Deskriptiv Statistikk

Vi antar at vi har et datasett med \(n\) element(på f.eks. motortemperatur for \(n\) motorer): \( (x_1, x_2, \dots, x_n) \). Dersom vi sorterer disse i stigende rekkefølge skriverer vi: \( ( x_{(1)}, x_{(2)}, \dots, x_{(n)} ) \), der \( x_{(1)}\) er minst, \(x_{(2)}\) er nest minst o.s.v. til \(x_{(n)}\) som er størst. De to viktigste mål på lokasjoner er gjennomsnitt og median.

Gjennomsnitt: Om har et datasett av størrelse\(n\), \( (x_1, x_2, \dots, x_n) \), så er gjennomsnitt definert ved \[ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i = \frac{1}{n} (x_1+x_2+\dots + x_n). \]

Median: Om vi sorterer dataene i stigende rekkefølge, så er medianen den miderste observasjonen (dersom \(n\) er odde), evt gjennomsnittet av de to midterste observasjonene dersom \(n\) like.

For \(n\) odde: \[\tilde{x}=x_{((n+1)/2)}, \]

For \(n\) like: \[\tilde{x}=\frac{1}{2} (x_{(n/2)}+x_{(n/2+1)}). \]

Empirisk betyr 'fra erfaring', og kan i statistikk tolkes som 'fra data'.

Empirisk varians: \[ \text{Var}(x_1, x_2, \dots, x_n) = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2 \]

Empirisk standardavvik: \[ \text{Std}(x_1, x_2, \dots, x_n) = \sqrt{Var(x_1, x_2, \dots, x_n)} \] Empirisk standardavvik har same enhet som dataene.

Empiriske kvantiler: Den observasjonen som er slik at en gitt andel \( \alpha\) av dataene er mindre enn enn denne verdien: \[ q(\alpha, x_1, x_2, \dots, x_n) = x_{(i)} \text{ slik at } \alpha = \frac{i-0.5}{n}\] Merk at for n odde er 0.5-kvantilen lik medianen: \(q(0.5, x_1, x_2, \dots, x_n)=\tilde{x} \).

Kvartildifferanse (Inter quantil range, IQR) Avstanden mellom 25%- og 75%-kvantilene. \[ \text{IQR}(x_1, x_2, \dots, x_n) = q(0.75) - q(0.25)\]

Minimum: Den minste observerte verdien: \[ \min(x_1, x_2, \dots, x_n) = x_{(1)}\]

Maksimum: Den største observerte verdien: \[ \max(x_1, x_2, \dots, x_n) = x_{(n)}\]

For å visualisere hvordan dataene i et datasett er fordelt er et histogram nyttig. Vi beskriver hvordan Matlab-funksjonen hist() fungerer. Vektoren \(X\) inneholder alle \(n\) datapunktene, og la \(x_{(1)}\) være minste verdi og \(x_{(n)}\) største verdi. Matlab-funksjonen hist(X,M) deler intervallet \( (x_{(1)}, x_{(n)}) \) inn i \(M\) like store underintervaller, og teller antall observasjoner som faller i hvert underintervall for så å plotte resultatet i et søylediagram. I Matlab er default \(M=10\), og intervall plasseringen kan også spesifiseres.

% Plott histogrammer av snodybde, snotetthet og SWE (snw water equivalent) for Rybekken og Sylsjodammen
% INPUT: .txt-filer med observasjoner fra Rybekken og Sylsjodammen med snodybde,
% snotetthet og SWE i henholdsvis andre, tredje og fjerde kolonne
clc, clear all, close all
 
%% Last inn data
ry = load('rybekken.txt');
sy = load('sylsjodammen.txt');
 
ry_depth = ry(:,2);
ry_density = ry(:,3);
ry_SWE = ry(:,4);
sy_depth = sy(:,2);
sy_density = sy(:,3);
sy_SWE = sy(:,4);
 
%% Generer histogrammene
subplot(1,2,1)
hist(ry_depth)
title('Histogram av snodybde Rybekken','FontSize',8)
subplot(1,2,2)
hist(sy_depth)
title('Histogram av snodybde Sylsjodammen','FontSize',8)

Boxplot er en måte å visualisere data på som er spesielt nyttig for å sammenlikne flere sett med data. Her beskrives Matlab-funksjonen boxplot(X). Hvert datasett blir visulatisert med en boks som strekker seg fra første kvartil, dvs 25%-prosent kvantilen, \(q(0.25)\), til tredje kvartil, dvs 75%-prosent kvantilen, \(q(0.75)\) ,og har en tversgående linje som markerer medianen. I tillegg er det utstikkere (engelsk: whiskers) som går ut til de mest ekstreme observasjonene som ligger nærmere boksen enn \(w\) ganger kvartildifferansen \( \text{IQR}= q(0.75)-q(0.25) \). Default i Matlab er \(w=1.5\), og denne kan spesifiseres. Datapunkt lenger borte fra boksen blir markert individuelt.

% Lag box plot av sn?dybde og sn?tetthet for Rybekken og Sylsj?dammen
% INPUT: .txt-filer med observasjoner fra Rybekken og Sylsj?dammen med
% aarstall, sn?dybde, sn?tetthet og SWE i henholdsvis f?rste, andre, tredje og fjerde kolonne
clc, clear all, close all
 
%% Last inn data
ry = load('rybekken.txt');
sy = load('sylsjodammen.txt');
 
ry_depth = ry(:,2);
ry_density = ry(:,3);
sy_depth = sy(:,2);
sy_density = sy(:,3);
 
%% Sett sammen vektorene
depth = [ry_depth; sy_depth];
density = [ry_density; sy_density];
 
%% Lagre antall observasjoner
ry_num = length(ry);
sy_num = length(sy);
 
%% Opprett grupperingsvariabel
grp = [repmat(1,ry_num,1); repmat(2,sy_num,1)];
 
%% Lag box plot
 
 
boxplot(depth,grp,'Labels',{'Rybekken','Sylsjodammen'})
ylabel('Snodybde (cm)','FontSize',18)
title('Boksplott av snodybde (cm)','FontSize',16)

Scatterplott er en måte å visualisere to variabler i et datasett samtidig. Hvert datapunkt \( i\) består av to variabler \( (x_{i1}, x_{i2})\)(f.eks. snødybde og snøtetthet), og blir et punkt (f.eks et kryss) i grafen. Blir typisk brukt for å se etter samvariasjon/avhengighet.

% Lager en matrise med scatterplot av kombinerte snodata fra Rybekken og
% Sylsjodammen
%% Slett og lukk alt
clc, clear all, close all
 
%% Last inn og kombiner data
rybekken = load('rybekken.txt');
sylsjodammen = load('sylsjodammen.txt');
kombinert = [rybekken; sylsjodammen];
 
dybde=kombinert(:,2);
tetthet=kombinert(:,3);
 
%% Plott
plot(dybde,tetthet,'x')
ylabel('Snotetthet')
xlabel('Snodybde')
title('Scatterplott av snodybde og snotetthet')