Integrasjon i vektorfelt

  • Et vektorfelt er en funksjon som tilordner en vektor til et hvert punkt.
  • Når man integrerer en funksjon langs en kurve kalles det et linjeintegral. Når man integrerer tangentialkomponenten av et vektorfelt langs en kurve kalles det ofte også et linjeintegral.
  • Et vektorfelt kan også integreres gjennom en flate. Et slikt integral kalles fluks.



Notasjon

Notasjon

  • Vektorfelt. Et vektorfelt \(\mathrm{F}\) skrives i fet skrift for å illustrere at verdien er en vektor i hvert punkt. Komponentene i hhv. \(x\)-, \(y\)- og \(z\)-retning betegnes med \(F_1, F_2\) og \(F_3\). \(F_1\) betegner altså ikke den deriverte av \(\mathrm{F}\) med hensyn på den første variabelen, som det gjorde for flervariabelfunksjoner.



Sentrale begreper

Vektorfelt

Vektorfelt

Definisjon av vektofelt:
En funksjon som tar inn en eller flere variabler og gir ut en vektor kalles et vektorfelt. I dette faget vil vi se mest på vektorfelt fra \(\mathbb{R}^3\) til \(\mathbb{R}^3\), altså funksjoner \(\mathbf{F}(x,y,z) = F_1(x,y,z)\mathbf{i} + F_2(x,y,z) \mathbf{j} + F_3(x,y,z)\mathbf{k}\), og vektorfelt fra \(\mathbb{R}^2\) til \(\mathbb{R}^2\), altså funksjoner \(\mathbf{F}(x,y) = F_1(x,y)\mathbf{i} + F_2(x,y)\mathbf{j}\).

Relevante kapittel: 15.1
Relevante videoer: Vektorfelt

Glatt vektorfelt

Glatt vektorfelt

Definisjon av glatt:
Vi sier at et vektorfelt er glatt dersom alle dens komponenter har kontinuerlige partielle deriverte av alle ordener.

Relevante kapittel: 15.1

Feltlinjer

Feltlinjer

Definisjon av feltlinjer:
Gitt et vektorfelt \(\mathbf{F}=F_1(x,y,z) \mathbf{i}+F_2(x,y,z) \mathbf{j} + F_3(x,y,z)\mathbf{k}\) så er feltlinjene de kurvene som tangerer feltet i alle punkter langs kurven. Feltlinjene \(\mathbf{r} = x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}\) er gitt ved differensialligningene \[\frac{dx}{F_1(x,y,z)} = \frac{dy}{F_2(x,y,z)} = \frac{dz}{F_3(x,y,z)}.\]

Kommentar:
Dersom vektorfeltet beskriver et hastighetsfelt er det vanlig å kalle feltlinjene for strømlinjer.

Relevante kapittel: 15.1
Relevante videoeksempler: Skissér vektorfelt og finn feltlinjer, Strømlinjer for hastighetsfelt

Konservativt felt

Konservativt felt

Definisjon av konservativt felt:
Dersom \(\mathbf{F} = \mathbf{F}(x,y,z) = \nabla \phi(x,y,z)\) i et område \(D\) så sier vi at \(\mathbf{F}\) er et konservativt vektorfelt i området \(D\), og vi kaller funksjonen \(\phi\) for et (skalar)potensial til \(\mathbf{F}\) på \(D\).

Relevante kapittel: 15.2
Relevante videoeksempler: Konservativt vektorfelt, Konservativt vektorfelt 2
Relevante videoer: Konservative vektorfelt

Ekvipotensialflater og -kurver

Ekvipotensialflater og -kurver

Gitt et konservativt vektorfelt \(\mathbf{F} = \nabla \phi\) i tre dimensjoner så sier vi at flatene \(\phi = C\) er ekvipotensialflatene til \(\mathbf{F}\). For et konservativt vektorfelt i to dimensjoner sier vi tilsvarende at kurvene \(\phi = C\) er ekvipotensialkurvene til \(\mathbf{F}\).

Relevante kapittel: 15.2

Linjeintegral

Linjeintegral

Gitt en funksjon \(f=f(x,y,z)\) og en kurve \(\mathcal{C}\) så skriver vi \(\int_\mathcal{C} f(x,y,z)\:ds\) om linjeintegralet av \(\, f\) langs \(\mathcal{C}\). Gitt en parametrisering \(\mathbf{r}=\mathbf{r}(t), a\le t\le b\) av kurven \(\mathcal{C}\) så har man \[\int_\mathcal{C} f(x,y,z)\:ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t))\left|\frac{d\mathbf{r}}{dt}\right| \:dt.\]

