Integrasjon

Euklidsk geometri gjør oss i stand til å finne arealet av enkle geometriske objekter som polygoner og ellipser. Ved integrasjon kan vi beregne arealet avgrenset av mer kompliserte kurver. En rekke størrelser i matematikk, fysikk, biologi og økonomi kan uttrykkes som integraler, for eksempel overflater og volum av legemer, buelengder, sannsynligheter og arbeid.

Innholdsfortegnelse:
Riemannintegralet
Det bestemte integralets egenskaper
Analysens fundamentalteorem
Substitusjon
Delvis integrasjon
Integral av rasjonale funksjoner
Invers substitutsjon
Uegentlige integral
Omdreiningslegemer
Buelengder og rotasjonsflater
Regning med differensialer

Anta at funksjonen \(f\) er kontinuerlig og positiv på intervallet \([a,b]\), og at vi ønsker å finne arealet under grafen til \(f\).

Vi begynner med å innføre noen matematiske begreper. En partisjon \(P\) av intervallet \([a,b]\) er en endelig mengde punkter \[ P = \{ x_0, x_1, x_2, \ldots , x_n \} ,\] hvor \( a=x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_n = b\). Partisjonen deler intervallet \([a,b]\) opp i \(n\) delintervaller \[ [x_0, x_1], [x_1, x_2], \ldots , [x_{n-1}, x_n], \] hvor lengden av delintervall nummer \(i\) er \[\Delta x_i = x_i-x_{i-1} .\]

La oss nå se på et enkelt delintervall \( [x_{i-1}, x_i]\). Funksjonen \(f\) er kontinuerlig, så det finnes en maksimums- og en minimumsverdi for \(f\) på \([x_{i-1}, x_i]\) (dette følger fra ekstremalverdisetningen). Det betyr at vi kan finne to verdier, \(l_i\) og \(u_i\), i \([x_{i-1}, x_i]\) slik at \[ f(l_i) \leq f(x) \leq f(u_i) \quad \text{ når } \, x_{i-1} \leq x \leq x_i . \] Vi merker oss at arealet under grafen til \(f\) på intervallet \([x_{i-1}, x_i]\) må være større enn et rektangel med areal \(f(l_i) \Delta x_i\), men mindre enn et rektangel med areal \(f(u_i) \Delta x_i \). På hele intervallet \([a,b]\) ser vi dermed at arealet under grafen til \(f\) må være mindre enn den øvre riemannsummen \[ U(f, P) = f(u_1) \Delta x_1 + f(u_2) \Delta x_2 + \cdots f(u_n) \Delta x_n = \sum_{i=1}^n f(u_i) \Delta x_i, \] men større enn den nedre riemannsummen \[ L(f, P) = f(l_1) \Delta x_1 + f(l_2) \Delta x_2 + \cdots f(l_n) \Delta x_n = \sum_{i=1}^n f(l_i) \Delta x_i. \] Dersom vi beregner øvre- og nedresummer med stadig finere partisjoner \(P\) (det vil si partisjoner med flere punkter som ligger stadig tettere), forventer vi at disse riemannsummene vil nærme seg en felles verdi, og at denne felles verdien er arealet under grafen til \(f\). Dette er også tilfellet. Vi definerer det bestemte integralet til \(f\) på intervallet \([a,b]\) som følger.

Definisjon: Det bestemte integralet
Dersom det finnes et tall \(I\) slik at \[ L(f, P) \leq I \leq U(f, P), \] for alle partisjoner \(P\) av intervallet \([a,b]\), sier vi at funksjonen \(f\) er integrerbar på \([a,b]\). Vi sier at \(I\) er det bestemte integralet til \(f\) over \([a,b]\), og med symboler skriver vi \[ I = \int_a^b f(x) dx .\]

Merk: Innledningsvis antok vi at \(f\) er en positiv og kontinuerlig funksjon, men definisjonen av det bestemte integralet er faktisk gyldig for enhver begrenset funksjon.

Følgende egenskaper ved det bestemte integralet kan være kjekke å huske på.

