Anvendelser av integrasjon - Eksempler

Her finner du eksempler som illustrerer begreper og teoremer introdusert på temasiden om anvendelser av integrasjon.

Problem
La \[ f(x) = xe^{\frac{1}{2}x} + 4 ,\] og la \(A\) være området i \(xy\)-planet avgrenset av \(x\)-aksen og grafen til \(f\) mellom \(x=0\) og \(x=2\). Finn volumet av omdreiningslegemet som framkommer når \(A\) dreies om \(y\)-aksen.

Løsning
Dersom vi skal bruke skivemetoden til å finne volumet, må vi først finne \(x\) som funksjon av \(y=f(x)\), og dette ser ut til å bli vanskelig. Vi prøver oss derfor med sylinderskallmetoden i stedet. Denne gir volumet som integralet \[ V = 2\pi \int_0^2 x \left( x e^{\frac{1}{2}x} + 4 \right) \, dx = 2\pi \int_0^2 x^2 e^{\frac{1}{2}x} + 4x \, dx.\] Ved å integrere delvis to ganger får vi at

\[\begin{align} V&=2\pi\left( [x^2 2\mathrm{e}^{\frac{1}{2}x}]_0^2-\int_0^2 2x2\mathrm{e}^{\frac{1}{2}x}\, dx+[2x^2]_0^2\right)\\ &=\pi\left( [x^2 2\mathrm{e}^{\frac{1}{2}x}-8x\mathrm{e}^{\frac{1}{2}x}+16\mathrm{e}^{\frac{1}{2}x}+ 2x^2]_0^2\right)=2\pi(8\mathrm{e}-8). \end{align}\]

Problem
Anta at vi kan modellere en bolle ved å rotere grafen til \(f(x) = kx^2\) for \(0 \leq x \leq a\) rundt \(y\)-aksen. Gitt at bollen skal ha et bestemt volum \(V\), hvordan kan vi bestemme \(k>0\) og \(a>0\) slik at overflatearealet av bollen er minst mulig?

Løsning
Vi vil finne \(k>0\) og \(a>0\) slik at overflatearealet av bollen er minimalt. Da må vi først finne dette arealet uttrykt som funksjon av \(a\) og \(k\). Vi deler opp arealet i tynne, sirkulære bånd med omkrets \(2\pi r = 2\pi x\) og bredde \(ds = \sqrt{1+\left( f'(x) \right)^2} dx\). Det totale arealet er da gitt ved integralet

\[ A=2\pi\int_0^a x\sqrt{1+4k^2x^2}\,dx=\frac{\pi}{6k^2}[(1+4k^2x^2)^{3/2}]_0^a=\frac{\pi (1+4k^2a^2)^{3/2}}{6k^2}-\frac{\pi}{6k^2}. \]

Dersom vi nå finner en sammenheng mellom \(a\) og \(k\), kan vi bruke denne sammenhengen til å uttrykke \(A\) som funksjon av kun en variabel. Vi har oppgitt at bollen skal ha et bestemt volum \(V\). Ved å bruke skivemetoden finner vi dessuten at volumet \(V\) er gitt ved integralet

\[V=\pi\int_0^{ka^2}\left(\sqrt{\frac{y}{k}}\right)^2\, dy=\frac{\pi}{k}\int_0^{ka^2} y\, dy =\frac{\pi}{2k} [y^2]_0^{ka^2}=\frac{\pi ka^4}{2}.\]

Altså har vi at \(k=2V/\pi a^4\). Ved å sette inn dette i uttrykket for \(A\) finner vi arealet som funksjon av kun \(a\). Vi merker oss at \(A\) vokser raskere med økende \(a\) enn med økende \(k\). Vi kan derfor bestemme den verdien av \(a\) som gir minst overflateareal ved å finne den deriverte \(A'(a)\), og deretter finne den minste positive verdien \(a_0\) som oppfyller \(A'(a_0) = 0\). Dette kan du for eksempel gjøre i Maple.

Problem

La \(R\) være området avgrenset av \(x\)-aksen og grafen til funksjonen \(f(x) = 4-(x-4)^2\). Finn volumet av legemet som fremkommer når \(R\) dreies om \(y\)-aksen.

Løsning

Ifølge Pappus' teorem er volumet av dette legemet gitt ved \(V=2\pi \bar{r} A\), der \(\bar{r}\) er korteste avstand fra rotasjonsaksen til sentroiden til \(R\), og \(A\) er arealet av \(R\). Fordi rotasjonsaksen i dette tilfellet er \(y\)-aksen, har vi at \(\bar{r}= \bar{x}\), der \(\bar{x}\) er \(x\)-koordinaten til sentroiden til \(R\). Denne er gitt ved \[ \bar{x} = \frac{1}{A} \int_2^6 xf(x) \, dx .\] (Merk at grafen til \(f(x)\) skjærer \(x\)-aksen i \(x=2\) og \(x=6\).) Vi får derfor \[\begin{align} V &= 2\pi \bar{r} A = 2\pi \bar{x} A = 2\pi \int_2^6 xf(x) \, dx \\ &= 2\pi\int_2^6 -x^3+8x^2-12x\,dx=2\pi\left[-\frac{x^4}{4}+\frac{8}{3}x^3-6x^2\right]_2^6=\frac{256}{3}\pi.\end{align} \]