Grenser og kontinuitet

Grensebegrepet for funksjoner står svært sentralt i kalkulus. I dette kapittelet skal vi bruke grensebegrepet til å definere kontinuitet. Senere skal vi se at også den deriverte av en funksjon, og det bestemte integralet, defineres ved bruk av grensebegrepet.

Innholdsfortegnelse:
En uformell definisjon av grenseverdi
Ensidige grenser
Regneregler for grenser
Grenseverdier i uendelig
Uendelige grenser
Kontinuitet
Ekstremalverdisetningen og skjæringssetningen
Den formelle definisjonen av en grense

Anta at funksjonen \(f\) er definert i nærheten av punktet \(a\). Vi sier at \(L\) er grenseverdien til \(f(x)\) når \(x\) går mot \(a\) dersom vi kan få avstanden mellom \(f(x)\) og \(L\) så liten vi måtte ønske ved å velge \(x\) tilstrekkelig nær (men ikke lik) \(a\). Vi skriver

\[L=\lim_{x\to a} \ f(x).\]

Vi sier at \(L\) er grenseverdien til \(f(x)\) når \(x\) går mot \(a\) ovenfra, eller fra høyre, dersom vi kan få avstanden mellom \(f(x)\) og \(L\) så liten vi måtte ønske ved å velge \(x\) større enn, og tilstrekkelig nær (men ikke lik) \(a\). Med symboler skriver vi \[\lim_{x\to a^+}f(x)=L.\]

På tilsvarende måte definerer vi grenseverdien til \(f(x)\) når \(x\) går mot \(a\) nedenfra, eller fra venstre.

Den tosidige grenseverdien \(\lim_{x \to a} f(x)\) eksisterer og er lik \(L\) hvis og bare hvis begge de ensidige grensene \(\lim_{x \to a^+} f(x)\) og \(\lim_{x \to a^-} f(x)\) eksisterer og er lik \(L\). Med symboler kan vi skrive

\[\lim_{x\to a}f(x)=L\iff \lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=L.\]

Anta at de to funksjonene \(f\) og \(g\) begge er definert i nærheten av \(a\), og at \(\lim_{x\to a}f(x)=L\) og \(\lim_{x\to a}g(x)=M\). Da gjelder følgende:

1. \(\lim_{x\to a}[f(x)+g(x)]=L+M\)
2. \(\lim_{x\to a}[f(x)-g(x)]=L-M\)
3. \(\lim_{x\to a}f(x)g(x)=LM\)
4. \(\lim_{x\to a}kf(x)=kL\) for enhver konstant \(k\).
5. \(\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}, \quad \text{forutsatt at} \,\, M\neq 0.\)
6. La \(m\) og \(n\) være heltall, hvor \(n>0\). Da er \(\lim_{x\to a}[f(x)]^{m/n}=L^{m/n}\), forutsatt at \(L>0\) hvis \(n\) er et partall og \(L\neq 0\) hvis \(m<0\).
7. Dersom \(f(x)\le g(x)\) i en omegn rundt \(a\), så er \(L\le M\).

Skviseregelen:
Dersom \(\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}h(x)=L\) og \(f(x)\le g(x)\le h(x)\) i en omegn rundt \(a\), så er \(\lim_{x\to a}g(x)=L.\)

Vi sier at \(f(x)\) går mot \(L\) som grenseverdi når \(x\) går mot \(\infty\) dersom vi kan få avstanden mellom \(f(x)\) og \(L\) så liten vi måtte ønske ved å velge \(x\) tilstrekkelig stor. Vi skriver

\[\lim_{x\to\infty}f(x)=L.\]

Likeledes sier vi at \(f(x)\) går mot \(L\) som grenseverdi når \(x\) går mot \(-\infty\) dersom vi kan få avstanden mellom \(f(x)\) og \(L\) så liten vi måtte ønske ved å velge \(-x\) tilstrekkelig stor. Vi skriver

\[\lim_{x\to -\infty}f(x)=L.\]

Regnereglene for grenser nevnt ovenfor gjelder også for grenser i uendelig.

