Vektorfunksjoner og romkurver

Definisjon av en kontinuerlig vektorfunksjon:
En vektorfunksjon \(\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)= x(t)\:\mathbf{i} + y(t)\:\mathbf{j} + z(t)\:\mathbf{k}\) er kontinuerlig i et punkt \(\mathbf{r}(t_0)\) hvis \(x,y\) og \(z\) er kontinuerlige i punktene \(x(t_0),y(t_0)\) og \(z(t_0)\).

Definisjon av deriverbar vektorfunksjon:
Vi sier at vektorfunksjonen \(\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)= x(t)\:\mathbf{i} + y(t)\:\mathbf{j} + z(t)\:\mathbf{k}\) er deriverbar i punktet \(\mathbf{r}(t_0)\) dersom grenseverdien \[\mathbf{v}(t_0)=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\mathbf{r}(t_0+\Delta t)-\mathbf{r}(t_0)}{\Delta t}\] eksisterer. Vi sier da at \(\mathbf{v}\) er den deriverte av \(\mathbf{r}\).

Definisjon av glatt vektorfunksjon:
Vi sier at en vektorfunksjon er glatt i et punkt dersom den deriverte eksisterer, er kontinuerlig og er ulik \(\mathbf{0}\) i dette punktet.

Definisjon av hastighet og fart:
Dersom \(t\) representerer tid og \(\mathbf{r}(t)\) representerer posisjonen ved tiden \(t\) kaller vi \(\mathbf{v}=\frac{d}{dt}\mathbf{r}\) for hastigheten til \(\mathbf{r}\), og vi sier at \(v(t) = \left|\mathbf{v}(t)\right|\) er farten.

Definisjon av kurvelengdeparametrisering:
Gitt en parametrisert kurve \(\mathbf{r}=\mathbf{r}(s)\) så sier vi at \(\mathbf{r}\) er kurvelengdeparametrisert dersom kurvelengden av \(\mathbf{r}\) fra \(s=s_1\) til \(s=s_2\) er gitt ved \(s_2-s_1\).

Definisjon av enhetstangent:
Dersom \(\mathbf{r}\) er glatt i punktet \(\mathbf{r}(t)\) vil \[\mathbf{\hat{T}}(t) = \frac{\mathbf{r}^\prime(t)}{\left|\mathbf{r}^\prime(t)\right|}\] være en enhetstangent til \(\mathbf{r}\) i dette punktet.

Definisjon av enhetsnormal:
Dersom \(\mathbf{\hat{T}}^\prime (t)\) eksisterer og er ulik null vil \[\mathbf{\hat{N}}(t) = \frac{\mathbf{\hat{T}}^\prime (t)}{\left|\mathbf{\hat{T}}^\prime (t)\right|}\] være en enhetsnormal til \(\mathbf{r}\) i dette punktet.

Definsjon av enehtstangent og enhetsnormal fra kurvelengdeparamterinseringen:
Anta at \(\mathbf{r}=\mathbf{r}(s)\) er en kurvelengdeparametrisering. Da er enhetstangenten og enhetsnormalen gitt ved \[\mathbf{\hat{T}} = \mathbf{r}^\prime (s)\] og \[\mathbf{\hat{N}} = \frac{\mathbf{\hat{T}}^\prime (s)}{\left|\mathbf{\hat{T}}^\prime (s)\right|}.\]

Kommentar:
Ettersom \(\mathbf{\hat{T}}\) og \(\mathbf{\hat{N}}\) står vinkelrett på hverandre kan man også konstruere en tredje enehtsvektor som står normalt på begge disse. Denne kalles binormalen.

Definisjon av binormal:
Gitt en kurve \(\mathbf{r}\) der \(\mathbf{\hat{T}}\) og \(\mathbf{\hat{N}}\) er definert kaller vi vektoren \[\mathbf{\hat{B}}(t) = \mathbf{\hat{T}}\times \mathbf{\hat{N}}\] for binormalen til \(\mathbf{r}\).

Definisjon av krumning:
Gitt en kurve \(\mathbf{r}\) og enhetstangenten \(\mathbf{\hat{T}}\) sier vi at \[\kappa(t) = \frac{\left|\mathbf{\hat{T}}^\prime (t)\right|}{\left|\mathbf{r}^\prime (t)\right|}\] er krumningen til \(\mathbf{r}\).

Definisjon av krumningen fra kurvelengdeparamterisering
Gitt en kurve \(\mathbf{r}=\mathbf{r}(s)\), som er kurvelengdeparametrisert, og enhetstangenten \(\mathbf{\hat{T}}\) så er kurvaturen \(\kappa\) gitt ved \[\kappa(s) = \left|\mathbf{\hat{T}}^\prime (s)\right|.\]

Definisjon av torsjon:
Gitt en kurve \(\mathbf{r}\), enhetsnormalen \(\mathbf{\hat{N}}\) og binormalen \(\mathbf{\hat{B}}\) vil det finnes en funksjon \(\tau(t)\) som oppfyller \[\mathbf{\hat{B}}^\prime (t) = -\tau(t)\left|\mathbf{r}^\prime (t)\right| \mathbf{\hat{N}}(t).\] Denne kalles torsjonen til \(\mathbf{r}\).

