MA1102 Grunnkurs i analyse II – vår 2016

Her vil det komme noen korte setninger for hver forelesning om hva som ble gjennomgått.

Vi begynte svært forsiktig med en oversikt over kurset. Så tok vi fatt på kjeglesnittene (den geometriske definisjonen i planet). Styrelinjer og brennpunkt, ellipse og parabel.

Vi så på hyperbler, regnet et par eksempler og tok for oss translasjon (forsyvning) av koordinatsystemer. Vi fikk også regnet ut hvordan koordinatene til et punkt \((a,b)\) i \((x,y)\)-koordinater ser ut i roterte \((\tilde x,\tilde y)\)-koordinater.

Vi fikk regnet et par skikkelige oppgaver med rotasjon av kjeglesnitt og omskrivning til standardform. Jeg viste figurene til Harald Hanche-Olsen fra beviset for at snittet mellom et plan og en dobbelkjegle gir samme kurve som et plant kjeglesnitt definert ved eksentrisitet, men sa ikke så mye om dette.

Så begynte vi på litt vektorregning, som for det meste blir repetisjon av kjent stoff, men som også er viktig for å behandle parametriserte kurver. Vi så på \(n\)-"tupler", eller \(n\)-dimensjonale vektorer om man vil og noen regneregler for disse. Stoffet om vektorer og parametriserte kurver er basert på Tom Lindstrøms tilleggskaptittel Vektorregning og parametriserte kurver (pdf). Vi kommer bare til å gjennomgå avsnittene T1.1 og T1.2.

Vi repetertelitt mer om vektorer: trekantulikheter, den geometriske betydningen av skalarproduktet og projeksjon av vektorer. Så fortsatte vi med parametriserte linjer. Vi så (nokså detaljert) på sammenhengen mellom den "vanlige" beskrivelsen av linjer og parameterfremstilling.

Parametriserte kurver. En kort innledning etterfulgt av definisjonen av buelengde. Litt om skissering av parametriserte kurver. Videre så vi på fart, hastighet og aksellerasjon. Enhetstangentvektor. Et par viktigte punkt å merke seg:

• Det blir fort vanskelig å antiderivere endel av integralene som oppstår når man skal beregne buelengden av selv ganske enkle kurver. Se f. eks. ellipsen i oppgave 44 i Lindstrøms tilleggsnotat. Vi tar denne oppgaven på øving 3 (unntatt punkt c, som vi tar senere en gang).
• Merk dere forskjellen på fart - som er en skalar størrelse og den deriverte av buelengdefunksjonen - og hastighet, som er en vektor og den deriverte av posisjonsvektoren.

Ikke pensum: Vi brukte 5 minutter på et klassisk eksempel på en kontinuerlig kurve uten tangent noe sted: von Koch-kurven. Denne kurven har videre uendelig buelengde (selv om man definerer buelengden mer generelt enn med derivasjon) og har mange andre interessante egenskaper; den er et klassisk eksempel på en fraktal mengde.

Vi gjennomgikk Taylor-polynomer (avsnitt 11.1). I løpet av forelesningen viste jeg noen (ikke spesielt forseggjorte) illustrasjoner av Taylor-polynomer for eksponensialfunksjonen og sinusfunksjonen (også i forstørret utgave). Dette er veldig sentral stoff. Det er viktig å forstå hva Taylor-polynomet er og hvordan det er konstruert. Taylor-polynomene danner grunnlaget for Taylor-rekker som vi skal se på i avsnitt 12.8.

Vi brukte de to timene til å se på Taylors formel med restledd (Setning 11.2.1). Videre så vi på to "varianter" av denne: Korollar 11.2.2 og Lagranges restleddsformel (11.2.3). Det er viktig å forstå og å kunne bruke disse to variantene. Det er disse som gir oss informasjon om feilen vi gjør når vi tilnærmer en funksjon med et Taylor-polynom.

Beviset for 11.2.3 er kanskje lite "håndgripelig" fordi det benytter to eksistenssetninger (skjæringssetningen og ekstremalverdisetningen), men resultatet er ganske effektivt og denne varianten av restleddsformelen er lett å huske: "Restleddet ser akkurat ut som ledd \(n+1\) bare med \(f^{(n+1)}\) evaluert i \(c\) i stedet for i \(a\)".

Beviset for 11.2.2 synes jeg absolutt alle må forstå. Denne typen resonnement dukker opp i alle mulige slags varianter i analysen, og kan brukes i både anvendte og teoretiske problemstillinger: vi gjør et overslag. I boken er beviset på en linje. Husk at det implisitt gjøres bruk av det generelle resultatet

\[ \lvert \int_a^b f(t) \text{d} t \rvert \leq \int_a^b \lvert f(t)\rvert \text{d} t.\]

Det er ikke mulig å gjennomgå alt som står i læreboken. Derfor vil jeg minne om at eksempel 11.2.5 og 11.2.6 må leses.

