Selv når vi vet at initialverdiproblemet
\[
\frac{dy}{dx} = f(x,y) \, , \qquad y(x_0) = y_0. \qquad (*)
\]
har en løsning, er det ikke nødvendigvis slik at vi kan løse problemet ved hjelp av en formel eller en regneoppskrift. For de aller fleste differensialligninger må vi ty til andre midler, for eksempel numeriske metoder, for å si noe om løsningsfunksjonene. Vi skal se på to numeriske metoder hvor vi begynner med å velge en steglengde \(h>0\), og deretter beregner en tilnærmet verdi til løsningsfunksjonen \(y\) i punktene
\[ \begin{align}
&x_0 , \\
&x_1 = x_0+ h, \\
&x_2= x_0 + 2h, \ldots\\
\end{align} \]
Eulers metode
Når vi bruker Eulers metode med skrittlengde \(h\) til å regne ut en tilnærmet løsning av initialverdiproblemet \((*)\), er den tilnærmede løsningen i punktene \(x_n = x_0 + nh\) gitt ved
\[y_0=x_0 , \qquad y_{n+1} = y_{n} + hf(x_{n},y_{n}).\]
Eulers midtpunktsmetode
Når vi bruker Eulers midtpunktsmetode med skrittlengde \(h\) til å regne ut en tilnærmet løsning av initialverdiproblemet \((*)\), er den tilnærmede løsningen i punktene \(x_n = x_0 + nh\) gitt ved
\[y_0 = x_0, \qquad y_{n+1} = y_{n} + h \frac{f(x_n, y_n)+f(x_{n+1}, u_{n+1})}{2} , \]
hvor
\[ u_{n+1} = y_n+hf(x_n, y_n) .\]
Andre numeriske metoder
Det finnes en rekke andre numeriske metoder. En metode som brukes mye i praksis er Runge-Kutta-metoden av fjerde orden. Denne er mer kompleks, men også mer nøyaktig, enn både Eulers metode og Eulers midtpunktsmetode.