Relevante kapittel: 15.3
Relevante videoer: Linjeintegral

Linjeintegral av vektorfelt

Linjeintegral av vektorfelt

Gitt et kontinuerlig vektorfelt \(\mathbf{F} = F_1\mathbf{i} + F_2\mathbf{j}+F_3\mathbf{k}\) og en glatt kurve \(\mathcal{C}\) så har man at linjeintegralet av tangentialkomponenten til \(\mathbf{F}\) langs \(\mathcal{C}\) er gitt ved \[\int_\mathcal{C} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_\mathcal{C} \mathbf{F}\cdot \mathbf{\widehat{T}}\:ds = \int_\mathcal{C} F_1(x,y,z)\:dx + F_2(x,y,z) \:dy + F_3(x,y,z) \:dz.\]

Sammenhengende og enkeltsammenhengende områder

Sammenhengende og enkeltsammenhengende områder

Definisjon av sammenhengende område:
Vi sier at et område \(D\) er sammenhengende dersom det er mulig å koble sammen alle par punkter \(P\) og \(Q\) i \(D\) ved hjelp av en stykkevis kontinuerlig kurve som er inneholdt i \(D\).

Definisjon av en enkel lukket kurve:
En lukket kurve kalles enkel dersom den ikke krysser seg selv bortsett fra at den begynner og slutter i samme punkt.

Definisjon av enkeltsammenhengende område:
Et område \(D\) kalles enkeltsammenhengende dersom det er sammenhengende og det er mulig å krympe en hver enkel lukket kurve kontinuerlig til et punkt uten å gå utenfor \(D\).

Relevante kapittel: 15.4

Parametrisk flate

Parametrisk flate

Definisjon av parametrisk flate:
I tre dimensjoner sier vi at en kontinuerlig funksjon \(\mathbf{r} = \mathbf{r}(u,v)\) definert for \(a\le u\le b, c\le v\le d\) gitt ved \[\mathbf{r}(u,v) = x(u,v)\mathbf{i} + y(u,v)\mathbf{j} + z(u,v)\mathbf{k}\] er en parametrisk flate.

Relevante kapittel: 15.5
Relevante videoer: Parametrisering av flater i rommet

Glatt flate

Glatt flate

Definisjon av glatt flate:
En flate \(\mathcal{s}\) i \(\mathbb{R}^3\) kalles glatt dersom det for hvert punkt \(P\) på \(\mathcal{S}\) er et omegn \(N\) som er definisjonsmengeden til en glatt funksjon \(g\) som oppfyller

  • \(N\cup\mathcal{S}\) er alle punkter \(Q\) i \(N\) med \(g(Q)=0\) og
  • \(\nabla g(Q)\ne \mathbf{0}\) for alle punkter \(Q\) i \(N\cup \mathcal{S}\).

Kommentar:
Sagt mindre rigorøst sier definisjonen over at en glatt flate skal kunne uttrykkes ved en ligning i \(x,y,z\), og den skal ha en normalvektor ulik null i alle punkter på flaten. For eksempel beskriver ligningen \(x^2+y^2+z^2-r^2=0\) en sfære med radius \(r\), og \(g(x,y,z) = x^2+y^2+z^2-r^2\) oppfyller kravene i definisjonen over, så sfæren er en glatt flate.

Kommentar:
For en parametrisk flate vil randen av flaten aldri oppfylle definisjonen over, men vi sier likevel at en parametrisk flate er glatt dersom kravene er oppfylt i alle andre punkter enn de på randen.

Relevante kapittel: 15.5

Flateintegral over parametrisk flate

Flateintegral over parametrisk flate

Definisjon av flateintegral:
Flateintegralet av \(f=f(\mathbf{r})\) over den parametriske flaten \(\mathcal{S}\) gitt ved \(\mathbf{r} = \mathbf{r}(u,v)\) for \( (u,v)\in D\) er \[\iint_{\mathcal{S}} f\:dS = \iint_D f(\mathbf{r}(u,v)) \left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right|\:dudv.\]

Orienterbar flate

Orienterbar flate

Definisjon av orienterbar flate:
En glatt flate \(\mathcal{S}\) i \(\mathbb{R}^3\) kalles orienterbar dersom det finnes et enhetsvektorfelt \(\mathbf{\hat{N}}(P)\) definert for alle \(P\in \mathcal{S}\) som er kontinuerlig på \(\mathcal{S}\) og som står normalt på \(\mathcal{S}\). Vektorfeltet \(\mathbf{\hat{N}}\) definerer en orientering av flaten \(\mathcal{S}\), slik at den siden \(\mathbf{\hat{N}}\) peker ut av kalles den positive siden, og den andre siden kalles den negative siden av \(\mathcal{S}\).

