Definisjon (av parametrisk kurve):
En kurve \(C\) er parametrisert over et intervall \(I\) dersom vi kan skrive \[ x = f(t), \; y=g(t), \quad t \in I \] for alle \((x,y) \in C\). Her er \(f\) og \(g\) to kontinuerlige funksjoner på intervallet \(I\). Den uavhengige variabelen \(t\) kalles da parameter.

Kommentar:
Merk at to ulike parametriseringer kan beskrive den samme kurven.

Definisjon (av polare koordinater):
De polare koordinatene \(r\) og \(\theta\) er gitt ved ligningene \[ x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta \] \[ r^2 = x^2 + y^2,\quad \tan \theta = \frac{y}{x} .\]

Geometrisk tolkning:
For et punkt \(P\) med polarkoordinater \((r,\theta)\) gjelder følgende tolkning. Den radielle koordinaten \(r\) uttrykker avstanden fra origo til \(P\), og polarvinkelen \(\theta\) uttrykker vinkelen som dannes mellom den positive \(x\)-aksen og strålen fra origo gjennom \(P\), se figur.

Kommentar:
I vanlige kartesiske koordinater kan hvert punkt uttrykkes på bare en måte. I polarkoordinater finnes det flere koordinater \((r,\theta)\) som beskriver det samme punktet. Hvis man legger til kravet \(r\ge 0\) og \(0\le \theta < 2\pi\) vil alle andre punkt enn origo beskrives av et unikt sett med koordinater.

Definisjon (av en glatt kurve):
Vi sier at en kurve er glatt dersom den har en tangent i hvert punkt langs kurven, som varierer kontinuerlig etter hvert som man beveger seg langs kurven.

Teorem:
Gitt den parametriske kurven \(x=f(t)\) og \(y=g(t)\) så er stigningstallet til kurven i et punkt \((x(t),y(t))\) gitt ved \[\frac{dy}{dx} = \frac{g'(t)}{f'(t)}.\]

Teorem:
Gitt den parametriske kurven \(x=f(t)\) og \(y=g(t)\) så er krumningen til kurven i et punkt \((x(t),y(t))\) gitt ved \[\frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{f'(t)g''(t)-g'(t)f''(t)}{(f'(t))^3}.\]

Teorem (tangent og normal):
La \(C\) være en kurve gitt ved parametriseringen \(x = f(t), y = g(t)\), der \(f'(t)\) og \(g'(t)\) er kontinuerlige på intervallet \(I\). Da gjelder følgende to resultater.

\(i)\) Dersom \(f'(t) \neq 0\) så er \(C\) glatt og har for alle \(t\) en tangentlinje med stigningstall \[\frac{dy}{dx}=\frac{g'(t)}{f'(t)}.\] \(ii)\) Dersom \(g'(t) \neq 0\) så er \(C\) glatt og har for alle \(t\) en normal med stigningstall \[-\frac{dx}{dy}=-\frac{f'(t)}{g'(t)}.\]

Kommentar:
Hvis kurven \(C\) er gitt ved parametriseringen \(x=f(t),y=g(t)\), og \(f'(t_0)=g'(t_0)=0\) i et punkt kan \(C\) ha en knekk i dette punktet, men den må ikke det.

Uttrykk for tangent og normal:
La \(C\) være en kurve gitt ved parametriseringen \(x=f(t), y=g(t)\). Da er en parametrisk ligning for tangenten til \(C\) i punktet \((f(t_0),g(t_0))\) gitt ved \[\begin{cases}x = f(t_0)+f'(t_0)(t-t_0)\\ y = g(t_0)+g'(t_0)(t-t_0)\end{cases}\quad\quad (-\infty < t < \infty),\] og en parametrisk ligning for normalen til \(C\) i punktet \((f(t_0),g(t_0))\) er gitt ved \[\begin{cases} x = f(t_0)+g'(t_0)(t-t_0)\\ y = g(t_0) - f'(t_0)(t-t_0)\end{cases}\quad\quad (-\infty<t<\infty),\] forutsatt at \(f'\) og \(g'\) er kontinuerlige og ulik \(0\) i punktet \(t=t_0\).

Formel for buelengde:
La \(C\) være en kurve gitt ved parametriseringen \(x = f(t), y = g(t)\) på intervallet \( (a \leq t \leq b) \). Buelengden til kurven er gitt ved \[ s = \int_a^b ds = \int_a^b \frac{ds}{dt}dt=\int_a^b\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt, \] der de ulike uttrykkene er ulike skrivemåter. Det siste uttrykket gir en formel for å beregne buelengden.

