Derivasjon

Den deriverte forteller oss hvor fort en gitt variabel (feks Y=f(x)) endrer seg i forhold til endringen i en annen variabel (feks x). Vi kan tolke den deriverte geometrisk som stigningstallet til en tangentlinje. Den deriverte kan også tolkes fysisk som hvor stor momentan endring en størrelse har. Derivasjon har ekstremt mange anvendelser innenfor matematikk, og deriverte funksjoner dukker opp innenfor alle realfagene.

Innholdsfortegnelse:
Definisjonen av den deriverte gitt som en grenseverdi
Regneregler for deriverte
Derivasjonsregler for en del spesielle funksjoner
Sekantsetningen (middelverdisetningen) og teoremet om kritiske punkt
Implisitt derivasjon
Koblede hastigheter
Ubestemte former
Ekstremalverdier

Vi ønsker at den deriverte skal gi oss informasjon om stigningstallet til grafen, som er det samme som stigningstallet til tangenten i et hvert punkt på grafen. En tilnærming til stigningstallet til tangenten til grafen kan man få ved å se på stigningstall til sekanten som starten i punktet og går til et punkt i nærheten på grafen. Altså, gitt et punkt \((x,f(x))\) på grafen der man ønsker å finne stigningstallet, så kan man bruke et punkt \((x+h,f(x+h))\) i nærheten (\(h\) er altså liten), og se på stigningstallet til sekanten som er gitt ved:

\[\frac{f(x+h)-f(x)}h.\]

Ved å ta grenseverdien av dette stigningtallet når \(h\) går mot \(0\) får man stigningstallet til grafen for verdien \(x\).

Definisjon: Den deriverte av en funksjon
Den deriverte av en funksjon \(f\) er en funksjon \(f'\). Vi definerer \(f'\) som funksjonen som i punktet \(x\) har funksjonsverdi \( \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\). Det vil si at \[f'(x)=\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\] for alle verdier \(x\) der grenseverdien eksisterer (altså at grenseverdien er et endelig reelt tall). For alle x-verdier der \(f'(x)\) eksisterer sier vi at funksjonen \(f\) er deriverbar (eng: differentiable), og for alle andre \(x\) sier vi at \(f'\) ikke er definert.

Dersom grenseverdien over går mot uendelig for en \(x\)-verdi, så har grafen til funksjonen \(f\) en vertikal tangent i denne \(x\)-verdien. (Funksjonen \(f\) er ikke deriverbar i slike punkt).

For å kunne finne funksjonsuttrykket til den deriverte på en så effektiv måte som mulig trenger man teoremet under. For hvert teorem under har vi at dersom høyresiden eksisterer , så eksisterer også venstresiden (husk på at deriverte er definert som grenseverdier), og venstresiden er da gitt ved formelen som står oppført.

Teorem: Derivasjon av sum og produkt med konstant
\[ (f+g)'(x) = f'(x)+g'(x) \\ (Cf)'(x) = Cf'(x) \]

Teorem: Produktregelen
\[ (fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \]

Teorem:
\[ \left(\frac1f \right)'(x) = -\frac{f'(x)}{(f(x))^2}.\]

Teorem: Brøkregelen
\[ \left( \frac{f}{g} \right)'(x) = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}.\]

Teorem: Kjerneregelen
\[ (f \circ g)'(x) = f'(g(x))g'(x). \]

Under følger de viktigste deriverte:

Potensfunksjoner \[ \frac{d}{dx} x^r = rx^{r-1} \]

Eksponential- og logaritmefunksjoner \[ \frac{d}{dx} e^x = e^x \quad (e = \exp(1)) \] \[ \frac{d}{dx} a^x = \ln(a) a^x \quad (a>0) \] \[ \frac{d}{dx} \ln(x) = \frac1x \quad (x>0) \]

Trigonometriske funksjoner og inverser til disse

\[\sin'(x) = \cos x \] \[\cos'(x) = -\sin x \] \[\tan'(x) = \frac{1}{\cos^2 x} \] \[\arcsin'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \] \[\arccos'(x) = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \] \[\arctan'(x) = \frac{1}{1+x^2} \]

Under følger to teorem/setninger som er grunnleggende i kalkulus. Det første resultatet, sekantsetningen (middelverdisetningen), gir oss en sammenheng mellom tangentlinjer og sekanter, og den andre setningen gir oss en praktisk måte å bestemme hvilke punkt som kan være mulige ekstremalpunkt(maksimumspunkt og minimumspunkt).