Relevante kapittel: 15.6

Fluks

Fluks

Definisjon av fluks av et vektorfelt gjennom en orientert flate:
Gitt et kontinuerlig vektorfelt \(\mathbf{F}\) så er fluksen av \(\mathbf{F}\) gjennom den orienterte flaten \(\mathcal{S}\) gitt ved \[\iint_\mathcal{S} \mathbf{F}\cdot \mathbf{\hat{N}}\:dS,\] der \(\mathbf{\hat{N}}\) er enhetsnormalvektoren til \(\mathcal{S}\) i positiv retning. Man skriver også \[\iint_\mathcal{S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}\] om fluksen.

Relevante kapittel: 15.6
Relevante videoeksempler: Fluksintegral, Direkte utregning av fluksintegral, Fluks ut av en sfære



Sentrale setninger

Nødvendige krav for konservativt vektorfelt to dimensjoner

Nødvendige krav for konservativt vektorfelt to dimensjoner

Teorem:
Gitt et konservativt vektorfelt \(\mathbf{F}=\mathbf{F}(x,y)=F_1(x,y)\mathbf{i}+F_2(x,y)\mathbf{j}\) i et område \(D\) i \(xy\)-planet, så holder \[\frac{\partial}{\partial y}F_1(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}F_2(x,y)\] for alle punkter \( (x,y)\) i \(D\).

Relevante kapittel: 15.2

Nødvendige krav for konservativt vektorfelt tre dimensjoner

Nødvendige krav for konservativt vektorfelt tre dimensjoner

Teorem:
Gitt et konservativt vektorfelt \(\mathbf{F}=\mathbf{F}(x,y,z)=F_1(x,y,z)\mathbf{i}+F_2(x,y,z)\mathbf{j}+F_3(x,y,z)\mathbf{k}\) i et område \(D\) i rommet, så holder \[\frac{\partial F_1}{\partial y} = \frac{\partial F_2}{\partial x},\quad \frac{\partial F_1}{\partial z} = \frac{\partial F_3}{\partial x},\quad \frac{\partial F_2}{\partial z}=\frac{\partial F_3}{\partial y}\] for alle punkter \( (x,y,z)\) i \(D\).

Relevante kapittel: 15.2

Linjeintegral uavhengig av vei

Linjeintegral uavhengig av vei

Teorem:
La \(\mathbf{F}\) være et glatt vektorfelt på det åpne, enkeltsammenhengende området \(D\). Da er følgende tre utsagn ekvivalente:

  • \(\mathbf{F}\) er konsverativ i \(D\).
  • \(\oint_\mathcal{C} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = 0\) for alle stykkvis glatte, lukkede kurver \(\mathcal{C}\) i \(D\).
  • Integralet \(\int_\mathcal{C} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}\) avhenger kun av endepunktene til kurven \(\mathcal{C}\) gitt at kurven er stykkvis glatt. Integralet blir altså det samme for alle stykkvis glatte kurver som starter i \(P_0\) og slutter i \(P_1\).

Relevante kapittel: 15.4
Relevante videoeksempler: Linjeintegral av konservativt felt



Sentrale metoder

Den deriverte av absoluttverdien \(|\mathbf{F}|\)

Den deriverte av absoluttverdien \(|\mathbf{F}|\)

Uttrykk:
Gitt et vektorfelt \(\mathbf{F} = \mathbf{F} (x,y,z)\) så gjelder det at \[\frac{\partial }{\partial x}|\mathbf{F}| = \frac{\mathbf{F}\cdot \left( \frac{\partial \mathbf{F}}{\partial x} \right)}{|\mathbf{F}|}.\] Denne regelen kan lett utledes hvis man husker at \(|\mathbf{F}| = \sqrt{\mathbf{F}\cdot \mathbf{F}}\), og deriverer det siste uttrykket med kjerneregelen og produktregelen.

Relevante kapittel: 15.2
Relevante videoeksempler: Gradient av lengden til vektor

Linjeintegral av konservativt vektorfelt

Linjeintegral av konservativt vektorfelt

Metode:
Gitt et konservativt vektorfelt der man kjenner potensialet, \(\mathbf{F}=\nabla \phi\), så er linjeintegralet av \(\mathbf{F}\) langs en kurve \(\mathcal{C}\) som starter i \(P_0\) og slutter i \(P_1\) gitt ved \[\int_\mathcal{C} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \phi(P_1)-\phi(P_0).\]

Relevante kapittel: 15.4

Uttrykk for normalvektor av parametrisk flate

Uttrykk for normalvektor av parametrisk flate

Uttrykk:
En normalvektor til den parametriske flaten \(\mathcal{S}\) gitt ved \(\mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v)\) i punktet \(\mathbf{r}(u,v)\) er gitt ved \[\mathbf{n} = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}= \frac{\partial(y,z)}{(u,v)}\mathbf{i} + \frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}\mathbf{j}+\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\mathbf{k}.\]

Relevante kapittel: 15.5

Ulike uttrykk for flateintegral

Ulike uttrykk for flateintegral

For å beregne flateintegralet av en funksjon \(f\) over en parametrisk kurve \(\mathbf{r}(u,v)\) vil man alltid kunne bruke standarduttrykket \[\iint_{\mathcal{S}} f\:dS = \iint_D f(\mathbf{r}(u,v)) \left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right|\:dudv.\]

I en del viktige spesialtilfeller vil dette uttrykket forenkle seg.

