Sannsynlighet

Ut fra definisjonen av sannsynlighet kan man utlede flere regneregler for sannsynlighet. På denne temasiden er de viktigste av disse regnereglene formulert og kort diskutert. Definisjonen av betinget sannsynliget er også inkludert på denne siden selv om dette er en definisjon og dermed strengt tatt ikke en regneregel. Når den likevel er inkludert den på denne siden er det fordi den ofte brukes på lik linje med regneregler når vi skal løse oppgaver. Det er derfor nyttig å ha den formulert her sammen med regnereglene.

Sentrale begreper

Trykk på det grå feltet for mer informasjon om temaet.

Union av hendelser, \( P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B)\)

Teorem: La \( A\) og \( B\) være to hendelser i et utfallsrom \( S\). Da er \[ P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B). \] Illustrasjon: Følgende venndiagram illustrerer regneregelen.

Bevis

Definer hendelsene \( C_1 = A\setminus B\), \( C_2=A\cap B\) og \(C_3= B\setminus A\), se illustrasjonen i venndiagrammet under.

Hendelsene \( C_1\), \( C_2\) og \( C_3\) er åpenbart parvis disjunkte og dessuten har vi at \( A\cup B = C_1\cup C_2\cup C_3\). Fra definisjonen av sannsynlighet har vi da \[ P(A\cup B) = P(C_1\cup C_2\cup C_3) = P(C_1)+P(C_2)+P(C_3) = P(A\setminus B) + P(A\cap B) + P(B\setminus A). \] Dessuten har vi at \( A = C_1 \cup C_2\), og siden \( C_1\) og \( C_2\) er disjunkte har vi \[ P(A) = P(C_1\cup C_2) = P(A\setminus B) + P(A\cap B) \Rightarrow P(A\setminus B) = P(A) - P(A\cap B). \] Tilsvarende har vi at \( B = C_2 \cup C_3\), og siden \( C_2\) og \( C_3\) er disjunkte får vi \[ P(B) = P(C_2\cup C_3) = P(A\cap B) + P(B\setminus A) \Rightarrow P(B\setminus A) = P(A) - P(A\cap B). \] Sett så inn uttrykkene vi har funnet for \( P(A\setminus B)\) og \( P(B\setminus A)\) inn i ligningen vi fant for \( P(A\cup B)\) over. Vi får da \[ P(A\cup B) = (P(A) - P(A\cap B)) + P(A\cap B) + (P(A) - P(A\cap B)) = P(A) + P(B) - P(A\cap B), \] og teoremet er dermed bevist

Uformelt bevis

Et uformelt bevis for denne regneregelen får man ved å tolke sannsynlighet for en hendelse som arealet av denne hendelsen i en venndiagram. Hvis vi regner ut \( \text{areal}(A) + \text{areal}(B)\) ser vi at vi har regnet med arealet av \( A\cap B\) to ganger. Arealet av \( A\cup B\) kan dermed skrives som \[ \text{areal}(A\cup B) = \text{areal}(A) + \text{areal}(B) - \text{areal}(A\cap B). \] Ved å erstatte \( \text{areal}()\) med \( P()\) får vi regnereglen.

Spesialtilfelle: Dersom hendelsene \( A\) og \( B\) er disjunkte vil \( P(A\cap B) = 0\) og man får da \[ P(A\cup B) = P(A) + P(B). \] Denne situasjonen illustreres med følgende venndiagram.

Relevante kapitler: 2.5
Relevante videoer:
\(\ \ \ \)Eksamen desember 2010, oppgave 1 (12:24, Mette Langaas).
Relevante oppgaver:
\(\ \ \ \)Eksamen august 2013, oppgave 4 (b,n,e).
\(\ \ \ \)Eksamen mai 2012, oppgave 4 (b,n,e).

Komplementærsetningen, \( P(A) = 1 - P(A^\prime)\)

Teorem: La \(A\) være en hendelse i et utfallsrom \(S\). Da er \[ P(A) = 1 - P(A^\prime). \] Illustrasjon: Følgende venndiagram illustrerer regneregelen.

Bevis

Siden \(A\cup A^\prime=S\) og \(A\cap A^\prime=\emptyset\) får vi fra regneregelen om union av hendelser øverst på denne siden at \[ P(S) = P(A\cup A^\prime) = P(A) + P(A^\prime) - P(\emptyset). \] Fra definisjonen av sannsynlighet har vi at \(P(S)=1\) og \( P(\emptyset)=0\), så dermed får vi at \[ 1=P(A)+P(A^\prime), \] og regneregelen følger ved å løse denne ligningen ved hensyn på \( P(A)\).

Relevante kapitler: 2.5
Relevante videoer:
\(\ \ \ \)Eksamen desember 2010, oppgave 1 (12:24, Mette Langaas).
Relevante oppgaver:
\(\ \ \ \)Eksamen mai 2012, oppgave 4 (b,n,e).
\(\ \ \ \)Eksamen august 2012, oppgave 1a (b).
\(\ \ \ \)Eksamen desember 2010, oppgave 1 (b,n,e).

Betinget sannsynlighet, \( P(B|A) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)}\)

Definisjon: La \( A\) og \(B\) være to hendelser i et utfallsrom \(S\) og anta at \( P(A) > 0\). Den betingede sannsynligheten for \(B\) gitt \( A\) er da \[ P(B|A) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)}. \]

Kommentar: Dette er en definisjon og dermed strengt tatt ingen regneregel.Den er likevel tatt med på denne siden fordi denne definisjonen av betinget sannsynlighet ofte brukes på lik linje med regneregler når vi skal løse oppgaver.

En motivasjon for denne definisjonen finnes på temasiden om hendelser og sannsynlighet.

Relevante kapitler: 2.6
Relevante videoer:
\(\ \ \ \)Eksamen desember 2010, oppgave 1 (12:24, Mette Langaas).
Relevante oppgaver:
\(\ \ \ \)Eksamen desember 2013, oppgave 1a (b,n,e).
\(\ \ \ \)Eksamen mai 2012, oppgave 4 (b,n,e).
\(\ \ \ \)Eksamen desember 2010, oppgave 1 (b,n,e).

Multiplikasjonssetningen, \( P(A\cap B) = P(B|A)P(A)\)

Teorem: La \( A\) og \(B\) være to hendelser i et utfallsrom \(S\) og anta at \( P(A) > 0\). Da gjelder \[ P(A\cap B) = P(B|A) P(A). \]

Bevis

Dette teoremet følger direkte fra definisjonen av betinget sannsynlighet, \[ P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)} \Rightarrow P(A\cap B) = P(B|A)P(A). \]

Kommentar: Merk at dersom \( P(B)>0\) så får man ved å bytte om \( A\) og \( B\) i teoremet over også at \[ P(A\cap B) = P(A|B)P(B). \] Hvilken av de to uttrykkene for \( P(A\cap B)\) det lønner seg å benytte avhenger av hvilken betingede sannsynlighet, \( P(B|A)\) eller \( P(A|B)\), man kjenner verdien til.

Spesialtilfelle: Dersom hendelsene \(A\) og \(B\) er uavhengige er \(P(B|A)=P(B)\) og man får dermed at \[ P(A\cap B) = P(A) P(B). \]

Relevante kapitler: 2.6
Relevante videoer:
Relevante oppgaver:
\(\ \ \ \)Eksamen august 2013, oppgave 4 (b,n,e).
\(\ \ \ \)Eksamen desember 2011, oppgave 1b (b,n,e).
\(\ \ \ \)Eksamen juni 2010, oppgave 1a (b,n,e).

Bayes regel, \( P(B|A) =\frac{P(A|B) P(B)}{P(A)}\)

Teorem: La \(A\) og \(B\) være to hendelser i et utfallsom \(S\) og anta at \(P(A)>0\). Da gjelder \[ P(B|A) = \frac{P(A|B)P(B)}{P(A)}. \]

Bevis

Man får dette teoremet ved å kombinere definisjonen av betinget sannsynlighet og multiplikasjonssetningen. Fra definisjonen av betinget sannsynlighet har man at \[ P(B|A) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)}, \] og multiplikasjonssetningen sier at \[ P(A\cap B) = P(A|B)P(B). \] Ved å erstatte \(P(A\cap B)\) i telleren i den første av disse to ligningene med uttrykket gitt for \(P(A\cap B)\) i den siste ligningen får man resultatet i teoremet.

Kommentar: Denne regneregelen gir hvordan man kan "snu betingingen", hvis man har \(P(A|B)\) kan man finne \(P(B|A)\).

Kommentar: Når man benytter denne regneregelen benytter man ofte setningen om total sannsynlighet for å finne sannsynligheten \(P(A)\) som står i nevneren.

Relevante kapitler: 2.7
Relevante videoer:
Relevante oppgaver:
\(\ \ \ \)Eksamen desember 2013, oppgave 4 (b,n,e).
\(\ \ \ \)Eksamen juni 2010, oppgave 1b (b,n,e).

Setningen om total sannsynlighet, \( P(A) =\sum_i P(A|B_i)P(B_i)\)

Teorem: La \(A\) være en hendelse i et utfallsrom \(S\). La \(B_1,B_2,\ldots,B_n\) være en partisjon av \(S\), dvs \(B_i\cap B_j=\emptyset\) for alle \(i\neq j\) og \(B_1\cup B_2\cup \ldots \cup B_n=S\). Da har vi at \[ P(A) = \sum_{i=1}^n P(A|B_i)P(B_i). \]
Illustrasjon: Følgende venndiagram illustrerer regneregelen når \(n=6\).

Bevis

Siden \(B_1\cup B_2\cup\ldots\cup B_n=S\) har vi at \[ A = (A\cap B_1) \cup (A\cap B_2) \cup \ldots \cup (A\cap B_n). \] Siden \(B_1,B_2,\ldots B_n\) er parvis disjunkte vil også \( A\cap B_1,A\cap B_2,\ldots,A\cap B_n\) være parvis disjunkte, og vi har dermed at \[ P(A) = P(A\cap B_1) + P(A\cap B_2) + \ldots + P(A\cap B_n). \] Multiplikasjonssetningen gir dessuten at \(P(A\cap B_i)=P(A|B_i)P(B_i)\) for hver \(i=1,2,\ldots,n\), slik at vi får \[ P(A) = P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)+\ldots+ P(A|B_n)P(B_n) = \sum_{i=1}^n P(A|B_i)P(B_i). \]

Relevante kapitler: 2.7
Relevante videoer:
Relevante oppgaver:
\(\ \ \ \)Eksamen juni 2010, oppgave 1a (b,n,e).