Vi gjennomgikk punktvis og uniform konvergens (avsnitt 11.3) og teoremet om integrasjon av uniformt konvergente følger (avsnitt 11.4).

Punktvis konvergens : Som begrepets navn antyder gjelder dette konvergens av funksjonsfølger "ett punkt av gangen". Altså: en følge \( \{ f_n\} \) konvergerer punktvis på en mengde \( A\) dersom følgen \( \{f_n(a)\} \) konvergerer for hver enkelt \( a\in A\). Det er altså ørlite grann misvisende (om enn formelt korrekt) at det i definisjon 11.3.1 i boken står at dette skal gjelde "for alle \( x\) i \( A\)".

Det er faktisk lettere å forstå dette ved å bruke "\( \varepsilon\)-\(\delta\)"-formuleringen av punktvis konvergens: Vi sier at en følge \( \{ f_n\}\) av funksjoner \( f\colon A\to\mathbb{R}\) konvergerer punktvis mot \( f\colon A\to \mathbb{R}\) dersom følgende holder: For hver \( a \in A\) og hver \(\varepsilon >0\) finnes et naturlig tall \(N = N(\varepsilon, x)\) slik at hvis \(n\geq N\), så er \( |f_n(a) - f(x) | < \varepsilon\).

Den punktvise egenskapen er at \(N\) (muligens) avhenger av \(x\) i tillegg til \(\varepsilon\).

Uniform konvergens : Dette er definisjon 11.3.6. \( \varepsilon\)-\(\delta\)-formuleringen er slik: Vi sier at en følge \( \{ f_n\}\) av funksjoner \( f\colon A\to\mathbb{R}\) konvergerer uniformt mot \( f\colon A\to \mathbb{R}\) dersom følgende holder: For hver \(\varepsilon >0\) finnes et naturlig tall \(N = N(\varepsilon)\) slik at hvis \(n\geq N\), så er \( d_A(f_n,f) < \varepsilon\).

Denne gangen er \( N\) ikke avhengig av hvor i \(A\) vi her. \(N\) avhenger kun av \(\varepsilon\) (og funksjonsfølgen, selvfølgelig).

Hvilken betydning har dette? La \(\{ f_n\}\) være en følge av kontinuerlige funksjoner \(f_n\colon A \to \mathbb{R}\). Hvis \(f_n\to f\) punktivs er det ikke sikkert at \(f\) er kontinuerlig. Dette er det eksempler på i boken, og dette så vi på forelesningen (\( f_n(x)=x^n\) på \( [0,1]\) ). Hvis \(f_n\to f\) uniformt på \(A\) vet vi fra teorem 11.3.8 at \(f\) må være kontinuerlig.

Videre får vi med uniform konvergens at "integralene av en følge konergerte uniformt mot integralet av grensefunksjonen".

Første time var det oppgaveregning.

I annen time så vi på hva vi kunne si om derivasjon og uniform konvergens. Dersom vi antar at de deriverte av funksjonene i følgen konvergerer uniformt faller ting på plass. Men merk at vi måtte anta at tallfølgen \(\{f_n(d)\}\) konvergerte for en \(d\).

Setningene i 11.4 får vi bruk for når vi ser nærmere på potensrekker og Taylorrekker i kapittel 12.

Merk at "Dinis teorem" (*-merket side 604) i 11.3 og "Konsekvenser av Dinis teorem" og "Derivasjon under integraltegnet" (*-merket s 608, 609) i 11.4 IKKE er pensum.

begynte vi med rekker, og dette holder vi på med i tre fulle uker til (til og med uke 9).

Vi definerte konvergens av uendelige rekker: Rekken konvergerer hvis følgen av delsummer konvergerer (som en følge).

Vi avsluttet med formuleringen og bevisideen for integraltesten.

Vi gjennomgikk først konvergenskriterier for \( p\)-rekkene \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\); konvergens eller divergens følger fra integraltesten. \(p\)- rekkene er en viktig klasse eksempler av (minst) to grunner:

1. For \(p=1\) får vi et eksempel på en divergent rekke der leddene i rekken går mot 0. Altså (og dette er ekstremt viktig!): den harmoniske rekken \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\) divergerer,men \(\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} =0\). Og det betyr: hvis vi skal bevise at en rekke \(\sum a_n\) konvergerer, er det IKKE nok kun å vise at \(\lim_{n\to\infty } a_n=0\)

2. Vi får et helt knippe med konvergente eller divergent rekker som vi kan bruke sammenlignings- og grensesammenligningstestene på.

