Sannsynlighetsfordelinger

Ut fra definisjonene av stokastiske variabler og sannsynlighetsfordelinger kan man utlede regneregler for sannsynlighetsfordelinger. På denne temasiden er de viktigste av disse formulert og kort diskutert. Man bør merke seg at disse regnereglene essensielt er de samme som man har for sannsynlighet for hendelser, men at notasjonen er annerledes. Definisjonen av betinget sannynlighetsfordeling er inkludert på denne siden selv om dette er en definisjon og dermed strengt tatt ikke en regneregel. Når den likevel er inkludert på denne siden er det fordi den ofte brukes på lik linje med regneregler når vi skal løse oppgaver. Det er derfor nyttig å ha den formulert her sammen med regnereglene.

Sentrale begreper

Trykk på det grå feltet for mer informasjon om temaet.

Sammenheng mellom \(f(x)\) og \(F(x)\)

For en diskret stokastisk variabel \(X\) er det en en-til-en sammenheng mellom kumulativ fordeling \(F(x)\) og punktsannsynlighet \(f(x)\). Hvis de mulige verdier for \(X\) er \(0,1,2,\ldots\) har vi at \[ F(x) = \sum_{t=0}^x f(t) \ \ \ \ \ \ \ \ \text{og} \ \ \ \ \ \ \ \ f(x) = F(x) - F(x-1). \] For en kontinuerlig stokastisk variabel \(X\) er det tilsvarende en en-til-en sammanheng mellom kumulativ fordeling \(F(x)\) og sannsynlighetstetthet \(f(x)\), og denne er gitt ved at \[ F(x) = \int_{-\infty}^x f(t)\mbox{d}t \ \ \ \ \ \ \ \ \text{og} \ \ \ \ \ \ \ \ f(x) = F^\prime (x). \]

Relevante kapitler: 3.2, 3.3.
Relevante videoer:
Relevante oppgaver:
\(\ \ \ \)Eksamen desember 2015, oppgave 1a (b,n,e).
\(\ \ \ \)Eksamen mai 2013, oppgave 3b (b,n,e).
\(\ \ \ \)Eksamen desember 2011, oppgave 2a (b,n,e).
\(\ \ \ \)Eksamen juni 2010, oppgave 2a (b,n,e).
\(\ \ \ \)Eksamen desember 2009, oppgave 1a (b,n,e).

Betinget sannsynlighetsfordeling, \(f_{X|Y}(x|y)=\frac{f_{XY}(x,y)}{f_Y(y)}\)

Definisjon: La \(X\) og \(Y\) være to stokastiske variabler med simultan sannsynlighetsfordeling \(f_{XY}(x,y)\). Anta at \(X\) og \(Y\) enten begge er diskrete stokastiske variabler, eller at begge er kontinuerlige stokastiske variabler. Den betingede fordelingen for \(Y\) gitt \(X=x\) er da \[ f_{Y|X}(y|x) = \frac{f_{XY}(x,y)}{f_X(x)}\ \ \text{hvis \(f_X(x)>0\)} \] og den betingede fordelingen for \(X\) gitt \(Y=y\) er tilsvarende \[ f_{X|Y}(x|y) = \frac{f_{XY}(x,y)}{f_Y(y)}\ \ \text{hvis \(f_Y(y)>0\).} \] Her betegner \(f_X(x)\) og \(f_Y(y)\) marginalfordelingene for henholdsvis \(X\) og \(Y\).

Kommentar: For diskrete stokastiske variabler er denne definisjonen bare et spesialtilfelle av definisjonen av betinget sannsynlighet \(P(B|A)\) for to hendelser \(A\) og \(B\).

Relevante kapitler: 3.4.
Relevante videoer:
\(\ \ \ \)Betinget og marginal fordeling (9:59, Haakon Bakka).
\(\ \ \ \)Eksamen desember 2012, oppgave 2b (7:48, Mette Langaas)
Relevante oppgaver:
\(\ \ \ \)Eksamen desember 2009, oppgave 1b (b,n,e).

Multiplikasjonssetningen, \(f_{XY}(x,y) = f_{X|Y}(x|y) f_Y(y)\)

Teorem: La \(X\) og \(Y\) være to stokastiske variabler med simultan sannsynlighetsfordeling \(f_{XY}(x,y)\), og la \(f_X(x)\) og \(f_Y(y)\) betegne marginalfordelingene for henholdsvis \(X\) og \(Y\). Dersom \(f_Y(y)>0\) har vi da \[ f_{XY}(x,y) = f_{X|Y}(x|y) f_Y(y). \]

Bevis

Dette resultatet følger direkte fra definisjonen av betinget sannsynlighetsfordeling, \[ f_{X|Y}(x|y) = \frac{f_{XY}(x,y)}{f_Y(y)} \Rightarrow f_{XY}(x,y) = f_{X|Y}(x|y) f_Y(y). \]

Kommentar: Dersom \(f_X(x)>0\) får man ved å bytte om på rollene til \(X\) og \(Y\) i teoremet over at \[ f_{XY}(x,y) = f_{Y|X}(y|x) f_X(x). \] Hvilket av de to uttrykkene for \(f_{XY}(x,y)\) det lønner seg å benytte avhenger av hvilken betinget fordeling, \(f_{Y|X}(y|x)\) eller \(f_{X|Y}(x|y)\), man har tilgjengelig et uttrykk for.

Spesialtilfelle: Dersom de stokastiske variablene \(X\) og \(Y\) er uavhengige har man per definisjon av uavhengige stokastiske variabler at \[ f_{XY}(x,y) = f_X(x) f_Y(y). \]

Relevante kapitler: 3.4.
Relevante videoer:
Relevante oppgaver:

Bayes regel, \(f_{Y|X}(y|x)=\frac{f_{X|Y}(x|y)f_Y(y)}{f_X(x)}\)

Teorem: La \(X\) og \(Y\) være to stokastiske variabler med simultan sannsynlighetsfordeling \(f_{XY}(x,y)\), la \(f_X(x)\) og \(f_Y(y)\) betegne marginalfordelingene for henholdsvis \(X\) og \(Y\), og la \(f_{X|Y}(x|y)\) og \(f_{Y|X}(y|x)\) være henholdsvis de betingede fordelingene for \(X\) gitt \(Y=y\) og for \(Y\) gitt \(X=x\). Dersom \(f_X(x)>0\) har vi da \[ f_{Y|X}(y|x)=\frac{f_{X|Y}(x|y)f_Y(y)}{f_X(x)}. \]

Bevis

Man får dette resultatet ved å kombinere definisjonen av betinget sannsynlighetsfordeling og multiplikasjonssetningen for sannsynlighetsfordelinger. Fra definisjonen av betinget sannsynlighetsfordeling har man at \[ f_{Y|X}(y|x) = \frac{f_{XY}(x,y)}{f_X(x)}, \] og multiplikasjonssetningen sier at \[ f_{XY}(x,y) = f_{X|Y}(x|y)f_Y(y). \] Ved å erstatte \(f_{XY}(x,y)\) i telleren i den første av disse to ligningene med uttrykket gitt for \(f_{XY}(x,y)\) i den siste ligningen får man resultatet i teoremet.

Kommentar: Denne regneregelen gir hvordan man kan "snu betingingen", hvis man har \(f_{X|Y}(x|y)\) kan man finne \(f_{Y|X}(y|x)\).

Relevante kapitler: 3.4.
Relevante videoer:
Relevante oppgaver: