Divergens og Stokes' teorem

Definisjon av divergens:
Gitt et vektorfelt \(\mathbf{F}\) der komponentene har kontinuerlige partiellderiverte, defineres divergensen av \(\mathbf{F}\) som \[\mathbf{div}\: \mathbf{F} = \nabla\cdot \mathbf{F}.\]

Definisjon av curl:
Gitt et vektorfelt \(\mathbf{F}=\mathbf{F}(x,y,z)=F_1(x,y,z)\mathbf{i}+F_2(x,y,z)\mathbf{j}+F_3(x,y,z)\mathbf{k}\) der komponentene har kontinuerlige partiellderiverte, defineres curl av \(\mathbf{F}\) som \begin{align} \mathbf{curl}\: \mathbf{F} &= \nabla\times \mathbf{F}\\ &=\left( \frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z} \right)\mathbf{i} + \left(\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x} \right)\mathbf{j} +\left( \frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y} \right)\mathbf{k} \\ &= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ F_1 & F_2 & F_3\end{vmatrix}. \end{align}

For et vektorfelt \(\mathbf{F} = F_1\mathbf{i} + F_2\mathbf{j}\) i to dimensjoner, defineres curl som \[\mathbf{curl}\: \mathbf{F} = \left( \frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y} \right) \mathbf{k}. \]

Definisjon av solenoidal:
Vi sier at et vektorfelt \(\mathbf{F}\) er solenoidalt i et område \(D\) dersom \(\mathbf{div}\: \mathbf{F} = 0\) i \(D\).

Kommentar:
Merk at curl av et vektorfelt alltid er solenoidalt.

Definisjon av rotasjonsfritt:
Vi sier at et vektorfelt \(\mathbf{F}\) er rotasjonsfritt i et område \(D\) dersom \(\mathbf{curl}\: \mathbf{F} = \mathbf{0}\) i \(D\).

Kommentar:
Merk at alle konservative felt er rotasjonsfrie.

Teorem:
Gitt at \(\mathbf{\hat{N}}\) er den utoverrettede normalen til sfæren \(\mathcal{S}_\epsilon\) med radius \(\epsilon\) sentrert i puntet \(P\), og gitt at \(\mathbf{F}\) er et glatt tredimensjonalt vektorfelt, så er \[\mathbf{div}\: \mathbf{F}(P) = \lim_{\epsilon\to 0^+} \frac{3}{4\pi \epsilon^3} \bigcirc\hspace{-14pt}\iint_{\mathcal{S}_\epsilon} \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat{N}} dS.\]

Kommentar:
Sagt med ord sier teoremet at når man tar den gjennomsnittlige fluksen ut gjennom små sfærer sentrert i et punkt, så vil denne verdien gå mot divergensen i punktet når størrelsen av sfærene går mot null.

Teorem:
La \(\mathcal{C}_\epsilon\) være en sirkel av radius \(\epsilon\) sentrert i punktet \(P\), og la \(\delta_\epsilon\) være disken bundet av \(\mathcal{C}_\epsilon\) med tilhørende enhetsnormal \(\mathbf{\hat{N}}_\epsilon\) som er orientert som kurven \(\mathcal{C}_\epsilon\). Hvis \(\mathbf{F}\) er et glatt vektorfelt så er \[\lim_{\epsilon\to 0^+} \frac{1}{\pi \epsilon^2} \oint_{\mathcal{C}_\epsilon} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} =\mathbf{\hat{N}} \cdot \mathbf{curl}\: \mathbf{F}(P).\]

Kommentar:
Sagt med ord sier teoremet over at den gjennomsnittlige sirkulasjonen av vektorfeltet rundt en liten sirkel vil gå mot den komponenten av curl til vektorfeltet som er normal til sirkelen i sirkelens sentrum når sirkelens radius går mot null.

Teorem:
La \(\phi\) og \(\psi\) være skalarfelt, og la \(\mathbf{F}\) og \(\mathbf{G}\) være vektorfelt. Anta videre at alle deriverte som inngår i uttrykkene nedenfor er kontinuerlige. Da gjelder

• \(\nabla(\phi\psi) = \phi\nabla\psi + \psi \nabla \phi\).
• \(\nabla \cdot (\psi\mathbf{F}) = (\nabla \phi)\cdot \mathbf{F} + \phi(\nabla\cdot \mathbf{F}) \).
• \(\nabla \times (\phi\mathbf{F}) =(\nabla\phi)\times \mathbf{F} + \phi (\nabla\times \mathbf{F}) \).
• \(\nabla\cdot (\mathbf{F}\times \mathbf{G} ) = (\nabla\times \mathbf{F})\cdot \mathbf{G} - \mathbf{F} \cdot (\nabla \times \mathbf{G} ) \).
• \(\nabla \times (\mathbf{F}\times \mathbf{G}) = (\nabla\cdot \mathbf{G})\mathbf{F} + (\mathbf{G}\cdot \nabla)\mathbf{F}-(\nabla\cdot \mathbf{F})\mathbf{G} - (\mathbf{F}\cdot\nabla)\mathbf{G}\).
• \(\nabla(\mathbf{F}\cdot\mathbf{G}) = \mathbf{F}\times (\nabla \times \mathbf{G}) + \mathbf{G}\times (\nabla\times \mathbf{F}) + (\mathbf{F}\cdot\nabla)\mathbf{G} + (\mathbf{G}\cdot\nabla)\mathbf{F}\).
• \(\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{F}) = 0 \quad\quad (\mathbf{div}\:\mathbf{curl} = 0)\).
• \(\nabla\times(\nabla\phi) = \mathbf{0} \quad \quad (\mathbf{curl}\:\mathbf{grad} = \mathbf{0})\).
• \(\nabla\times(\nabla\times\mathbf{F}) = \nabla(\nabla\cdot \mathbf{F})-\nabla^2\mathbf{F} \quad (\mathbf{curl}\:\mathbf{curl} = \mathbf{grad}\:\mathbf{div} - \nabla^2)\).