Og vi fortsatte med å se på flere konvergenstester for positive rekker. Vi har disse testene

• integraltesten
• sammenligningstesten
• grensesammenligningstesten
• forholdstesten
• rottesten.

I tillegg har vi det nyttige resultatet at en positiv rekke konvergerer hvis og bare hvis den er begrenset.

Alternerende rekker: dette er rekker der leddene er skiftevis positive og negative. Det klassiske eksempelet er \[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}.\] Denne alternerende rekke er konvergent (følger av testen for alternerende rekker), mens den harmoniske rekken \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\) divergerer. En grafisk fremstilling kan kanskje være til hjelp.

Absolutt og betinget konvergens. Det er viktig å huske at dersom vi sier at en rekke er betinget konvergent så sier vi implisitt at vi har undersøkt at rekken ikke konvergerer absolutt.

Vi så på generelle rekker (verken kun positive eller alternerende) og beviste at dersom en generell rekke konvergerer absolutt, så konvergerer den.

Et viktig verktøy i dette avsnittet var "+" og "-"-rekkene.

Jeg gjorde et forsøk på å bevise at dersom en rekke konvergerer betinget (men ikke absolutt), så kan vi rekken til konvergere mot et hvilket som helst reelt tall ved å stokke om på leddene på riktig måte. Det er viktig å huske på dette resultatet.

Så gikk vi videre og begynte med funksjonsrekker (rekker av funksjoner).

Potensrekker. Regning med potensrekker. Her er plansjer med oversikt over noen av setningene vi brukte underveis. Spesielt er det verdt å merke seg at vi trengte teorien fra kapittel 11 her.

Vi avslutter avsnittet om potensrekker og ser på taylorrekker (12.8).

Det er viktig å registrere at taylorrekken \( Tf\) til en funksjon \( f\) om \(a\) ikke alltid konvergerer mot \( f\), bortsett fra i \(x=a\). DERNEST er det viktig å få med seg at dersom en funksjon \( f\) er definert ved en konvergent potensrekke (konvergens i et intervall!), så er dette rekken taylorrekken til funksjonen. Men altså: IKKE alle funksjoner kan beskrives ved en konvergent potensrekke.

Mer om taylorrekker.

Binomiske rekker. Rekken for \( (1+x)^{\alpha} \) for \(\alpha \in \mathbb{R}\) er en generalisering av den klassiske binomialformelen: Dersom \( \alpha\in \mathbb{N}\), så vil rekken for \( (1+x)^{\alpha}\) være en endelig sum lik den klassiske bionomialformelen. Beviset for den generelle bionomialformelen var todelt. Det er lett å vise at den angitte rekken for \( (1+x)^{\alpha}\) konvergerer for \( -1 < x < 1\). Men så er det en liten vri: selv om rekken konvergerer, er det ikke i utgangspunktet gitt at den konvergerer mot det vi vil (tenk på eksempelet i begynnelsen av avnsitt 12.8). Vi viser imidlertid at både \( (1+x)^{\alpha}\) og dens rekke tilfredsstiller den samme differensialligningen (med samme "initialverdi"), og ved entydighetsteoremet for differensialligninger må da funksjonene være like. Merk at vi trenger å vite at rekken er konvergent først, ellers gir det ikke mening f.eks. å derivere den.

Avsnitt 12.9 kommer vi til å ta når vi ser på differensialligninger.

Vi gav en repetisjonsoversikt over rekkestoffet. Jeg har sammenfattet dette i et pdf-dokument. Bruk dette med forsiktighet! Hovedhensikten er å prøve å vise at teorien for rekker IKKE er en stor jungel. Spesielt er teorien for potensrekker egentlig "rett frem" når vi ser tilbake på det.

Vi gjennomgikk Newtons metode for å finne tilnærminger til nullpunktene til funksjoner.To plansjer fra forelesningen: ln_x_plus_x.pdf, web_p025.pdf. Den siste plansjen er ikke relevant for Newtons metode, men viser interasjon av en "generell" funksjon.

Det som er viktigst angående Newtons metode er

• å forstå hvordan iterasjonsteknikken foregår - "vi setter inn igjen det vi får ut"
• å kunne sette opp Newtons metode for en gitt funksjon og gjennomføre iterasjoner med metoden for en startverdi

Det kan være lurt å repetere skjæringssetningen i denne forbindelsen, siden vi kan bruke den til å vise at en kontinuerlig funksjon \( f\) har et nullpunkt i et intervall dersom den skifter fortegn der. Hvis vi har en deriverbar funksjon og kan vise at den deriverte enten er negativ eller positiv (men ikke 0!) over intervallet, så kan vi bare ha ett nullpunkt der.