Teorem
Anta at funksjonene \(f\) og \(g\) er integrerbare på et intervall som inneholder punktene \(a\), \(b\) og \(c\). Da gjelder:

a) Integralet over et intervall av lengde null er null:

\[ \int_a^a f(x)dx=0.\]

b) Dersom vi bytter om integrasjonsgrensene i et integral, svarer dette til å endre fortegn i integralet:

\[\int_b^a f(x) \, dx=-\int_a^b f(x) \, dx.\]

c) Dersom \(A\) og \(B\) er konstanter, så er

\[\int_a^b \left(Af(x)+Bg(x)\right) \, dx=A\int_a^b f(x) \, dx+B\int_a^b g(x)\, dx.\]

d) Dersom \(a \leq b \leq c\), så er

\[\int_a^c f(x) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c f(x) \, dx.\]

e) Dersom \(a<b\) og \(f(x)\leq g(x)\) for alle \(x\in (a,b)\), så er

\[ \int_a^b f(x) \, dx \leq \int_a^b g(x) \, dx.\]

f) Dersom \(f\) er integrerbar, så er også \(|f|\) integrerbar, og

\[ \left| \int_a^b f(x) \, dx \right|\leq \int_a^b \left|f(x)\right| \, dx.\]

Å løse integrasjonsoppgaver ved bruk av definisjonen av det bestemte integralet kan være arbeidskrevende og strevsomt. Analysens fundamentalteorem forteller oss at integrasjon og derivasjon er motsatte regningsarter. Dette gjør at vi, i stedet for å evaluere kompliserte summer, kan løse integrasjonsoppgaver ved å finne en antiderivert til den funksjonen vi ønsker å integrere.

Analysens fundamentalteorem
Anta at \(f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}\) er kontinuerlig. Da er f integrerbar på ethvert intervall \([a,x]\) der \(a \leq x \leq b\), og funksjonen

\[F(x)=\int_a^x f(t) dt\]

er en antiderivert til \(f\) på \([a,b]\).

Korollar
Anta at \(f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}\) er kontinuerlig, og at \(G\) er en antiderivert til \(f\). Da er

\[\int_a^b f(x) dx=G(b)-G(a).\]

Fundamentalteoremet forteller oss at dersom vi skal finne integralet til funksjonen \(f\) over et intervall, så er det tilstrekkelig å finne en antiderivert til \(f\) på intervallet. Ved å tenke på regnereglene for derivasjon som regneregler for antiderivasjon, kan vi dermed utvikle nyttige integrasjonsteknikker. For eksempel gir kjerneregelen følgende teorem.

Teorem: Substitusjon i bestemte integraler
Anta at \(g\) er deriverbar på intervallet \([a,b]\). Hvis \(f\) er en kontinuerlig funksjon, så er \[\int_a^b f(g(x)) g'(x) dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) du.\]

Delvis integrasjon er i bunn og grunn en omskriving av produktregelen for derivasjon. Anta at \(u,v\) er to deriverbare funksjoner. Da har vi

\[(u(x)v(x))'=u(x)v'(x)+v(x)u'(x).\]

Ved å flytte over et av leddene, og så integrere på begge sider av ligningen, får vi

\[\int u(x)v'(x)\mathrm{d}x=uv-\int v(x)u'(x)\mathrm{d}x.\]

Enhver rasjonal funksjon \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) har en antiderivert. Trikset for å finne den antideriverte er å skrive om den rasjonale funksjonen ved å bruke polynom av lavere grad.

Teorem: Delbrøksoppspaltning (Forenklet versjon)
Anta at polynomet \(P\) har lavere grad enn polynomet \(Q\) (Dersom dette ikke er tilfelle, utfør polynomdivisjon). Dersom \(Q\) er på formen \(Q(x) = (x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_n)\), dvs et produkt av \(n\) distinkte lineære faktorer, så finnes det konstanter \(A_1,\ldots,A_n\) slik at \[\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{A_1}{(x-a_1)}+\frac{A_2}{(x-a_2)}+\cdots+\frac{A_n}{(x-a_n)}.\]

Substitusjon er en metode er vi substituerer (bytter ut) en funksjon av \(x\) med en ny enkeltvariabel \(u\). Målet med dette er å oppnå et uttrykk som er enklere å integrere. Invers substitusjon går ut på å substituere en enkeltvariabel med en funksjon av en ny variabel. Målet er å få integranden på en form der vi kjenner den antideriverte fra før, eller nære nok en antiderivert til at vi kan klare å løse integralet ved hjelp av ytterligere integrasjonsteknikker. De viktigste inverse substitusjonene er trigonometriske funksjoner.

