Taylorpolynomer

Taylorpolynomer er den mest grunnleggende måten å approksimere glatte funksjoner med polynomer.

Innholdsfortegnelse:
Approksimasjon ved taylorpolynomer
Taylors teorem
Analysens fundamentalteorem om igjen

Approksimasjon ved taylorpolynomer

Vi har sett at gitt en funksjon \(f\) som er deriverbar i eit punkt \(a\), så er lineariseringen \(L(x)=f(a)+f'(a)\) en god lineær tilnærming av funksjonen \(f\) nær punktet \(a\). Legg merke til at \(L(a)=f(a)\) og også at \(L'(a)=f'(a)\). Et naturlig spørsmål er da hvor god tilnærming til funksjonen \(f\) vi kan oppnå om vi tillater polynom av høyere grad med tilsvarende egenskap, nemlig at n'te deriverte av polynomet i punktet \(a\) er lik n'te deriverte av funksjonen i punket \(a\). Vi kaller polynom med disse egenskapene Taylorpolynom.

Anta at \(f\) er n ganger deriverbar i punktet \(a\). Taylorpolynomet til f av grad n om punktet a er da gitt ved

\[P_n(x) = f(a) + f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n.\] \(P_n\) er det unike polynomet av grad høyst \(n\) som er slik at \(f(a) = P_n(a), \ f'(a) = P_n'(a), \ldots ,f^{(n)}(a) = P^{(n)}(a).\) \(P_1\) er lineariseringen av \(f\) om punktet \(a\).

Taylors teorem

Dersom den \((n+1)\) deriverte \(f^{(n+1)}\) er definert for alle \(t\) i et intervall som innholder \(a\) og \(x\), kan vi skrive

\[f(x)= P_n(x)+ \frac{f^{(n+1)}(s)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\]

for et tall \(s\) mellom \(a\) og \(x\). Leddet

\[E_n(x) = f(x)-P_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(s)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\]

kalles feilen.

Analysens fundamentalteorem om igjen

Dersom restleddet skrives på integralform, kan Taylors teorem tenkes på som en omskrivning av analysens fundamentalteorem.

Relevante kapitler: 4.9-4.10
Relevante eksempler:
- Approksimering av funksjoner ved bruk av polynom
Relevante videoer:
- Introduksjon til taylorpolynom (11:51)
- Restledd i taylorpolynom (feilestimat) (13:48)
- Finne beste approksimasjon til funksjonsverdi (oppgave) (16:58)
- Ligningen for tangent, og taylorpolynom til implisitt funksjon (Kont 2005, oppg. 4) (14:40)
- Taylorpolynom av implisitt funksjon (Eksamen 2000, oppg. 9) (13:52)
Relevante pencaster:
- Finne lineariseringen til en funksjon (Oppg. 4.9.10 i Adams) (01:39)
- Finne taylorpolynomet til en funksjon (Oppg. 4.10.6 i Adams) (03:11)
Relevante Maple-ark:
- Taylorpolynom
Relevante oppgaver:
4.9.1, 4.9.3, 4.9.10, 4.9.29, 4.10.1, 4.10.6, 4.10.9, 4.10.10, 4.10.22, 4.10.27, 4.10.28

Kapitler i boka: 4.9-4.10.
Eksempler

2019-10-08, Marius Thaule