Definisjon av torsjon fra kurvelengdeparamterisering
Gitt kurvelengdeparamteriseringen \(\mathbf{r}=\mathbf{r}(s)\), enhetsnormalen \(\mathbf{\hat{N}}\) og binormalen \(\mathbf{\hat{B}}\) vil torsjonen \(\tau\) oppfylle \[\mathbf{\hat{B}}^\prime (s) = -\tau(s) \mathbf{\hat{N}}(s).\]

Teorem (Regneregler for derivasjon av vektorfunksjoner):
La \(\mathbf{u}\) og \(\mathbf{v}\) være deriverbare vektorfunksjoner, og la \(\lambda\) være en deriverbar funksjon. Da er \(\mathbf{u}+\mathbf{u}\), \(\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}\), \(\mathbf{u}\times \mathbf{v}\) og \(\lambda \mathbf{u}\) alle deriverbare vektorfunksjoner som oppfyller

1. \(\frac{d}{dt}\left(\mathbf{u}(t)+\mathbf{v}(t)\right) = \mathbf{u}^\prime (t) + \mathbf{v}^\prime (t)\)
2. \(\frac{d}{dt}\left(\mathbf{u}(t)\cdot\mathbf{v}(t)\right) = \mathbf{u}^\prime (t)\cdot \mathbf{v}(t) + \mathbf{u}(t)\cdot \mathbf{v}^\prime (t) \)
3. \(\frac{d}{dt}\mathbf{u}(t)\times \mathbf{v}(t) = \mathbf{u}^\prime (t)\times \mathbf{v}(t) +\mathbf{u} (t)\times \mathbf{v}^\prime (t) \)
4. \(\frac{d}{dt}\left(\lambda(t)\mathbf{u}(t)\right) = \lambda^\prime (t) \mathbf{u}(t) + \lambda(t)\mathbf{u}^\prime (t)\)
5. \(\frac{d}{dt}\left(\mathbf{u}\left(\lambda(t)\right)\right) = \lambda^\prime (t) \mathbf{u}^\prime \left(\lambda(t)\right)\)
   
   

Kommentar:
Merk at disse reglene essensielt bare er varianter av produktregelen og kjerneregelen, der noen funksjoner er byttet ut med vektorfunksjoner, og vanlig multiplikasjon kan byttes ut med skalarprodukt eller kryssprodukt.

Teorem:
Gitt en vektorfunksjon \(\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)\) med kontinuerlig derivert \(\mathbf{v}\) så er kurvelengden \(s\) fra \(t=a\) til \(t=b\) gitt ved \[s = \int_a^b \left|\frac{d\mathbf{r}}{dt}\right|\: dt = \int_a^b \left|\mathbf{v}(t)\right|\: dt = \int_a^b v(t)\: dt.\]

Kommentar:
Merk at dette er samme formel for kurvelengde som ble gitt i Buelengde til en parametrisert kurve.

Metode:
For å regne ut den deriverte i praksis bruker vi at \(\frac{d\mathbf{r}}{dt} = \frac{dx}{dt}\:\mathbf{i}+\frac{dy}{dt}\:\mathbf{j}+\frac{dz}{dt}\:\mathbf{k}\), altså kan man derivere hver komponent for seg.

Metode:
Hvis man vil finne skjæringskurven mellom to flater, er det ofte hensiktsmessig å oppgi denne som en parametrisert kurve. Dessverre finnes det ikke en generell oppskrift for hvordan man gjør dette, og det lønner seg derfor å se på mange eksempler.

Et spesialtilfelle som gjør det enkelt å parametrisere skjæringskurven mellom to flater er når den ene flaten er en sylinder som er parallell med en koordinatakse (se kvadratiske flater for en innføring i slike sylindere). En slik sylinder er representert av en ligning i kun to variabler. Hvis man begynner med å parametrisere denne, kan man finne et uttrykk for den siste variabelen fra ligningen for den andre flaten.

Metode:
Gitt en parametrisk kurve \(\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)\) så kan man sette opp en kurvelengdeparameterisering av \(\mathbf{r}\) ved å definere \[s = s(t) = \int_{t_0}^t\left|\frac{d}{d\tau}\mathbf{r}(\tau)\right|\: d\tau,\] for så å bruke dette uttrykket til å finne et uttrykk \(t=t(s)\) for \(t\). Den nye parametriseringen blir da \(\mathbf{r}=\mathbf{r}(t(s))\) med \(s\) som ny parameter.