Invers sinussubstitusjon:

La \(a>0\) og \(x \in (-a,a)\). Uttrykket \(\sqrt{a^2-x^2}\) kan forenkles ved å bruke substitusjonen \(x=a\sin{\theta}\), som gir

\[\sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{a^2(1-\sin^2\theta)}=a\cos\theta,\]

for \(\theta \in (-\pi/2,\pi/2)\).

Invers sekantsubstitusjon:

La \(a>0\) og \(x \in (-\infty,-a) \cup (a,\infty)\). Uttrykket \(\sqrt{x^2-a^2}\) kan forenkles ved å bruke substitusjonen \(x=a\sec\theta\), som gir

\[\sqrt{x^2-a^2} = a \sqrt{\sec^2\theta-1} = a \left| \tan\theta \right| \]

for \(\theta \in (-\pi/2,\pi/2)\) som er slik at uttrykket under rottegnet er positivt.

Invers tangentsubstitusjon:

Uttrykkene \(\sqrt{a^2+x^2}\) og \(\frac{1}{x^2+a^2}\) kan forenkles ved subsititusjoen \(x=a\tan\theta\), som i de respektive tilfellene gir:

\[\sqrt{a^2+x^2} = a\sec\theta, \qquad \frac{1}{x^2+a^2} = \frac{\cos^2\theta}{a^2}, \]

Substitusjonene kan brukes for \(a>0\) og \(\theta \in (-\pi/2,\pi/2)\).

\(\tan(\theta/2)\)-substitusjonen:

Enhver rasjonal funksjon av \(\sin(\theta)\) og \(\cos(\theta)\) kan skrives om til en rasjonal funksjon av \(x\) ved å bruke substitusjonen \(x = \tan(\theta/2)\).

Tidligere har vi deivert riemannintegraler for begrensa funksjoner på begrensa intervall. I praksis viser det seg at man også trenger å kunne regne ute integral der enten integranden eller integrasjonintervallet ikke er begrensa. Dette gjør vi ved å regne ut såkalte uegenlige (eller uekte) integral, som vi skal definere som grenseverdier av vanlige integral.

Definisjon: Uegentlig integral av type I
Dersom \(f\) er kontinerlig på \([a,\infty)\) definerer vi det uekte integralet av \(f\) på intervallet \([a,\infty)\) som

\[ \int_a^{\infty}f(x)dx=\lim_{R\to \infty}\int_a^R f(x)dx.\]

Vi sier at integralet eksisterer dersom grenseverdien eksisterer (dvs. at grenseverdien er et endelig tall). Integral over intervall på formen \((-\infty,b]\) defineres på lignende måte.

Vi definerer også \[ \int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx= \lim_{a \to -\infty} \int_a^0 f(x)dx + \lim_{b \to \infty} \int_0^b f(x)dx,\] som betyr at integralet til venstre er definert dersom begge grenseverdiene til høyre eksisterer.

Definisjon: Uengentlige integral av type II
Dersom \(f\) er kontinuerlig på intervallet \((a,b]\) og ikke begrenset nær \(a\) definerer vi det uegentlige integralet av \(f\) som

\[\int_a^b f(x)dx=\lim_{c\to a^+}\int_c^bf(x)dx.\]

Tilfellet der \(f\) er integrerbar på intervallet \([a,b)\) og ikke er begrenset nær \(b\) er definert på tilsvarende måte ved å bruke grenseverdien fra venstre.

Noen uegentlige integral som er greit å kunne utenat.

Teorem: p-integral
Dersom \(a > 0\), så har vi at

\[\begin{aligned} (a) \quad \int_a^{\infty}x^{-p}dx \quad \begin{cases} \mbox{konvergerer mot } \frac{a^{1-p}}{p-1} & \mbox{dersom } p>1, \\ \mbox{divergerer mot } \infty & \mbox{dersom } p \le 1. \end{cases}\\ (b) \quad \int_0^ax^{-p}dx \quad \begin{cases} \mbox{konvergerer mot } \frac{a^{1-p}}{1-p} & \mbox{dersom } p<1, \\ \mbox{divergerer mot } \infty & \mbox{dersom } p \ge 1. \end{cases}\\ \end{aligned}\]

Ofte er vi ikke interesserte i den eksakte verdien til et uegentlig integral, men er heller interessert i om det konvergerer eller divergerer. Det neste teoremet er nyttig i slike tilfeller og brukes ofte sammen med teoremet over.

