Dobbel- og trippelintegraler

• \(dA\) og \(dV\). Når man skriver \(dA\) mener man at det skal integreres over et areal. Tilsvarende betyr \(dV\) at man integrerer over et volum. Dersom man regner ut integralet i kartesiske koordinater vil man da få \(dA=dxdy\) og \(dV = dxdydz\).

Uformell definisjon:
Dobbelintegralet \(\iint_D f dA\), hvor \(f\) er en positiv funksjon, er volumet som ligger vertikalt mellom grafen til \(f\) og området \(D\).

Begreper som brukes i den formelle definisjonen av dobbelintegral:
For å skrive den formelle definisjonen av dobbelintegral trengs det først noen andre definisjoner. En partisjon av et rektangel \(R\) er en inndeling i \(nm\) mindre rektangler \(R_{ij}\) gitt ved \(x_i\le x\le x_{i+1}, y_j \le y \le y_{j+1}\) for \(0\le i\le m, 0\le j\le n\). Normen av en partisjon \(P\) er den største diagonalen på hvert av delrektanglene, d.v.s. \[\|P\| = \max_{\substack{1\le i\le m\\ 1\le j\le n}} \sqrt{\left( x_i-x_{i-1} \right)^2+\left( y_j-y_{j-1} \right)^2}.\]

Riemannsummen av \(f\) over partisjonen \(P\) er gitt ved \[R(f,P) = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n f(x^*_{ij},y^*_{ij}) \Delta A_{ij}\] der \( (x^*_{ij},y^*_{ij}) \) er et punkt i rektangel \(R_{ij}\) og \(\Delta A_{ij}\) er arealet av dette rektangelet.

Formell definisjon av dobbelintegral på et rektangel:
Funksjonen \(f\) er integrerbar på rektangelet \(R\) og har dobbelintegral \[I = \iint_D f(x,y)\: dA\] dersom det for alle \(\epsilon>0\) eksisterer en \(\delta>0\) slik at \[|R(f,P)-I|<\epsilon\] holder for alle partisjoner \(P\) av \(R\) som oppfyller \(\|P\|<\delta\) og for alle valg av punkter \( (x^*_{ij},y^*_{ij})\) i rektanglene i \(P\).

Formell definisjon av dobbelintegral:
For å definere dobbelintegralet til en funksjon \(f(x,y)\) på et begrenset lukket område \(D\), la \(R\) være et rektangel som inneholder \(D\). Utvid så \(f\) til en ny funksjon \(\widehat{f}\) som er definert på hele \(R\) gjennom å skrive \[\widehat{f} (x,y) = \begin{cases} f(x,y), \, (x,y)\in D\\ 0,\quad \text{ellers.}\end{cases}\] Dobbelintegralet av \(f\) over \(D\) er da definert som \[\iint_D f dA = \iint_R \widehat{f} dA,\] der dobbelintegralet over et rektangel er definert som i definisjonen over.

Definisjon av \(x\)- og \(y\)-enkelt:
Et område \(D\) i \(xy\)-planet kalles \(y\)-enkelt dersom det er avgrenset av to vertikale linjer \(x=a\) og \(x=b\), samt to kontinuerlige funksjoner \(y=c(x)\) og \(y=d(x)\). Tilsvarende sier vi at et område er \(x\)-enkelt dersom det er avgrenset av to horisontale linjer \(y=a',y=b'\) og to kontinuerlige funksjoner \(x=c'(y),x=d'(y)\).

Definisjon av regulært:
Et område \(D\) kalles regulært dersom det er en union av et endelig antall \(x\)- og \(y\)-enkle områder.

Definisjon av gjennomsnitt:
For en funksjon \(f=f(x,y)\) av to variabler sier vi at gjennomsnittet av \(f\) på \(D\) er \[ \frac{1}{A}\iint_D f(x,y)\: dA,\] der \(A\) er arealet av \(D\).

Beregning av masse:
For et legeme som dekker området \(R\) med massetetthet \(\delta = \delta(x,y,z)\) er massen gitt ved \(m = \iiint_R \delta(x,y,z) \:dV\). Hvis \(\delta\) er konstant på hele området forenkles uttrykket til \(m = \delta V\), der \(V\) er volumet av området \(R\).

Definisjon av moment:
For et legeme som dekker området \(R\) med massetetthet \(\delta = \delta(x,y,z)\) sier vi at \[M_{x=x_0} = \iiint_R (x-x_0) \delta(x,y,z)\:dV\] er momentet til legemet om planet \(x=x_0\). Tilsvarende er \[M_{y=y_0} = \iiint_R (y-y_0) \delta(x,y,z)\:dV\] og \[M_{z=z_0} = \iiint_R (z-z_0) \delta(x,y,z)\:dV\] momentene om planene \(y=y_0\) og \(z=z_0\).

Hvis man vet \(M_{x=0}\) og massen \(m\) kan man regne ut \(M_{x=x_0}\) fra relasjonen \(M_{x=x_0} = M_{x=0} - x_0 m \). Man har også tilsvarende uttrykk for \(y\) og \(z\).

Definisjon av massesenter:
Gitt et legeme som dekker området \(R\) med massetetthet \(\delta = \delta(x,y,z)\) er massesenteret gitt ved punktet \((\bar{x},\bar{y},\bar{z})\) der \[\bar{x} = \frac{M_{x=0}}{m},\] \[\bar{y} = \frac{M_{y=0}}{m},\] \[\bar{z} = \frac{M_{z=0}}{m},\] \(m\) er massen og \(M_{x=0}\), \(M_{y=0}\) og \(M_{z=0}\) er momentene om koordinatplanene..

