Ekstremal- og sadelpunkt

Definisjon av kritisk punkt:
Generelt sier man at \(\mathbf{r_0}\) er et kritisk punkt for funksjonen \(f(\mathbf{r})\) dersom \[ \nabla f(\mathbf{r}_0) = \mathbf{0},\] der \(\mathbf{r}_0 \in \mathbb{R}^n\) og \(f\) er en funksjon av \(n\) variabler.

For en funksjon av to variabler \(f=f(x,y)\), sier vi at punktet \((a,b)\) er et kritisk punkt dersom \[\nabla f(a,b) = \mathbf{0}.\]

Definisjon av singulært punkt:
Gitt en funksjon \(f(\mathbf{r})\) sier vi at punktet \(\mathbf{r}_0\) er et singulært punkt til funksjonen \(f\) dersom \(\nabla f(\mathbf{r}_0)\) ikke eksisterer.

For en funksjon av to variabler \(f(x,y)\) er punktet \( (a,b)\) et singulært punkt hvis \(\nabla f(a,b)\) ikke eksisterer.

Vi ser på en funksjon \(f=f(x,y)\) av to variabler.

Definisjon av maksimumspunkt:
Punktet \( (a,b)\) er et lokalt maksimumspunkt for funksjonen \(f\) dersom \(f(x,y)\le f(a,b)\) for alle punkter \( (x,y)\) som ligger tilstrekkelig nært punktet \( (a,b)\). Dersom \(f(x,y) \le f(a,b)\) gjelder for alle punkter \( (x,y)\) sier vi at punktet \( (a,b)\) er et globalt maksimumspunkt.

Definisjon av bunnpunkt:
Punktet \( (a,b)\) er et lokalt minimumspunkt for funksjonen \(f\) dersom \(f(x,y)\ge f(a,b)\) for alle punkter \( (x,y)\) som ligger tilstrekkelig nært punktet \( (a,b)\). Dersom \(f(x,y) \ge f(a,b)\) gjelder for alle punkter \( (x,y)\) sier vi at punktet \( (a,b)\) er et globalt minimumspunkt.

Definisjon av ekstremalverdi:
Vi sier at \(f\) har en global (eller lokal) ekstremalverdi i et punkt dersom \(f\) har enten et globalt (lokalt) maks- eller minimumspunkt i dette punktet. Ekstremalverdier er altså en samlebetegnelse for maks- og minimumspunkter.

Definisjon av sadelpunkt:
Vi sier at et punkt \( (a,b)\) er et sadelpunkt for \(f\) dersom \(\nabla f(a,b)=\mathbf{0},\) men \( (a,b)\) er hverken et maks- eller minimumspunkt.

Definisjon av Lagrangefunksjonen
Gitt funksjoner \(g_1(x_1,x_2,\cdots,x_n), g_2(x_1,\cdots,x_n),\cdots,g_k(x_1,\cdots,x_n)\) og \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) sier vi at Lagrangefunksjonen er gitt ved \[L(x_1,x_2,\cdots,x_n,\lambda_1,\cdots,\lambda_k) = f(x_1,x_2,\cdots,x_n) + \lambda_1 g_1(x_1,\cdots,x_n)+\lambda_2 g_2(x_1,\cdots,x_n) +\cdots + \lambda_k g_k(x_1,\cdots,x_n).\]

Kommentar:
Lagrangefunksjonen brukes når man skal finne ekstremalpunktene til funksjonen \(f\) gitt restriksjonene \(g_1=g_2=\cdots=g_k=0\), se teoremet om langrangemultiplikatorer lenger nede.

Teorem:
En funksjon \(f(x,y)\) kan ha en lokal eller global ekstremalverdi i et punkt \( (a,b)\) på definisjonsområdet sitt kun dersom en av følgende gjelder om punktet \( (a,b)\):

• punktet er et kritisk punkt for \(f\)
• punktet er et singulært punkt for \(f\)
• punktet ligger på randen til definisjonsområdet til \(f\)

Kommentar:
Merk at kravene over kun er nødvendige krav for en ekstremalverdi. Det at et av kravene er oppfylt er ingen garanti for at man har et ekstremalpunkt.

Teorem:
Dersom \(f\) er en kontinuerlig funksjon av \(n\) variabler og har et definisjonsområde som er lukket og begrenset, slik at verdimengden til \(f\) blir en begrenset mengde med reelle tall, så vil det eksistere punkter i definisjonsmengden til \(f\) der \(f\) oppnår hhv. sitt globale maksimum og sitt globale minimum.

