Hjemmeøving 13

Øvingen veiledes uke 17, men kun de som mangler nok godkjente øvinger har anledning til å levere den inn. Det anbefales likevel at alle gjør den.

La \(S\) være en sammenhengende, glatt flate i \(\mathbb{R}^3\). Anta at \(f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}\) har kontinuerlige første ordens partiellderiverte overalt, og at for alle punkter \(\mathbf{p}\in S\) så står gradienten \(\nabla f (\mathbf{p})\) normalt på \(S\) i \(\mathbf{p}\).

Vis at \(f\) er konstant på \(S\). (Hint: Bruk et linjeintegral…)

La \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) være en funksjon med kontinuerlige partiellderiverte. La \(C\) være sirkelen sentrert i origo med radius \(R>0\).

a: Vis at \[ \oint_C (xf(x,y)\mathrm{d}x + yf(x,y)\mathrm{d}y) = 0. \]

b: Hvorfor finnes det ingen \(f\) som over som tilfredsstiller \[ y\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) - x\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) > 0 \] for alle \((x,y)\) innenfor sirkelen \(C\)?

La \(C\) være sirkelen i \(\mathbb{R}^2\) med sentrum i origo og radius \(1\), og \(D\) være kurven gitt i polarkoordinater av \(r=4/(2-\cos\theta)\). Begge kurvene \(C\) og \(D\) orienteres mot klokken ("positiv omdreiningsretning"). La \(R\) betegne området mellom \(C\) og \(D\).

a: Beregn \[ \oint_C \left(\frac{-y}{(x^2+y^2)^2}\mathrm{d}x + \frac{x}{(x^2+y^2)^2}\mathrm{d}y\right). \]

b: Beregn \[ \iint_R \frac{1}{(x^2+y^2)^2}\mathrm{d}A. \]

c: Bruk Greens/Stokes teorem og resultatene i deloppgave a og b til å finne \[ \oint_D \left( \frac{-y}{(x^2+y^2)^2}\mathrm{d}x + \frac{x}{(x^2+y^2)^2}\mathrm{d}y\right). \]

a: La \(T\) være legemet avgrenset av paraboloiden \(z=4x^2+4y^2\) og planet \(z=4\). La \(S\) være den delen av overflaten til \(T\) som ligger på paraboloiden, og la \(\mathbf{n}\) være enhetsnormalen til \(S\) med retning utover. La \(\mathbf{F}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\) være gitt ved \[ \mathbf{F}(x,y,z) = \frac{yz}{8\pi}\mathbf{i} - \frac{x}{2\pi}\mathbf{j} + \frac{z}{4}\mathbf{k}. \] Finn volumet til \(T\) og regn ut integralene \[ I_1 = \iint_S\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,\mathrm{d}\sigma \quad\quad\text{og}\quad\quad I_2 = \iint_S\mathrm{curl}\,\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,\mathrm{d}\sigma. \]

b: Hva skjer dersom vi bytter om \(x\) og \(z\) i deloppgave a? Med andre ord, hva skjer dersom paraboloiden istedet er \(x=4z^2+4y^2\), planet er \(x=4\) og vektorfeltet er \[ \mathbf{F}(x,y,z) = \frac{yx}{8\pi}\mathbf{i} - \frac{z}{2\pi}\mathbf{j} + \frac{x}{4}\mathbf{k} ? \] Regn ut \(I_1\) og \(I_2\). Kommenter svaret.

• Sommer 2011: Oppgave 8.

Maxwells ligninger ¹⁾ er blant de aller mest kjente naturlover vi har. De fire ligningene beskriver oppførselen til klassiske elektriske og magnetiske felter, og presenteres gjerne i både såkalt differensialform og integralform. Vi skal her se litt på den første av ligningene, ofte kalt Gauss lov.

På differensialform lyder Gauss lov \[ \mathrm{div}\,\mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}, \] hvor \(\mathbf{E}\) er det elektriske felt (for oss bare et vektorfelt), \(\rho(x,y,z)\) er ladningstetthet i \((x,y,z)\) (for oss bare en tetthet, tenk for eksempel massetetthet), og \(\varepsilon_0\) er en naturkonstant.

På integralform lyder loven \[ \iint_S \mathbf{E}\cdot \mathbf{n}\,\mathrm{d}\sigma = \frac{Q}{\varepsilon_0}, \] hvor \(S\) er en lukket, glatt flate og \(Q\) er den totale ladningen i området innenfor flaten \(S\).

Bruk divergensteoremet til å vise at differensialformen gir integralformen. (Hint: Tenk på ladning som om det var masse…)