Vektorer og koordinatsystem i 3D

  • En kvadratisk flate i rommet kan beskrives ved hjelp av en ligning på formen \(Ax^2+ By^2+Cz^2+Dxy+Exz+Fyz +Gx+Hy+Iz = J\). Slike flater kan deles inn i sfærer, ellipsoider, paraboloider, hyperboloider, kjegler og sylindere.
  • Sylindriske koordinater er en annen måte å uttrykke punkter i rommet på enn vanlige kartesiske koordinater. Sylinderkoordinater er som polarkoordinater i planet men med en ekstra \(z\)-komponent.
  • Sfæriske koordinater er enda en måte å uttrykke punkter i rommet på. Her ser man på avstanden fra origo, vinkelen som dannes med planet \(y=0\) og vinkelen som dannes med den positive \(z\)-aksen.



Sentrale begrep

Trykk på det grå feltet for å se en definisjon.

Standardbasisen \(\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}\)

Standardbasisen \(\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}\)

Definisjon (av standardbasisen):
Standardbasisen i \(\mathbb{R}^3\) er gitt ved enhetsvektorene \(\mathbf{i}=(1,0,0)\), \(\mathbf{j}=(0,1,0)\) og \(\mathbf{k}=(0,0,1)\). Dette betyr at en vektor \(\mathbf{v}=(x,y,z)\) også kan skrives som \(\mathbf{v} = x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}\).

Tilsvarende har man i \(\mathbb{R}^2\) at \(\mathbf{i}=(1,0)\) og \(\mathbf{j}=(0,1)\), slik at \(\mathbf{v}=(x,y)=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}\).

Relevante kapitler i boka: 10.2

Enhetsvektor

Enhetsvektor

Definisjon av enhetsvektor:
En vektor \(\mathbf{v}\) kalles en enhetsvektor dersom lengden av \(\mathbf{v}\) er \(1\), altså dersom \(\left|\mathbf{v}\right|=1\).

Relevante kapitler i boka: 10.2

Plan i \(\mathbb{R}^3\)

Plan i \(\mathbb{R}^3\)

Ligning for et plan gitt en normalvektor og et punkt:
Planet med normalvektor \(\mathbf{n}=A\mathbf{i}+B\mathbf{j}+C\mathbf{k}\), som inneholder punktet \(P_0 = (x_0,y_0,z_0)\) gitt ved posisjonsvektoren \(\mathbf{r}_0 = x_0\mathbf{i}+y_0\mathbf{j}+z_0\mathbf{k}\) har ligning \[\mathbf{n}\cdot (\mathbf{r}-\mathbf{r}_0) = 0,\] der \(\mathbf{r}\) er posisjonsvektoren til et punkt på planet, eller tilsvarende \[A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0) = 0\] der \((x,y,z)\) er et punkt på planet.

Kommentar:
Det er ofte vanlig å skrive den siste ligningen over på standardformen \[Ax+By+Cz= D,\] der \(D=Ax_0+By_0+Cz_0\).

Relevante kapitler i boka: 8.4
Relevante videoeksempel: Skissering av plan og sylinder

Linje i \(\mathbb{R}^3\)

Linje i \(\mathbb{R}^3\)

Ligning for en linje gitt et punkt og en retning:
Linjen som passerer gjennom punktet med posisjonsvektor \(\mathbf{r}_0\) og peker i retning parallellt med \(\mathbf{v}\) er gitt ved \[\mathbf{r} = \mathbf{r}_0+t\mathbf{v},\] der \(\mathbf{r}\) er posisjonsvektoren til et punkt langs linjen og der \(t\) er en reell parameter.

Gitt at \(\mathbf{v}=(a,b,c)\) og \(\mathbf{r}_0=(x_0,y_0,z_0)\) kan dette skrives om til det skalare parametriske uttrykket \[\begin{cases} x=x_0+at\\y=y_0+bt\\ z=z_0+ct\end{cases}\quad (-\infty < t < \infty).\]

Standardformen for linjen er gitt ved \[\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c},\] forutsatt at \(a,b,c\ne 0\). Dersom f.eks. \(c=0\) blir standardformen istedet \[\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}, \, z=z_0,\] med tilsvarende type uttrykk dersom \(a=0\) eller \(b=0\).

Relevante kapitler i boka: 8.4

Sylindriske koordinater

Sylindriske koordinater

Definisjon av sylindriske koordinater:
De sylindriske koordinatene \((r,\theta,z)\) til et punkt med kartesiske koordinater \( (x,y,z)\) er gitt ved ligningene \[x = r\cos \theta, \, y= r\sin \theta, \, z=z\] \[r^2 = x^2+ y^2, \, \tan \theta = \frac{y}{x}.\]

Geometrisk tolkning:
I sylindriske koordinater er \(z\) det samme som i kartesiske koordinater. \( xy\)-planet er derimot beskrevet av \(r\) og \(\theta\), som har den samme tolkningen som for polarkoordinater dersom man ser bort fra \(z\)-komponenten.

Kommentar: Det er vanlig å kreve at \(r\ge 0\) og at \(0\le \theta < 2\pi\). På denne måten får alle andre punkter enn dem langs \(z\)-aksen en unik representasjon i sylinderkoordinater.