Andrederiverttest for funksjon av to variabler:
Anta at \( (a,b)\) er et kritisk punkt for funksjonen \(f (x,y)\) og ligger på innsiden av definisjonsområdet til \(f\). Anta også at alle andreordens partiellderiverte av \(f\) er kontinuerlige i et omegn rundt \( (a,b)\), og definer \[ A = f_{xx} (a,b),\quad B = f_{xy}(a,b) = f_{yx}(a,b), \quad C = f_{yy}(a,b).\]

• Hvis \(AC-B^2>0\) og \(A>0\) så har \(f\) et lokalt minimumspunkt i \( (a,b)\).
• Hvis \(AC-B^2>0\) og \(A<0\) så har \(f\) et lokalt maksimumspunkt i \( (a,b)\).
• Hvis \(AC-B^2 < 0\) så har \(f\) et sadelpunkt i \( (a,b)\).
• Hvis \(AC-B^2 = 0\) gir ikke denne testen noe informasjon om hva slags punkt \( (a,b)\) er.

Kommentar:
Boken bruker testdiskriminanten \(B^2-AC\), men det vanlige i litteraturen er å studere fortegnet til \(AC-B^2\).

Teorem (for funksjon av to variabler med én restriksjon)
Anta at \(f\) og \(g\) begge har kontinuerlige førsteordens partiellderiverte nær punktet \(P_0 = (x_0,y_0)\) som ligger på kurven \(C\) som er gitt ved ligningen \(g(x,y)=0\). Anta også at \(f\) har en lokal ekstremalverdi i punktet \(P_0\). Til slutt, anta at \(P_0\) ikke er et endepunkt på \(C\) og at \(\nabla g(P_0)\ne \mathbf{0}\). Da eksisterer det et tall \(\lambda_0\) slik at \( (x_0,y_0,\lambda_0)\) er et kritisk punkt for lagrangefunksjonen \[L(x,y,\lambda) = f(x,y)+\lambda g(x,y).\]

Teorem (generell versjon)
Anta at funksjonene \(f(\mathbf{x})\) og \(g_i(\mathbf{x})\) for \(1\le i\le m\) har kontinuerlige partiellderiverte opp til orden \(3\) i et omegn om punktet \(\mathbf{a}\), som oppfyller \(g_1(\mathbf{a})=g_2(\mathbf{a})=\cdots=g_m(\mathbf{a})=0\). Anta også at vektorene \(\nabla g_i(\mathbf{a})\) er lineært uavhengige i \(\mathbb{R}^n\). Da gjelder følgende resultat.
Hvis \(f\) har et lokalt ekstremalpunkt i \(\mathbf{a}\) når man kun ser på punkter \(\mathbf{x}\) som oppfyller \(g_1(\mathbf{x})=\cdots=g_m(\mathbf{x})=0\), så eksisterer det verdier \(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m\) slik at \(\mathbf{a}\) er et kritisk punkt for lagrangefunksjonen \[L(\mathbf{x},\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m) = f(\mathbf{x}) + \sum_{i=1}^m \lambda_i g_i(\mathbf{x}) .\]

Metode:
Anta at vi prøver å finne ekstremalverdiene til funksjonen \(f=f(x,y)\) på det lukkede og begrensede området \(D\). Fra teoremet om nødvendige krav for et ekstremalpunkt vet vi at vi må se på følgende punkter for å finne ekstremalverdiene til funksjonen \(f=f(x,y)\).

• Kritiske punkt. Finn alle punkter \((x,y)\) som oppfyller ligningen \(\nabla f(x,y)= \mathbf{0}\), og beregn \(f(x,y)\) i disse punktene.
• Singulære punkt. Finn alle punkter der \(\nabla f(x,y)\) er udefinert og beregn \(f(x,y)\) i disse punktene.
• Randpunkter. For å finne den største og minste funksjonsverdien langs randen bruker man f.eks. Lagrangemultiplikatormetoden.

Fra teoremet om tilstrekkelige krav for ekstremalpunkt vet vi at \(f\) oppnår sin største og minste verdi i noen av punktene vi har undersøkt over, og det globale maksimumspunktet til \(f\) blir dermed den største av alle funksjonsverdier vi fant over. Tilsvarende blir det globale minimumspunktet til \(f\) den minste av alle funksjonsverdier vi fant over.

Metode:
Anta at vi prøver å finne maksimums- og minimumsverdien av \(f=f(x,y)\) gitt restriksjonen \(g(x,y)=0\). Fra Lagranges teorem vet vi at det er nok å finne alle kritiske punkter av lagrangefunksjonen \(L(x,y,\lambda) = f(x,y) + \lambda g(x,y)\), for så å evaluere \(f\) i hvert av disse punktene og se hvilken funksjonverdi som er hhv. størst og minst. Disse verdiene gir hhv. maksimums- og minimumsverdien. De kritiske punktene finner man ved å løse ligningen \(\nabla L(x,y,\lambda) = \mathbf{0}\), eller \[\frac{\partial L}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial L}{\partial y}=0,\quad \frac{\partial L}{\partial \lambda}=0.\]

Dersom man har flere enn en restriksjon innfører man en ny parameter for hver av disse. Med to restriksjoner \(g(x,y) =0\) og \(h(x,y)=0\) blir f.eks. lagrangefunksjonen \[L(x,y,\lambda,\mu) = f(x,y) +\lambda g(x,y) + \mu h(x,y).\]