Numerikk

Numeriske metoder brukes dersom man har et problem som ikke lar seg løse på eksakt vis.

Innholdsfortegnelse:
Ligningsløsere
Numerisk integrasjon

Ligningsløsere

I anvendelser av matematikk har man ofte bruk for å løse ligninger som ikke kan løses analytisk. Et klassisk eksempel er \(x=\cos x\).

Fikspunktiterasjon

Hvis vi har en ligning på formen \(x=g(x)\), vil iterasjonen \[x_{n+1}=g(x_{n})\] under visse omstendigheter konvergere til korrekt løsning.


Newtons metode
Hvis vi har en ligning på formen \(f(x)=0\), vil iterasjonen \[x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.\] under visse omstendigheter konvergere til korrekt løsning.


Et ordentlig bevis for konvergens av fikspunktiterasjonen
Det er mulig å sette opp tilstrekkelige kriterier for fikspunktiterasjonens konvergens med teknikkene vi lærer i Matte 1.


Relevante kapitler: 4.2
Relevante eksempler:
- Newtons metode
Relevante videoer:
- Finne største areal, og bruk av Newtons metode (Kont 2006, oppg. 5) (11:48)
- Vise at en ligning har minst en løsning, og finne denne ved Newtons metode (Kont 2010, oppg. 5) (09:29)
- Finne nøyaktig ett nullpunkt med Newtons metode (Kont 1999, oppg. 2a) (17:59)
Relevante pencaster:
- Newtons metode anvendt for å finne kvadratrøtter (Oppg. 4.2.8 i Adams) (03:33)
Relevante Mapleark:
- Newtons metode
Relevante oppgaver:
4.2.1, 4.2.3, 4.2.8, 4.2.11

Numerisk integrasjon

Noen ganger er det ikke mulig å finne en antiderivert av integranden uttrykt ved kjente funksjoner; for eksempel er det ikke mulig å finne en formel for \(\int \sin(x^2) dx\). Det lar seg likevel gjøre å finne nøyaktige og effektive numeriske metoder for å approksimere \(\int_{a}^{b} \sin(x^2) dx\).

De tre numeriske metodene som følger bruker alle samme strategi. Gitt en funksjon \(f\) på et intervall \([a,b]\), del intervallet \([a,b]\) opp i \(n\) delintervall av lik lengde \(h=\frac{b-a}{n}\) og approksimèr \(f\) på hvert delintervall med en enklere funksjon. Forskjellen på de tre metodene er hva slags funksjoner de bruker til å approksimere \(f\) med på delintervallene.


Trapesregelen:
Vi approksimerer \(f\) ved lineær interpolasjon på hvert delintervall. Dette gir et trapes på hvert delintervall, og arealformelen for trapes gir

\[\int_a^b f(x)\mathrm{d}x \simeq h\left(\frac{f(x_0)+f(x_1)}{2}+\ldots+\frac{f(x_{n-1})+f(x_n)}{2}\right)=h\left(\frac{f(x_0)}{2}+\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i) +\frac{f(x_n)}{2}\right).\]

Midtpunktregelen:
På hvert delintervall \([x_{i-1},x_i]\) lar vi \(f((x_{i-1}+x_i)/2)\) approksimere \(f\), og får

\[\int_a^b f(x)\mathrm{d}x \simeq h\left( f(m_1)+f(m_2)+\cdots+f(m_n) \right).\]
Simpsons regel:
Denne metoden krever at tallet på delintervall \(n\) er et partall. Gitt et partall antall delintervall, kan vi ved å slå sammen to og to intervall inntil hverandre få \(n/2\) større delintervall av lengde \(2h\) og med \(3\) kjente funksjonsverdier på hvert av de sammenslåtte delintervallene. På hvert delintervall approksimerer vi da \(f\) med den unike kvadratiske funksjonen som går igjennom dissse tre punktene. Dette gir Simpsons regel

\[\int_a^b f(x)\mathrm{d}x \simeq \frac{h}{3}\left( f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+\cdots+ 2f(x_{n-2})+ 4f(x_{n-1})+f(x_{n}) \right),\] der odde indekser har koeffisient \(4\), partallsindekser har koeffisient \(2\), og endepuntene har koeffisient \(1\).

Kapitler i boka:
4.2 og 6.6-6.7

2019-10-08, Marius Thaule