Relevante kapitler i boka: 8.6
Relevante videoeksempel: Område i rom gitt ved sylinder- og sfærekoordinater, Skissering av plan og sylinder

Sfæriske koordinater

Sfæriske koordinater

Definisjon av sfæriske koordinater:
De sfæriske koordinatene \( (R,\phi,\theta)\) for et punkt med kartesiske koordinater \( (x,y,z)\) er gitt ved ligningene \[x = R\sin\phi\cos\theta, \, y = R\sin\phi\sin\theta, \, z=R\cos\phi\] \[R^2=x^2+y^2+z^2, \, \tan \phi = \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}, \, \tan \theta = \frac{y}{x}.\]

Geometrisk tolkning:
\(R\) er avstanden fra origo til punktet. \(\theta\) er det samme som for sylinderkoordinater, og dermed for polarkoordinater hvis man projisjerer punktet ned i \(xy\)-planet. \(\phi\) er vinkelen som dannes mellom linjen fra origo til punktet og den positive \(z\)-aksen. (Merk at i figuren heter radiusen \(r\) istedet for \(R\))

Kommentar:
Det er vanlig å kreve \(R\ge 0\), \(0\le \phi \le \pi\) og \(0\le \theta < 2\pi\). På denne måter får alle andre punkter enn dem langs \(z\)-aksen en unik representasjon i sfæriske koordinater.

Relevante kapitler i boka: 8.6
Relevante videoeksempel: Område i rom gitt ved sylinder- og sfærekoordinater



Sentrale setninger

Trykk på det grå feltet for å se et teorem.

Avstand mellom punkt og plan

Avstand mellom punkt og plan

Teorem:
Avstanden \(s\) mellom planet gitt ved ligningen \[Ax+By+Cz = D\] og punktet \( P_0=(x_0,y_0,z_0)\) er gitt ved \[s = \frac{\left|Ax_0+By_0+Cz_0-D\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.\]

Relevante kapitler i boka: 10.4
Relevante videoeksempler: Minste avstand fra origo til plan (metode 2)

Avstanden mellom punkt og linje

Avstanden mellom punkt og linje

Teorem:
Avstanden \(s\) mellom punktet med posisjonsvektor \(\mathbf{r}_0\) og linjen som passerer gjennom punktet med posisjonsvektor \(\mathbf{r}_1\) parallellt med \(\mathbf{v}\) er gitt ved \[s = \frac{\left|(\mathbf{r}_0-\mathbf{r}_1)\times \mathbf{v}\right|}{\left|\mathbf{v}\right|}.\]

Relevante kapitler i boka: 10.4

Avstand mellom to linjer

Avstand mellom to linjer

Teorem:
Avstanden \(s\) mellom linjen gjennom punktet \(\mathbf{r}_1\) som er parallell med \(\mathbf{v}_1\), og linjen gjennom punktet \(\mathbf{r}_2\) som er parallell med \(\mathbf{v}_2\) er gitt ved \[s = \frac{\left|(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1)\cdot(\mathbf{v}_1\times \mathbf{v}_2)\right|}{\left|\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2\right|}.\]

Relevante kapitler i boka: 10.4



Sentrale metoder

Trykk på det grå feltet for å se en metode.

Kvardatiske flater i tre dimensjoner

Kvardatiske flater i tre dimensjoner

Klassifisering av kvadratiske flater:
Ligningen for en generell kvadratisk flate er gitt ved \[Ax^2+By^2+Cz^2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz = J.\] I dette faget forventes det at man kjenner igjen følgende ligninger for kvadratiske flater.

Sfære:
En sfære med radius \(a\) og midtpunkt \( (x_0,y_0,z_0)\) er gitt ved ligningen \[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2 = a^2.\]

Ellipsoide:
Ligningen \[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2} = 1\] beskriver en ellipsoide sentrert i origo.

Sylinder:
En ligning som kun avhenger av to av variablene \(x,y\) og \(z\) vil gi en sylinder. Denne kalles sirkulær, elliptisk, parabolsk eller hyperbolsk avhengig av hvilken av disse fire som beskrives av ligningen i to variabler. For eksempel vil ligningen \(x^2+z^2 = 1\) beskrive en sirkulær sylinder, og \(x^2-4y^2 = 1\) beskriver en hyperbolsk sylinder.

Kjegle:
Ligningen \[x^2+y^2=a^2z^2\] beskriver en sirkulær kjegle sentrert i origo som danner en vinkel \(\alpha = \arctan a\) med \(z\)-aksen.

Paraboloide:
Ligningen \[z = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}\] beskriver en elliptisk paraboloide og ligningen \[z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}\] beskriver en hyperbolsk paraboloide.

Hyperboloide:
Ligningen \[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2} = 1\] beskriver en hyperboloide i en del, og ligningen \[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2} = -1\] beskriver en hyperboloide i to deler.

Relevante kapitler i boka: 10.5
Relevante videoeksempel: Skissering av plan og sylinder

Kapitler i boka: 10.4-10.6
Eksempler
Pencast

2019-03-31, Marius Thaule