Spesialtilfelle \(z=g(x,y)\):
Gitt at man ser på en flate \(z=g(x,y)\) for \((x,y)\in D\) så blir flateintegralet av \(f\) over denne flaten \(\mathcal{S}\) være \[\iint_\mathcal{S} f\:dS = \iint_D f(x,y,g(x,y)) \sqrt{1+\left(\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)\right)^2+\left( \frac{\partial g}{\partial y}(x,y) \right)^2}\:dxdy.\]

Spesialtilfelle \(G(x,y,z) = 0\):
For en flate gitt ved ligningen \(G(x,y,z)=0\) som har en en-til-en projeksjon ned i \(xy\)-planet (for hvert punkt \( (x_0,y_0)\) i \(xy\)-planet er det maksimalt et punkt \( (x_0,y_0,z_0)\) på flaten med denne \(x\)- og \(y\)-koordinaten), så vil flateintegralet av \(f\) over denne flaten \(\mathcal{S}\) være \[\iint_\mathcal{S} f\:dS = \iint_D f(x,y,g(x,y)) \left|\frac{\nabla G(x,y,z)}{G_3(x,y,z)}\right|\: dxdy,\] der \(g(x,y)\) er løsningen for \(z\) av ligningen \(G(x,y,z)=0\).

Nyttige arealelementer

Nyttige arealelementer

Arealelement på en sfære:
For en sfære med radius \(R=a\) er arealelementet \(dS\) gitt ved \[dS = a^2\sin \phi \:d\phi d\theta,\] der \(\phi\) og \(\theta\) er vinklene som inngår i sfæriske koordinater.

Arealement på en sylinder:
Arealelementet \(dS\) på en sirkulær sylinder parallell med \(z\)-aksen som har radius \(r=a\) er gitt ved \[dS = a \:d\theta dz.\]

Relevante kapittel: 15.5
Relevante videoeksempler: Flateintegral over et kvadrat (metode 1)

Beregning av fluks

Beregning av fluks

Fluks gjennom parametrisert flate:
Dersom \(\mathcal{S}\) er en parametrisert flate gitt ved \(\mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v)=x(u,v)\mathbf{i}+y(u,v)\mathbf{j}+z(u,v)\mathbf{k}\) for \( (u,v)\in D\) så er fluksen av vektofeltet \(\mathbf{F} = F_1\mathbf{i}+F_2\mathbf{j} + F_3\mathbf{k}\) gjennom \(\mathcal{S}\) gitt ved \[\iint_\mathcal{S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \pm \iint_D \left( F_1 \frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)}+F_2\frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}+F_3\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right)\:du dv,\] der man må velge fortegnet avhengig av orienteringen til \(\mathcal{S}\).

Fluks gjennom \(G(x,y,z)=0\):
Dersom flaten \(\mathcal{S}\) er gitt ved ligningen \(G(x,y,z)=0\) og har en en-til-en projeksjon til \(xy\)-planet så er fluksen til \(\mathbf{F} = F_1\mathbf{i}+F_2\mathbf{j}+F_3\mathbf{k}\) gitt ved \[\iint_\mathcal{S} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{s} = \pm \iint_D \mathbf{F} \cdot \frac{\nabla G(x,y,z)}{G_3(x,y,z)}\:dx dy,\] der fortegnet må velges avhengig av orienteringen til \(\mathcal{S}\).

Fluks gjennom \(z=f(x,y)\):
Dersom flaten \(\mathcal{S}\) er gitt ved ligningen \(z=f(x,y)\) for \( (x,y)\in D\) så er fluksen av \(\mathbf{F}\) gjennom \(\mathcal{S}\) gitt ved \[\iint_\mathcal{S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \pm \iint_D \mathbf{F} \cdot \left( -\frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i} -\frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j} + \mathbf{k} \right)\:dx dy,\] der fortegnet settes til pluss hvis man ønsker fluksen opp gjennom flaten, og minus hvis man ønsker fluksen ned gjennom flaten.

Relevante kapittel: 15.6
Relevante videoeksempler: Fluksintegral, Direkte utregning av fluksintegral, Fluks ut av en sfære

Kapitler i boka: 15.1-15.6.
Eksempler

2019-04-01, Eirik Berge