Taylorpolynomer

Taylorpolynomer er den mest grunnleggende måten å approksimere glatte funksjoner med polynomer.

Innholdsfortegnelse:
Approksimasjon ved taylorpolynomer
Taylors teorem
Analysens fundamentalteorem om igjen

Vi har sett at gitt en funksjon \(f\) som er deriverbar i eit punkt \(a\), så er lineariseringen \(L(x)=f(a)+f'(a)\) en god lineær tilnærming av funksjonen \(f\) nær punktet \(a\). Legg merke til at \(L(a)=f(a)\) og også at \(L'(a)=f'(a)\). Et naturlig spørsmål er da hvor god tilnærming til funksjonen \(f\) vi kan oppnå om vi tillater polynom av høyere grad med tilsvarende egenskap, nemlig at n'te deriverte av polynomet i punktet \(a\) er lik n'te deriverte av funksjonen i punket \(a\). Vi kaller polynom med disse egenskapene Taylorpolynom.

Anta at \(f\) er n ganger deriverbar i punktet \(a\). Taylorpolynomet til \(f\) av grad \(n\) om punktet \(a\) er da gitt ved

\[P_n(x) = f(a) + f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n.\] \(P_n\) er det unike polynomet av grad høyst \(n\) som er slik at \(f(a) = P_n(a), \ f'(a) = P_n'(a), \ldots ,f^{(n)}(a) = P^{(n)}(a).\) \(P_1\) er lineariseringen av \(f\) om punktet \(a\).

Dersom den \((n+1)\) deriverte \(f^{(n+1)}\) er definert for alle \(t\) i et intervall som innholder \(a\) og \(x\), kan vi skrive

\[f(x)= P_n(x)+ \frac{f^{(n+1)}(s)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\]

for et tall \(s\) mellom \(a\) og \(x\). Leddet

\[E_n(x) = f(x)-P_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(s)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\]

kalles feilen.

Dersom restleddet skrives på integralform, kan Taylors teorem tenkes på som en omskrivning av analysens fundamentalteorem, \[ E_n(x) = f(x) - P_n(x) = \int_a^x \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!} (t-a)^n \,dt. \]