Det er ikke så relevant å pugge betingelsene for konvergens av Newtons metode. Det er dog viktig å være klar over at man generelt er nødt til å rettferdiggjøre numeriske metoder ved å vise at de konvergerer.

Numerisk integrasjon.

Komplekse tall (kommer mer etter hvert!)

Forelesning kun fredag - differensialligninger

eks_inhomogent.pdf

Fortsetter med anenn ordens lineære homogene ligninger med konstante koeffisienter.

eks_homogent.pdf pred.pdf predprey.pdf

2ordlinhomog.pdf eks_inhomogent1.pdf eks_inhomogent.pdf

Numerisk løsning av differensialligninger. Vi gjennomgikk Eulers metode og Eulers midtpunktmetode (denne siste kalles også forbedret Euler). Disse to metodene må dere kunne til eksamen. Her er noen eksempler fra forelesningen - læreboken har ikke så veldig mange figurer her. Vi gjennomgikk også 4. ordens Runge-Kutta og regnet ut et skritt med denne. Det er flere skritt regnet ut i eksempelnotatet. Runge-Kutta-metoden er kursorisk pensum, så ikke pugg den til eksamen. Det er vanskelig å gå og huske en slik metode. Nå vet vi at den finnes, og at den gir oss tilnærminger som ligger ganske nært de eksakte løsningene dersom skrittlengden er liten. Den enkleste Euler-metoden trenger en veldig kort skrittlengde for å gi gode tilnærminger.

Jeg nevnte litt om "generell" eksistens og entydighet av løsninger av differensialligninger av første orden. Her viftet jeg mye med hendene, men det er viktig å vite om man leter etter løsninger som faktisk finnes. Likeledes er det viktig å sjekke at den numeriske metoden faktisk konvergerer. Med det mener man gjerne at man får eksakte løsninger dersom skrittlengden går mot null (og antall skritt øker tilsvarende). Det går helt fint for Euler-metoden.

Det viktigste her mener jeg er å forstå hva man gjør når man bruker Euler-metodene til å finne løsninger - at man deler opp intervallet i skritt, og tar skrittene. Forstår man dette, forstår og husker man metoden.

Løsning av differensialligninger ved hjelp av potensrekker

Planen for uke 16 er å få repetert så mye som mulig av pensum ved å gjennomgå noen eksamensoppgaver (nøyaktige hvilke kommer etterhvert!) og fylle inn med LITT teoristoff.

Vi begynner selvfølgelig med kjeglesnitt. Her er en "prioritert" liste over hva jeg har tenkt å gjennomgå. Det som står i parentes blir kanskje nedprioritert etterhvert

• Kjeglesnitt
• (Parametriserte kurver)
• Taylor-polynomer
• (Følger av funksjoner)
• Rekker, potensrekker, Taylor-rekker
• Komplekse tall
• Differensialligninger
• Numeriske metoder(samler dem her)

Vi gjennomgikk følgende eksamensoppgaver:

• 27/5 2014: 2 (Kjeglesnitt)
• 2/12 2009: 2 (Kjeglesnitt + parametrisert kurve)
• 17/8 2012: 4 (Parametrisert kurve)
• 10/8 2014: 4 (Potensrekker og tilnærming)

• 15/12 2005: 6 (Rekker - fin gjennomgang av mye stoff)
• 21/5 2011: 4 (Potensrekker + Taylorrekker + Trapesmetoden)
• 29/5 2013: 6 (Newtons metode + litt kurvedrøfting)

Kun forelesning mandag. SISTE forelesning. Jeg gjennomgår hele eksamen fra kontinuasjonseksamen august 2015.

Angående formelarket . TO varianter av feilestimatet for Simpsons regel har vært brukt i formelarket/vedlegget til eksamensoppgavene.

Variant 1: I den ene varianten brukes nevneren \( 2880 n^4\). Dette er varianten som brukes i læreboken. Her er det viktig å huske på at antallet delintervaller er \( 2n\) - det er slik Lindstrøm formulerer Simpsons metode.

Variant 2: I den andre varianten, som for eksempel i vedlegget til eksamenen fra august 2015, brukes nevneren \( 180n^4\). Men husk på at her er antallet delintervaller lik \(n\). Hvis vi bruker \(n=2k\) her, får vi \(180 n^4 = 180\cdot 16 k^4 = 2880 k^4\).

Jeg kommer også til å sette opp en timeplan for veiledning/spørretimer fra forelesningsslutt frem mot eksamen. Følg med!