Bestem verdien av linjeintegralet \(\oint_\mathcal{C} \mathbf{F}\cdot \mathbf{\widehat{T}}\: ds = \oint_\mathcal{C} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}\), der \(\mathcal{C}\) er kurven gitt ved \(x=\cos t, y=e^t, 0\le t\le 2\pi\).
Løsningsvideo: Linjeintegral av konservativt felt

Oppgave: En flate \(\mathcal{S}\) er formet som en kube med sidekanter \(a\) og det ene hjørnet i origo. Flata er plassert i et område hvor det er en elektrisk feltstyrke \(\mathbf{E}(x,y,z)\). Finn den totale fluksen ut av flaten \(\mathcal{S}\) for

• \(\mathbf{E}=C\mathbf{i}\)
• \(\mathbf{E} = Cx\mathbf{i}\)
• \(\mathbf{E} = Cx^2\mathbf{i}\)
• \(\mathbf{E} = Cy\mathbf{i}+Cx\mathbf{j}\),

der \(C\) er en konstant.
Løsningsvideo: Fluksintegral

Oppgave: La \(\mathcal{S}\) være den delen av flaten \(z=\ln(x^2+y^2)\) som ligger i første oktant, under planet \(z=2\). Beregn (overflate)arealet av \(\mathcal{S}\).
Løsningsvideo: Overflateareal (utregning av vanskelig integral)

Oppgave: Legemet \(T\) er avgrenset av flatene \(\mathcal{S}_1: z=4y+5, \mathcal{S}_2: z=x^2+(y+2)^2\). La \(\mathcal{C}\) være skjæringskurven mellom \(\mathcal{S}_1\) og \(\mathcal{S}_2\), orientert mot klokka sett ovenfra. Beregn linjeintegralet \(\oint_\mathcal{C}\mathbf{F}\cdot\mathbf{\widehat{T}}\: ds = \oint_\mathcal{C} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}\), der \(\mathbf{F}(x,y,z) = -y\mathbf{i}+y^2z^3\mathbf{j}+(x+y^6)\mathbf{k}\).
Løsningsvideo: Linjeintegral langs skjæringskurve

Oppgave: I vakum er Maxwells lover gitt ved ligningene \(\nabla\cdot \mathbf{B} = 0, \nabla\times \mathbf{B} = \epsilon_0\mu_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}, \nabla\cdot\mathbf{E} = 0, \nabla\times\mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\), der \(\mathbf{B}\) er det magnetiske feltet og \(\mathbf{E}\) er det elektriske feltet, og \(\epsilon_0,\mu_0\) er konstanter. Vis at i dette tilfellet så tilfreddstiller både \(\mathbf{E}\) og \(\mathbf{B}\) bølgeligningen \(u_{tt} = c^2\Delta u\), og bestem konstanten \(c\). (Hint: Ligning \( (i)\) i Theorem 3, side 915.)
Løsningsvideo: Maxwells lover

Oppgave: La \(T\) være legemet begrenset av ligningene \(z=2x^2+y^2, 2x+x^2\). La \(\mathbf{F}\) være vektorfeltet gitt ved \(\mathbf{F}(x,y,z) = (2x+x^2-z)\mathbf{i}+(-2xy)\mathbf{j}+(z-x^2)\mathbf{k}\). Finn verdien av flateintegralet \(\iint_{\mathcal{S}_1} \mathbf{F}\cdot\mathbf{\widehat{N}}\: dS\), der \(\mathcal{S}_1\) er den delen av \(T\) der \(z=2x^2+y^2\) og enhetsnormalen \(\mathbf{\widehat{N}}\) for \(\mathcal{S}_1\) har negativ \(\mathbf{k}\)-komponent. (Oppgitt formel: \(\int \cos''x\: dx = \frac{1}{n}\cos^{n-1}x\sin x+\frac{n-1}{n}\int \cos^{n-2}x\: dx\).)
Løsningsvideo: Direkte utregning av fluksintegral

Oppgave: Finn fluksen av \(\mathbf{F} = z^2\mathbf{k}\) opp gjennom den delen av sfæren \(x^2+y^2+z^2=a^2\) som ligger i første oktant i rommet.
Løsningsvideo: Fluks ut av en sfære

Oppgave: Gitt vektorfeltet \(\mathbf{F}(x,y) = \frac{x\mathbf{i}+y\mathbf{j}}{x^2+y^2}\). Er dette feltet konservativt? Finn i så fall dets potensial.
Videoeksempler: Konservativt vektorfelt

Oppgave: Finn arealet av sylinderen \(x^2+z^2=a^2\), som ligger inne i sylinderen \(y^2+z^2=a^2\).
Løsningsvideo: Areal av to kryssende sylindre

Oppgave: Finn \(\iint_\mathcal{S} y\: dS\), der \(\mathcal{S}\) er området på kjeglen \(z=\sqrt{2}\sqrt{x^2+y^2}\) som er begrenset av planet \(z=1+y\).
Løsningsvideo: Overflateintegral over en kjegle