Teorem:
Gitt at \(\mathbf{F}\) er et glatt, rotasjonsfritt vektorfelt på et enkeltsammenhengende område \(D\), så er \(\mathbf{F} = \nabla \phi\) for en skalarfunksjon \(\phi\) definert på \(D\), og dermed er \(\mathbf{F}\) konservativt.

Teorem:
Gitt at \(\mathbf{F}\) er et glatt, solenoidalt vektorfelt på et område \(D\) som oppfyller at innsiden av alle lukkede flater i \(D\) er inneholdt i \(D\), så er \(\mathbf{F} = \mathbf{curl}\: \mathbf{G}\) for et vektorfelt \(\mathbf{G}\) definert på \(D\). Vektorfeltet \(\mathbf{G}\) kalles for vektorpotensialet til \(\mathbf{F}\).

Teorem (Greens teorem):
La \(R\) være et regulært, lukket område i \(xy\)-planet med en randkurve \(\mathcal{C}\) som består av en eller flere stykkvis glatte enkle lukkede kurver med positiv orientering i forhold til \(R\). Dersom \(\mathbf{F}=F_1(x,y)\mathbf{i}+F_2(x,y)\mathbf{j}\) er et glatt vektorfelt på \(R\) så gjelder \[\oint_\mathcal{C} F_1(x,y)\:dx + F_2(x,y)\:dy = \iint_R \left( \frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y} \right)\: dA.\]

Kommentar:
Merk at uttrykket til venstre i Greens teorem er linjeintegralet av tangentialkomponenten av \(\mathbf{F}\) langs \(\mathcal{C}\), og uttrykket til høyre i Greens teorem er fluksintegralet av curl til \(\mathbf{F}\) gjennom flaten omsluttet av \(\mathcal{C}\).

Teorem (Gauss' divergensteorem i to dimensjoner):
La \(R\) være et regulært, lukket område i \(xy\) planet som er avgrenset av den stykkvis glatte enkle lukkede kurven \(\mathcal{C}\). La \(\mathbf{\hat{N}}\) betegne den utoverrettede normalen til \(\mathcal{C}\). Gitt et glatt vektorfelt \(\mathbf{F} = F_1(x,y)\mathbf{i}+F_2(x,y)\mathbf{j}\) på \(R\) så gjelder \[\iint_R \mathbf{div}\: \mathbf{F} \:dA = \oint_\mathcal{C} \mathbf{F}\cdot \mathbf{\hat{N}}\: ds.\]

Teorem (Gauss' divergensteorem i tre dimensjoner):
La \(D\) være et regulært område som er avgrenset av den orienterte, lukkede flaten \(\mathcal{S}\) med utoverrettet enhetsnormal \(\mathbf{\hat{N}}\). Gitt et glatt vektorfelt \(\mathbf{F}\) så gjelder \[\iiint_D \mathbf{div}\: \mathbf{F} \:dV = \bigcirc\hspace{-14pt}\iint_\mathcal{S} \mathbf{F}\cdot \mathbf{\hat{N}}\: dS.\]

Teorem:
La \(D\) være et regulært område som er avgrenset av den orienterte, lukkede flaten \(\mathcal{S}\) med utoverrettet enhetsnormal \(\mathbf{\hat{N}}\). Gitt et glatt vektorfelt \(\mathbf{F}\) og et glatt skalarfelt \(\phi\) så gjelder

• \(\iiint_D \mathbf{curl}\: \mathbf{F} \:dV = -\unicode{x222F}_\mathcal{S}\: \mathbf{F}\times \mathbf{\hat{N}} \:dS\)
• \(\iiint_D \mathbf{grad}\: \phi \: dV = \unicode{x222F}_\mathcal{S}\: \phi\mathbf{\hat{N}}\: dS\).

Teorem (Stokes' teorem):
La \(\mathcal{S}\) være en stykkvis glatt orientert flate i rommet med enhetsnormal \(\mathbf{N}\) og rand \(\mathcal{C}\) som består av en eller flere stykkvis glatte lukkede kurver med orientering tatt fra \(\mathcal{S}\). Dersom \(\mathbf{F}\) er et glatt vektorfelt definert på en åpen mengde som inneholder \(\mathbf{S}\) så gjelder \[\oint_\mathcal{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\iint_\mathcal{S} \mathbf{curl}\: \mathbf{F}\cdot \mathbf{\hat{N}}\: dS.\]