Teorem:
Gitt en parametrisk kurve \(x=f(t)\), \(y=g(t)\) for \(a\le t\le b\) så er overflatearealet \(S\) av flaten som fremkommer ved å dreie kurven om \(x\)-aksen gitt ved \[S = 2\pi \int_{t=a}^{t=b} \left|y\right|ds = 2\pi \int_a^b \left|g(t)\right|\sqrt{(f'(t))^2+(g'(t))^2} dt.\] Tilsvarende er overflatearealet som fremkommer ved omdreining om \(y\)-aksen gitt ved \[S = 2\pi \int_{t=a}^{t=b} \left|x\right|ds = 2\pi \int_a^b \left|f(t)\right|\sqrt{(f'(t))^2+(g'(t))^2} dt.\]

Formel for buelengde:
Lengden til en polar kurve uttrykt ved \(r = f(\theta)\) på intervallet \( (a \leq \theta \leq b) \) er gitt ved \[ s = \int_a^b ds = \int_a^b \frac{ds}{d\theta}d\theta \] \[ = \int_a^b \sqrt{\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2 + r^2} d\theta \] \[ = \int_a^b \sqrt{(f'(\theta))^2 + f((\theta))^2} d\theta. \]

Kommentar:
Den polare kurven \(r=f(\theta)\) kan også sees på som en parametrisert kurve, der \(t=\theta\) er parameteren. Da har man \(x=r\cos \theta=f(\theta)\cos \theta= f(t)\cos t\) og tilsvarende \(y=r\sin\theta=f(\theta)\sin\theta=f(t)\sin t\). Da kan man bruke uttrykket for buelengden til en parametrisert kurve for å utlede uttrykket for buelengde av en polar kurve.

Formel for areal:
Området bundet av den polare kurven gitt ved \(r = f(\theta)\) og strålene \( \theta = a \) og \( \theta=b\), hvor \(a < b \) har arealet \[ A = \frac{1}{2} \int_a^b f(\theta)^2 d\theta. \]

Stigningstall:
For en "vanlig" kartesisk kurve på formen \(y = f(x)\) vet vi at stigningstallet er gitt ved \(\frac{dy}{dx}=f'(x)\). Når man istedet har \(x=f(t), y=g(t)\) er stigningstallet fortsatt gitt ved \(\frac{dy}{dx}\). For å regnet ut dette kan man dele på \(dt\) over og under brøkstreken, for å få \(\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}\), og \(\frac{dy}{dt}\) og \(\frac{dx}{dt}\) er henholdsvis \(g'(t)\) og \(f'(t)\), som til slutt gir formelen \(\frac{dy}{dx}=\frac{g'(t)}{f'(t)}\). Merk at å dele på \(dt\) ikke er matematisk gyldig, men det gir en god huskeregel.

Krumning:
Krumningen skrives \(\frac{d^2 y}{dx^2}= \frac{d}{dx}\frac{dy}{dx}\). For å beregne denne kan man sette inn uttrykket for stigningstallet \(\frac{dy}{dx}=\frac{g'(t)}{f'(t)}\) og så derivere dette med hensyn på \(x\) ved bruk av kjerneregelen. Kjerneregelen gir \(\frac{d}{dx}=\frac{dt}{dx}\frac{d}{dt}\), så alt i alt får man \[\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\frac{g'(t)}{f'(t)} = \frac{dt}{dx}\frac{d}{dt}\left(\frac{g'(t)}{f'(t)}\right) = \frac{f'(t)g''(t)-f''(t)g'(t)}{(f'(t)^2}\frac{1}{f'(t)} = \frac{f'(t)g''(t)-f''(t)g'(t)}{(f'(t)^3}.\] I nest siste likhet brukes brøkregelen for å derivere \(\frac{g'(t)}{f'(t)}\), og det brukes at \(\frac{dt}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dt}}=\frac{1}{f'(t)}\).

Metode:
Gitt en parametrisk kurve \(x=f(t), y=g(t)\) er ofte den enkleste måten å skissere kurven å begynne med å prøve å eliminere variabelen \(t\). Dette gjøres for eksempel ved å finne et uttrykk for \(t\) fra uttrykket for \(x\), og så sette dette inn i uttrykket for \(y\). På denne måten sitter man igjen med en "vanlig" funksjon \(y=h(x)\), som kan skisseres ved hjelp av de metodene man kan fra matematikk 1.

Dersom det ikke lar seg gjøre å omforme kurven til en kartesisk ligning, eller dersom denne ligningen ikke gjør det noe lettere å skissere kurven kan man lage en tabell og regne ut \(x\) og \(y\) for ulike verdier av \(t\). For å få best mulig skisse lønner det seg også å beregne stigningstallet og krumningen til kurven, og ta dette med i figuren.

Metode:
La \(C\) være den parametriserte kurven gitt ved \(x = f(t), y = g(t)\) på intervallet \( (a \leq t \leq b) \).

For å beregne arealet bundet av denne kurven er utgangspunktet uttrykket \[A = \int_a^b dA. \]

Deretter settes det inn et uttrykk for \(dA\) avhengig av hvilket areal man ønsker. Dersom man ønsker arelaet mellom kurven og \(x\)-aksen bruker man \(dA=y\,dx=g(t)f'(t)\,dt\), og dersom man ønsker arealet mellom kurven og \(y\)-aksen bruker man \( dA = x\,dy = f(t)g'(t)\,dt \). I tillegg må man legge på et negativt fortegn dersom kurven traverseres mot klokken når \(t\) øker.