Vi sier at en funksjon \(f\) går mot uendelig når \(x\) går mot \(a\) dersom vi kan få \(f(x)\) så stor vi måtte ønske ved å velge \(x\) tilstrekkelig nær (men ikke lik) \(a\). Vi skriver \[\lim_{x\to a}f(x)=\infty .\]

Når vi skriver \(\lim\limits_{x\to a}f(x)=\infty\) mener vi altså ikke at grensen \(\lim\limits_{x \to a} f(x)\) eksisterer; vi forteller hvorfor den ikke eksisterer (fordi \(f\) vokser ubegrenset når \(x\) nærmer seg \(a\)).

På tilsvarende måte kan vi definere \(\lim\limits_{x\to a}f(x)=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to a^-}f(x)=\pm\infty\), \(\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=\pm\infty\) og \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=\pm\infty\).

En funksjon \(f\) er kontinuerlig i et punkt \(a \in D_f\) dersom grenseverdien til \(f\) i \(a\) er lik funksjonsverdien \(f(a)\), altså at

\[\lim_{x \to a} \ f(x) = f(a).\]

Akkurat som for grenseverdier, kan vi snakke om kontinuitet fra høyre eller venstre. Dette kan for eksempel være nyttig dersom vi vil diskutere kontinuitet i endepunktet av et intervall, og vi kun er interessert i hvordan funksjonen oppfører seg når vi nærmer oss punktet fra den ene siden. Vi sier at en funksjon \(f\) er kontinuerlig ovenfra, eller fra høyre, i punktet \(a\), dersom

\[ \lim_{x\to a^+} f(x)=f(a).\]

På tilsvarende måte definerer vi kontinuitet nedenfra, eller fra venstre.

Vi sier at en funksjon \(f : [a, b] \to \mathbb{R}\) er kontinuerlig på intervallet \([a,b]\) dersom \(f\) er kontinuerlig i alle indre punkter \(c \in (a, b)\), samt kontinuerlig fra høyre i punktet \(a\) og kontinuerlig fra venstre i punktet \(b\). At en funksjon er kontinuerlig, betyr egentlig at du kan tegne funksjonen uten å løfte blyanten fra arket.

Ekstremalverdisetningen sier at enhver kontinuerlig funksjon \(f\) på et lukket intervall \([a, b]\) har en maksimums- og en minimumsverdi. Dette betyr at vi på grafen til \(f\) kan finne et høyeste og et laveste punkt.

Ekstremalverdisetningen:
La \(f\) være en kontinuerlig funksjon definert på et lukket, begrenset intervall \([a,b]\). Da finnes det tall \(p\) og \(q\) i \([a,b]\) slik at \[f(p) \le f(x) \le f(q)\] for alle \(x \in [a, b]\).

Skjæringssetningen sier at en funksjon \(f\) definert på et lukket intervall \([a,b]\) tar alle verdier mellom \(f(a)\) og \(f(b)\). Dette underbygger vår intuitive følelse av at kontinuerlige funksjoner har "sammenhengende" grafer.

Skjæringssetningen:
Dersom \(f\) er en kontinuerlig funksjon på intervallet \([a,b]\), så finnes det for enhver \(s\) mellom \(f(a)\) og \(f(b)\) en \(c \in [a,b]\) slik at \(f(c) = s\).

Den uformelle definisjonen av en grense gir oss en intuitiv forståelse av hva vi mener med en grenseverdi, men når vi skal bevise teoremer, må vi ha hardere skyts.

Presis definisjon av grenseverdi:
Anta at funksjonen \(f\) er definert i et intervall rundt punktet \(a\) (unntatt muligens i \(a\) selv). Vi sier at

\[L=\lim_{x\to a} \ f(x)\]

dersom: for en hver \(\varepsilon > 0\) finnes \(\delta>0\) slik at \( 0 < | \, x - a \, | < \delta \) impliserer \(| \, f(x) - L \, | < \varepsilon\).

På tilsvarende vis kan vi formelt definere ensidige grenser, grenser i uendelig og uendelig grenser.