Teorem: Sekantsetningen (middelverdisetningen)
La \(f\) være en funksjon som er kontinuerlig på et lukka intervall \([a,b]\), og er deriverbar på det indre åpne intervallet \((a,b)\). Da finnes det et punkt \(c\) i intervallet \((a,b)\) slik at

\[\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c). \]
Med andre ord finnes det altså et punkt \(c\) der tangentlinja i punktet har samme stigningstall som sekanten mellom punkta \((a,f(a))\) og \((b,f(b))\).

Teorem: Teoremet om kritiske punkt
La \(f\) være en deriverbar funksjon som er definert på et åpent intervall \((a,b)\), og som har et ekstremalpunkt \((c,f(c))\) for en \(c\) i det åpne intervallet \((a,b)\). Da er \(f'(c)=0\).

(Husk at punkt der \(f'(x)=0\) blir kalt kritiske punkt.)

Implisitt derivasjon innebærer å finne deriverte ved å bruke kjerneregelen. Kjerneregelen sier at \((f \circ g)' = (f' \circ g) g'\), og dermed kan vi finne \(g'\) ved å bruke \[ g' = \frac{(f \circ g)'}{f' \circ g}, \] så lenge dette uttrykket gir mening (dvs at nevneren ikke kan være 0). Ved å generalisere dette får vi:

Metode for implisitt derivasjon
Anta at vi har en kurve \(y(x)\) som vi kun kjenner implisitt, dvs vi kun kjenner den ved ligningen \(F(x,y)=0\), der \(F(x,y)\) er en funksjon av to variable, \(x\) og \(y\). Vi ønsker å finne \(y'(x)\) i punktet \((x_0,y_0)\)( altså (\(y'(x_0)\)), der \((x_0,y_0)\) er et punkt på kurva.
For å finne \(y'(x_0)\) kan vi:

• derivere begge sider av ligningen \(F(x,y(x))\) med hensyn på \(x\)
• evaluere i punktet \((x_0,y_0)\) (Det vil si at har tallverdier for \(x_0\) og \(y_0\) som vi kan sette inn i ligningen)
• løs ligningen for \(y'(x_0)\)

I Matematikk 1 kommer vi alltid til å bruke en ligning \(F(x,y(x))=0\) som kan separeres i to, som i eksemplene. Metoden kan også brukes for andre typer ligninger på samme form som ikke kan separeres i to.

I mange ligninger vil det være flere størrelsen som avhenger av same variable (flere størrelser kan f.eks. være avhengige av tiden, eller f.eks radius i en kule). Hvor fort disse størrelsene endrer seg med hensyn på f.eks tiden eller radius er da ikke uavhengig av hverandre, men kobla sammen. Hvordan de er kobla sammen finner vi ut ved å derivere den opprinnelige ligningen med hensyn på den variablen størrelsen avhenger av (f.eks deriverer vi med hensyn på tiden).

Metode for kobla hastigheter
Anta at vi har to ulike størrelsen \(A=A(t)\) og \(B=B(t)\) som begge er avhengige av tiden \(t\), og at vi har en ligning hvor begge størrelsene inngår, \(F(A(t)),B(t))=0\). Dersom \(A'(t)\) er kjent, men du ønsker å finne \(B'(t)\), så kan dette oppnåes ved å derivere ligningen \(F(A(t),B(t))=0 \) implisitt med hensyn på \(t\), dvs finne \( \frac{d}{dt} F(A(t),B(t)) = 0 \). Dette vil være en ligning i \(A'(t)\) og \(B'(t)\), og kan derfor løses for \(B'(t)\).

Dersom \(\lim f(x) = L\) og \(\lim g(x) = M\) så vet vi fra regneregler for grenseverdier at så lenge \(M \neq 0\), så har vi at \(\lim f(x)/g(x) = L/M\). Videre så er det kjent at dersom \(M=0\) og \(L \neq 0\) så er grenseverdien av typen \(\pm \infty\). Hva skjer så dersom både \(M=0\) og \(L=0\)? Da er grenseverdien på forma "0/0" og dette er et av flere uttrykk som man kaller en ubestemt form (indeterminate form på engelsk). Noen tilfeller av grenseverdier på denne forma lar seg regne ut relativt lett, for eksempel ved å faktorisere både teller og nevner. Videre skal vi studere en metode som kan hjelpe oss å finne enda flere grenseverdier av ubestemt form.