Teorem: Et sammenligningsteorem for integral
La \(-\infty \le a < b \le \infty\). Anta at \(f\) og \(g\) er kontinuerlige på intervallet \((a,b)\) og at vi har \(0 \le f(x) \le g(x)\) over dette intervallet. Dersom \(\int_a^b g(x) dx\) konvergerer,så konvergerer også \(\int_a^b f(x) dx\)

\[ \int_a^b f(x) dx \le \int_a^b g(x) dx. \]

Volumet av et legeme som ligger mellom \(x=a\) og \(x=b\), og som i punktet \(x\) har tverrsnittsareal \(A(x)\), er gitt ved integralet \[ V = \int_a^b A(x) \, dx.\]

Dette prinsippet kan brukes til å finne volumet av det vi kaller omdreiningslegemer; dette er legemer som fremkommer når et område i planet dreies om en gitt akse.

Rotasjon om x-aksen
Volumet som fremkommer når området \(0 \leq y \leq f(x)\), \(a < x < b\), dreies om \(x\)-aksen, er \[V = \pi \int_a^b (f(x))^2 \, dx. \]

Rotasjon om y-aksen
Volumet som fremkommer når området \(0 \leq y \leq f(x)\), \(0 \leq a < x < b\), dreies om \(y\)-aksen, er \[V = 2 \pi \int_a^b x f(x) \, dx. \]

Teorem: Lengden til en graf
Anta at \(f\) er en kontinuerlig deriverbar funksjon på intervallet \([a,b]\). Da er lengden av grafen \(y=f(x)\) fra \(x=a\) til \(x=b\) gitt ved \[s = \int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2} \, dx.\]

Teorem: Rotasjonsflate

(a) Rotasjon om x-aksen
Hvis \(f\) er kontinuerlig deriverbar på intervallet \([a,b]\), og grafen \(y=f(x)\) roteres om \(x\)-aksen, så er arealet av overflaten som fremkommer gitt ved \[S = 2 \pi \int_a^b \left| f(x) \right| \sqrt{1+\left(f'(x) \right)^2} \, dx .\]

(b) Rotasjon om y-aksen
Hvis grafen i stedet roteres om \(y\)-aksen, så er arealet av overflaten som fremkommer gitt ved \[S = 2 \pi \int_a^b \left| x \right| \sqrt{1+\left(f'(x) \right)^2} \, dx .\]

I Leibniz' framstilling av derivasjonslæren opptrer elementer av typen \(dx\), kalt differensialer. Mange av formlene som dukker opp i dette kapittelet kan enkelt forstås ved å tenke på Leibniz' differensialer som tall (merk: det er de faktisk ikke). Vi illustrerer dette med to eksempler nedenfor.

Integralet for buelengde
Del intervallet \([a,b]\) inn i små delintervaller \(dx\), og la \(dy\) være endringen i funksjonsverdi på \(dx\). Fra Pythagoras' teorem følger det at bidraget fra intervallet \(dx\) til den totale buelengden er \[ ds = \sqrt{dx^2+dy^2} = dx \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2} = dx \sqrt{1+\left( f'(x) \right)^2} . \] Summerer vi alle bidrag \(ds\) over intervallet \([a,b]\) får vi at den totale buelengden \(s\) er \[ s = \int_{x=a}^{x=b} ds = \int_{a}^{b} \sqrt{1+\left( f'(x) \right)^2} \, dx. \]

Integralet for arealet av en rotasjonsflate
Anta at vi roterer grafen til \(f(x)\) for \(a \leq x \leq b\) rundt enten \(x\)- eller \(y\)-aksen. Vi deler intervallet \([a,b]\) i små delintervaller \(dx\), og vet at buelengden av grafen over \(dx\) er \(ds = dx \sqrt{1+\left( f'(x) \right)^2}\). Legg så merke til at bidraget fra \(ds\) til arealet av rotasjonsflaten er \(2\pi r \cdot ds\), der \(r\) er avstanden fra grafen til rotasjonsaksen. Ved å summere opp alle bidrag får vi at det totale arealet av flaten som fremkommer når grafen til \(f\) roteres om en koordinatakse er gitt ved \[ S = \int_a^b 2 \pi r \sqrt{1+\left( f'(x) \right)^2} \, dx. \]