Teorem:
Anta at \(f\) og \(g\) er integrerbare funksjoner over området \(D\) og la \(L\) og \(M\) være konstanter. Da gjelder følgende:

• \(\iint_D f(x,y)\: dA = 0\) hvis arealet av \(D\) er null.
• \(\iint_D 1 \: dA = \text{arealet av }D\).
• Dersom \(f(x,y)\ge 0\) på \(D\) så er \(\iint_D f(x,y)\: dA=V\) der \(V\) er volumet som ligger vertikalt mellom \(D\) og grafen til \(f\).
• Dersom \(f(x,y)\le 0\) på \(D\) så er \(\iint_D f(x,y)\:dA =-V\) der \(V\) er volumet som ligger vertikalt mellom grafen til \(f\) og \(D\).
• \(\iint_D \left( Lf(x,y)+Mg(x,y) \right)\:dA = L\iint_d f(x,y)\:dA +M\iint_D g(x,y)\: dA\).
• Dersom \(f(x,y)\le g(x,y)\) på \(D\) så er \(\iint_D f(x,y)\: dA\le \iint_D g(x,y)\: dA\).
• \(\left| \iint_D f(x,y)\: dA\right| \le \iint_D \left|f(x,y)\right|\: dA\).
• Dersom \(D_1\) og \(D_2\) ikke overlapper og \(f\) er integrerbar på begge områdene, så er \(\iint_{D_1\cup D_2} f(x,y) \: dA = \iint_{D_1} f(x,y)\: dA + \iint_{D_2} f(x,y) \: dA\).

Teorem (fubinis teorem):
Dersom \(f(x,y)\) er kontinuerlig på et område \(D\) gitt ved \(a\le x \le b, c(x)\le y \le d(x)\) er \[\iint_{D} f(x,y) dA = \int_a^b dx \int_{c(x)}^{d(x)} f(x,y)\:dy.\] Tilsvarende, dersom \(f(x,y)\) er kontinuerlig på et område \(D^\prime \) gitt ved \(a(y)\le x \le b(y), c\le y \le d\) er \[\iint_{D^\prime} f(x,y) dA = \int_c^d dy \int_{a(y)}^{b(y)} f(x,y)\:dx.\]

Et tilsvarende resultat gjelder for trippelintegraler.

Kommentar:
Teoremet ovenfor forteller oss også at man kan bytte integrasjonsrekkefølge hvis et område kan uttrykkes på flere måter. Hvis man for eksempel har at område \(D\) kan uttrykkes både som \(a\le x \le b, c(x) \le y \le d(x)\) og som \(a^\prime (y) \le x \le b^\prime (y), c^\prime\le y \le d^\prime\) vil man kunne bytte integrasjonsrekkefølge for \(x\) og \(y\).

Dersom \(f=f(x,y)\) er kontinuerlig på et lukket, begrenset, sammenhengende område \(D\) så eksisterer det et punkt \( (x_0,y_0)\) i \(D\) slik at \[\iint_D f(x,y)\: dA = Af(x_0,y_0),\] der \(A\) er arealet av \(D\).

Teorem:
For et område \(D\) i planet har vi at \[A = \iint_{D} dA,\] der \(A\) er arealet av området \(D\). Tilsvarende har vi for et område \(D^\prime\) i rommet at \[V = \iiint_{D^\prime} dV\] der \(V\) er volumet av \(D^\prime\).

Teorem om variabelbytte:
Ved bytte av integrasjonsvariabler fra \(x,y,z\) til de nye variablene \(u,v,w\) har man \[ dV = dx\:dy\:dz = \left| \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\right| du\:dv\:dw,\] der \(\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\) er jacobideterminanten.

For dobbelintegral har man tilsvarende \[dA = dx\:dy = \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right| du\: dv.\]

Metode:
I definisjonen av et dobbelintegral kreves det at integrasjonsområdet er begrenset, og at funksjonen man integrerer over er begrenset. Dersom et av disse kravene ikke holder kaller vi integralet et uekte integral. Et uekte integral av en positiv funksjon vil enten bli uendelig, eller konvergere til en endelig verdi. For å finne ut hvilken av delene som gjelder kan man beregne integralet som et vanlig iterert integral, og hvis noen av enkeltintegralene divergerer vil dobbelintegralet også divergere.

Metode:
I polarkoordinater har man at \(dA = r\:dr d\theta\), der \(x = r\cos \theta\) og \(y = r\sin \theta\). Det kan lønne seg å integrere i polarkoordinater istedet for kartesiske koordinater dersom enten integrasjonsområdet eller funksjonsuttrykket forenkles i polarkoordinater.

I sfæriske koordinater har man \(x=\rho \sin \phi\cos \theta\), \(y=\rho\sin\phi\sin\theta\) og \(z = \rho \cos\phi\). Dersom man integrerer i sfæriske koordinater er volumelementet gitt ved \(dV = \rho^2 \sin \phi \:d\rho d\phi d\theta\).

I sylindriske koordinater har man \(x = r\cos \theta\), \(y = r\sin\theta\) og \(z = z\). Volumelementet er da gitt ved \(dV = r\:drd\theta dz\).