Hjemmeøving 7

Øvingen veiledes uke 10.

• 12.4: 1, 11, 27, 43
• 12.5: 9, 25, 27
• 12.6: 5, 35, 51

Noen gode Maple-kommandoer til denne (og forrige) uke: diff, Gradient, DirectionalDiff, TangentLine, TangentPlane – se også Mapleeksemplene.

• Vår 2011: Oppgave 4. Tangentplan, retningsderivert, stigning.
• Vår 2002: Oppgave 8. Implisitt derivasjon.

Maple-oppgavene vil denne gangen være basert på oppgave 4 fra eksamen våren 2011, som du gjorde tidligere i øvingen. All Maple-informasjon du trenger er å finne blant eksemplene.

1: Bruk Maple til å plotte "terrenget" fra eksamensoppgaven. Vi vil heretter kaller terrenget for \(S\).

• S := plot3d(100 - 1/(3*sqrt(2))*x^2 - sqrt(2)/3*y^2, x=-4..0, y=0..4, color=green):
• display(S, axes=boxed)

2: Plott også tangentplanet i det aktuelle punktet (gitt i eksamensoppgaven). Bruk gjerne gjennomsiktighet for å se både terrenget og tangentplanet på samme tid.

• Plott av tangentplanet \(T\) defineres ved hjelp av plot3d som over, gjerne med transparency=0.3 for gjennomsiktighet.
• display(S, T, axes=boxed)

3: Retningen du studerte i oppgaven definerer et vertikalt plan \(P\). Finn (for hånd) en ligning for \(P\). Bruk Maple til å tegne inn planet \(P\) sammen med terrenget \(S\).

• P := implicitplot3d(x = -y, x = -4 .. 0, y = 0 .. 4, z = 89 .. 100, color = yellow, transparency = 0, style = patchnogrid):
• display(S, T, P, axes=boxed)

Ser vi på skjæringen mellom terrenget og det vertikale planet \(P\) fra oppgave 3, blir kanskje den retningsderiverte enklere å tolke. Figuren under viser situasjonen sett i \(P\). Den rette linjen er tangentplanet til terrenget, mens den røde kurven er selve terrenget. Per konstruksjon ligger enhetsvektoren \(\mathbf{u}\) i \(P\), og ses derfor her simpelthen som et intervall av lengde \(1\). Det er dermed klart hvordan vinkelen \(\theta\) som etterspørres i eksamensoppgaven kan beregnes!