Ukas anvendelse

Teorien vi lærer om grupper, ringer og kropper i dette kurset dukker opp i videre algerbaemner, andre grener av matematikk, og andre fagfelt. Dette er en samleside for oppgavesett som gir en liten smakebit av hvor ting vi lærer i kurset dukker opp. Oppgavene er ikke nødvendigvis direkte pensumsrelevante, men er ment som inspirasjon. Hvis du har spørsmål om noen av oppgavesettene eller ønsker hint spør gjerne på fagforumet.

Forkunnskaper: Sykliske grupper
Stikkord: Nøkkelutveksling, Diskrét logaritmer

Den vanligste måten å kryptere meldinger i dag er ved bruk av såkalt symmetrisk kryptering. For at dette skal fungere må de to partene som vil kommunisere ha en delt hemmelighet, en nøkkel eller et passord om du vil. Problemet er da, med mindre man kan møtes i virkeligheten, hvordan skal man bli enige om et passord uten at noen andre får vite hva det er? I dette oppgavesettet skal vi se på en protokoll for hvordan man kan bli enige om en slik hemmelighet, ved hjelp av litt gruppeteori.

Forkunnskaper: Gruppehomomorfier, faktorgrupper
Stikkord: Komplekser, homologi, eksakte følger

I denne oppgaven skal vi få et lite innblikk i den delen av moderne algebra som kalles homologisk algebra. Dette utviklet seg på 1940-tallet til å bli et eget fagfelt, sterkt påvirket av det som kalles algebraisk topologi. I dag benytter man seg av homologisk algebra også i mange andre deler av matematikken, som matematisk fysikk, algebraisk tallteori, algebraisk geometri osv.

Forkunnskaper: Gruppehomomorfier
Stikkord: Fouriertransformasjoner, Fouriers inversteorem, Pontryagin dualitet

I dette oppgavesettet skal vi se på abelske grupper hvor man kan definere integrasjon, såkalt lokalt kompakte abelske grupper. Vi vil se hvordan vi kan definere Fouriertransformasjoner på slike grupper og få en analog av Fouriers inversteorem.

Forkunnskaper: Gruppevirkninger
Stikkord: Noethers teorem, Lagrange-mekanikk, symmetrigrupper, bevaringslover

Noethers teorem er et resultat i fysikk som beskriver en sammenheng mellom "kontinuerlige" symmetrier til et mekanisk system og bevaringslover systemet oppfyller. I dette oppgavesettet skal vi se på hvordan slike symmetrier kan se ut og prøve å beskrive sammenhengen.

Forkunnskaper: Ringer, ringhomomorfier
Stikkord: Affine knipper, varieteter, polynomlikninger

Gitt et geometrisk rom \(X\) så vil mengden av funksjoner \(X \to \mathbb R\) bli en ring. Mange geometriske egenskaper til \(X\) kan forstås gjennom å studere funksjoner på \(X\). I algebraisk geometri prøver vi å forstå geometrien til \(X\) gjennom å studere ringen av polynomer på \(X\). I dette oppgavesettet vil vi se på ringen av polynomer for ulike rom og forstå betydningen av ringhomomorfier mellom dem.