Følger, rekker og potensrekker

En følge er ei ordna liste med tall \(\lbrace a_n\rbrace\) der (i de fleste tilfeller) \(n=1, 2, 3, \ldots\). En følge har et første element, men ikke et siste element. I dette kurset vil alle element i følger være reelle tall.

Definisjon: Uttrykk for å beskrive følger
(a) En følge \(\lbrace a_n\rbrace\) sies å være nedad begrenset av \(L\), dersom \(a_n\geq L\) for alle positive heltall \(n\). Da sier vi at \(L\) er en nedre grense for \(\lbrace a_n\rbrace\). Oppad begrenset og øvre grense definerest på samme måte. Dersom følgen er både oppad og nedad begrensetg sier vi at den er begrenset.
(b) Følgen \(\lbrace a_n\rbrace\) er positiv dersom den er nedre begrenset av \(0\), og negativ dersom \(0\) er en oppad begrensning.
(c ) Følgen \(\lbrace a_n\rbrace\) er voksende dersom \(a_{n+1}\geq a_n\) for alle positive heltall \(n\), og avtagende dersom \(a_{n+1}\leq a_n\). Følgen kalles monoton dersom den er enten økende eller avtagende.
(d) Følgen \(\lbrace a_n\rbrace\) er alternerende dersom \(a_na_{n+1}<0\) for alle positive heltall \(n\).

Svært ofte trenger man å finne ut om en følge konvergerer eller ikke.

Definisjon
Vi sier at en følge \(\lbrace a_n\rbrace\) konvergerer til tallet \(L\) dersom det for enhver \(\varepsilon>0\) eksisterer et heltall \(N\) (som kan avhenge av \(\varepsilon\)) slik at når \(n\geq N\), så er \(|a_n-L|<\varepsilon\). Vi bruker notasjonen \(\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=L\).

Teorem
Dersom \(\lbrace a_n\rbrace\) konvergerer, så er \(\lbrace a_n\rbrace\) begrenset.

Teorem
Dersom \(\lbrace a_n\rbrace\) er voksende og er oppad begrenset, så konvergerer følgen. Dersom følgen ikke er oppad begrenset divergerer den til \(\infty\). Tilsvarende resultat holder for tilfellet der følgen er avtagende.

Definisjon: Uendelige rekker
Gitt en følge av reelle tall \(a_1, a_2, \ldots\), kan vi definere den uendelige rekken \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) til å være grensen av delsummene \(\sum_{n=1}^{N} a_n\):

\[ \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^{N} a_n. \]
Å jobbe med rekker er svært vanskelig uten teoremene som følger under. Bevisene benytter seg i all hovedsak av definisjonen av uendelige rekker og en god forståelse av grenseverdier av følger.

Teorem
Dersom \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n\) konvergerer så er \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

Teorem
Gitt et heltall \(N \ge 1\), så har vi at \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) konvergerer dersom og bare dersom \( \sum_{n=N}^{\infty} a_n \) konvergerer.

Teorem
Dersom alle ledd \(a_n\) er ikke-negative, så vil \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) enten konvergere, eller divergere til \(+\infty\).

Teorem
Anta at både \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) og \(\sum_{n=1}^{\infty} b_n\) konvergerer.
i) Gitt en vilkårlig konstant \(c\) har vi da at \(\sum_{n=1}^{\infty} (c a_n + b_n) = c \sum_{n=1}^{\infty} a_n + \sum_{n=1}^{\infty} b_n\).
ii) Dersom \(a_n \le b_n\) for alle \(n\) så er \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n \le \sum_{n=1}^{\infty} b_n \).

Fra det nest siste teoremet over vet vi at en positiv rekke enten konvergerer eller divergerer til \(\infty\). Å forstå hvilket alternativ som faktisk er tilfelle for en gitt rekke er ofte mer interessant enn den faktiske summen av rekken. Dette har ført til at det er utviklet metoder for å teste konvergens av rekker. I resultatene under går vi ut fra at alle ledd i rekkene er ikke-negative.

Teorem : Integraltesten
Anta at \(a_n = f(n)\) for en positiv, kontinuverlig og avtagende funksjon på intervallet \([N, \infty)\) for et eller annet positivt heltall \(N\). Da har vi at \[ \sum_{n=1}^{\infty} a_n < \infty \quad \mbox{hvis og bare hvis} \quad \int_N^{\infty} f(t) \, dt < \infty. \] Teorem: En sammenligningstest
Anta at det finnes en positiv konstant \(K\) slik at for alle \(n\), \(0\le a_n \le K b_n\).
(a) Dersom rekken \(\sum_{n=1}^{\infty} b_n\) konvergerer, så konvergerer også \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\).
(b) En konsekvens av (a) er at dersom \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \infty\) så er \(\sum_{n=1}^{\infty} b_n = \infty\).

Teorem: Sammenligning av grenseverdier
Anta at \(\lim_{n \to \infty} a_n/b_n = L\)
(a) Dersom \(L < \infty\) and \(\sum_{n=1}^{\infty} b_n < \infty\) så er \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n < \infty\).
(b) Dersom \(L>0\) og \(\sum_{n=1}^{\infty} b_n = \infty\), så er \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \infty\).

Teorem: Ratiotesten
Anta at \(\rho = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}\) eksisterer eller er \(+\infty\).
(a) Dersom \(0 \le \rho < 1\) så er \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) konvergent.
(b) Dersom \(1 < \rho \le \infty\), så vil \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) divergere til \(+\infty\).

Teorem: Rottesten
Anta at \(\sigma = \lim_{n \to \infty} (a_n)^{1/n} \) eksisterer eller er \(+\infty\).
(a) Dersom \(0 \le \sigma < 1\), så er \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n < \infty\).
(b) Dersom \(1 < \sigma \le \infty \), så er \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \infty\).

Merk: Dersom grenseverdien (\(\rho\) eller \(\sigma\)) er \(1\) kan hverken rottesten eller ratiotesten brukes.

Å jobbe med rekker der ikke alle ledd er positive er ikke like lett. Som regel starter man med å sjekke konvergens av den rekka man oppnår ved å bytte ut alle ledd med absoluttverdien av leddet.

Definisjon
Anta at \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n \) konvergerer.
i) Dersom \(\sum_{n=1}^{\infty} |a_n| \) også konvergerer sier vi at rekka er absolutt konvergent.
ii) Dersom \(\sum_{n=1}^{\infty} |a_n| \) divergerer til \(+\infty\) sier vi at rekka er betinget konvergent.

De mest interessante rekkene som er bentinget konvergente er de som er alternerende.
Teorem
Anta at \(\{a_n\}_n\) er en følge som er slik at
i) \(a_n\) og \(a_{n+1}\) har motsatt fortegn
ii) \(|a_{n+1}|\le |a_n| \),
iii) \(\lim_{n\to \infty} a_n = 0 \).
Da vil rekka \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) konvergere, og for alle \(N \ge 1\) har vi at \( \left| \sum_{n=N}^{\infty} a_n \right| \le |a_N| \).

Definisjon
En rekke på formen \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-c)^n\) kaller vi en potensrekke.

Et naturlig spørsmål er: for hvilke \(x\) konvergerer en potensrekke? Det viktigeste teoremt så henseende er som følger:
Teorem
For enhver potensrekke \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-c)^n\) må ett av de følgende alternativene holde:
i) rekka konvergerer absolutt kun for en \(x=c\),
ii) rekka konvergerer absloutt for enhver \(x\),
iii) det finnes \(R>0\) slik at vi har absolutt konvergens for \(|x-c| < R\) og divergens for \(|x-c|>R\).
Essensen i teoremet er altså at alle potensrekker har en konvergensradius \(R\), som er enten 0, endelig eller uendelig.

Innenfor konvergensradiusen kan en potensrekke både deriveres og integreres.
Teorem
Anta at \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-c)^n\) har konvergensradius \(R>0\). For \(|x|<R\) er da potensrekka, sett som en funksjon av \(x\), deriverbar og integrerbar med \[ \frac{d}{dx} \left( \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-c)^n \right) = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n (x-c)^{n-1}, \] og \[ \int_0^x \left( \sum_{n=0}^{\infty} a_n (t-c)^n \right) \, dt = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1} (x-c)^{n+1}. \]

Teorem
Definer \(f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-c)^n\) for \(|x|<R\), der \(R>0\) er konvergensradiusen. Da har vi
\[ a_k = \frac{f^{k}(c)}{k!}. \]

Definisjon: Taylorrekker
Dersom \(f\) har derivert av alle ordener i punktet \(c\), så kaller vi rekka \[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^k \] Taylorrekka av f om punktet c.
Det er et viktig (men ikke trivielt) faktum, at selv om en funksjon har deriverte av alle ordener så trenger ikke Taylorrekka å være lik funksjonen. Funksjoner der Taylorrekka er er lik funksjonen kaller vi analytiske. Eksponentialfunksjoner, trionometriske funksjoner og rasjonale funksjoner samt inverser av disse er alle analytiske funksjoner i sine definisjonsområder. For å bevise at en funskjon er analytisk bruker man ofte Taylor's teorem.