Teorem: L'Hôpitals første regel
Anta at \(f\) og \(g\) er deriverbare på intervallet \((a,b)\). Anta videre også at \[\begin{align} & (i) \quad \lim_{x \to a+} f(x) = \lim_{x \to a+} g(x) = 0, \\ & (ii)\quad \lim_{x \to a+} \frac{f'(x) }{g'(x)} = L. \end{align}\] Da er \[\lim_{x \to a+} \frac{f(x)}{g(x)} = L. \] Vi har det samme resultatet dersom grensa er en vanlig to-sidig grense, eller dersom grensa er en-sidig fra venstre, eller dersom det er grensen når \(x\) går mot uendelig.

Den andre reglen tar for seg ubestemt form av typen "\(\infty/\infty\)".

Teorem: L'Hôpitals andre regel
Anta at \(f\) og \(g\) er deriverbare på intervallet \((a,b)\). Anta videre også at \[\begin{align} & (i) \quad \lim_{x \to a+} g(x) = \pm \infty \text{ og } \lim_{x \to a+} f(x) = \pm \infty; \\ & (ii)\quad \lim_{x \to a+} \frac{f'(x) }{g'(x)} = L. \end{align}\] Da er \[\lim_{x \to a+} \frac{f(x)}{g(x)} = L. \] Tilsvarende resultat holder også for to-sidige grenser, ensidige grenser fra venstre og grenseverdier der \(x\) går mot uendelig.

Når man prøve å evaluere en grenseverdi treffer man ofte på ubestemte former av typen \(0^0\) eller \(0 \cdot \infty\). Da er strategien å skrive om grenseverdien til en av de ubestemte formene \(0/0\) eller \(\infty/\infty\) og bruke en av reglene over.

Vi må først definere hva vi mener med globale og lokale ekstremalverdier. Definisjonene under er for maksimum; tilsvarende definisjoner finnes for minimum.

Definisjon: Absolutt maksimumsverdi
En funksjon \(f\) har en absolutt maksimumsverdi \(f(x_0)\) i punktet \(x_0\) dersom \(x_0\) er i domenet til \(f\) og \(f(x) \le f(x_0)\) for alle \(x\) \(f\).

Definisjon: Lokal maksimumsverdi
En funksjon \(f\) har en lokal maksimumsverdi \(f(x_0)\) i punktet \(x_0\) dersom det eksisterer et tall \(h>0\) slik at \(f(x) \le f(x_0)\) for alle \(x\) i domenet til \(f\) som oppfyller \(|x-x_0|<h\).

Vi husker at et punkt \(x_0\) kalles et kritisk punkt for funksjonen \(f\) dersom \(f'(x_0)=0\). Videre definerer vi et singulært punkt til å være et punkt \(x\) i domenet til \(f\) der funksjonen \(f'(x)\) ikke er definert. Neste resultat bruker denne terminologien til å karakterisere i hvilke punkt det kan forekomme (lokale) ekstremalverdier.

Teorem: Ekstremalverdier
Dersom funksjonen \(f\) er definert på et intervall \(I\) og har et lokalt maksimum eller et lokalt minimum i et punkt \(x_0\) så er \(x_0\) enten et kritisk punkt, et singulært punkt eller et endepunkt i intervallet \(I\).

Resultatet over forteller oss hvike punkt vi må sjekke dersom vi leter etter ekstremalverdiene til en funksjon, men det gir oss ingen eksakte regler for hvilke punkt som er maksimumspunkt, hvilke som er minimumspunkt osv. Neste teorem gir oss litt mer informasjon å gå etter. Teoremet står skrevet for maksimumsverdier, men holder på samme måte for minimumsverdier.

Teorem : Førstederiverttesten for maksimum
DEL I. Testing av indre kritiske punkt og singulære punkt.
Anta at \(f\) er kontinuerlig i punktet \(x_0\), og at \(x_0\) ikke er et endepunkt i domenet til \(f\).
(i) Dersom det finnes et åpent intervall \((a,b)\) som inneholder \(x_0\) og som er slikt at \(f'(x)>0\) på intervallet \((a,x_0)\) og \(f'(x)<0\) på intervallet \((x_0,b)\) da har \(f\) et lokatl maksimum i punket \(x_0\).

DEL II. Testing av endepunkt.
Anta at \(a\) er venstre endepunkt i domenet til \(f\) og at \(f\) er høyrekontinuerlig i \(a\).
(ii) Dersom \(f'(x)<0\) for et eller annet intervall \((a,b)\), så er \(a\) er lokalt maksimum.

Anta at \(b\) er høyre endepunkt i domenet, og at \(f\) er venstrekontinuerlig i \(b\).
(iii) Dersom \(f'(x)>0\) for et eller annet intervall \((a,b)\), så er \(b\) et lokalt maksimum.