Anvendelser av integrasjon

Volumet av et legeme som ligger mellom \(x=a\) og \(x=b\), og som i punktet \(x\) har tverrsnittsareal \(A(x)\), er gitt ved integralet \[ V = \int_a^b A(x) \, dx.\]

Dette prinsippet kan brukes til å finne volumet av det vi kaller omdreiningslegemer; dette er legemer som fremkommer når et område i planet dreies om en gitt akse.

Rotasjon om x-aksen
Volumet som fremkommer når området \(0 \leq y \leq f(x)\), \(a < x < b\), dreies om \(x\)-aksen, er \[V = \pi \int_a^b (f(x))^2 \, dx. \]

Rotasjon om y-aksen
Volumet som fremkommer når området \(0 \leq y \leq f(x)\), \(0 \leq a < x < b\), dreies om \(y\)-aksen, er \[V = 2 \pi \int_a^b x f(x) \, dx. \]

Teorem: Lengden til en graf
Anta at \(f\) er en kontinuerlig deriverbar funksjon på intervallet \([a,b]\). Da er lengden av grafen \(y=f(x)\) fra \(x=a\) til \(x=b\) gitt ved \[s = \int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2} \, dx.\]

Teorem: Rotasjonsflate

(a) Rotasjon om x-aksen
Hvis \(f\) er kontinuerlig deriverbar på intervallet \([a,b]\), og grafen \(y=f(x)\) roteres om \(x\)-aksen, så er arealet av overflaten som fremkommer gitt ved \[S = 2 \pi \int_a^b \left| f(x) \right| \sqrt{1+\left(f'(x) \right)^2} \, dx .\]

(b) Rotasjon om y-aksen
Hvis grafen i stedet roteres om \(y\)-aksen, så er arealet av overflaten som fremkommer gitt ved \[S = 2 \pi \int_a^b \left| x \right| \sqrt{1+\left(f'(x) \right)^2} \, dx .\]

I Leibniz' framstilling av derivasjonslæren opptrer elementer av typen \(dx\), kalt differesialer. Mange av formlene som dukker opp i dette kapittelet kan enkelt forstås ved å tenke på Leibniz' differesialer som tall (merk: det er de faktisk ikke). Vi illustrerer dette med to eksempler nedenfor.

Integralet for buelengde
Del intervallet \([a,b]\) inn i små delintervaller \(dx\), og la \(dy\) være endringen i funksjonsverdi på \(dx\). Fra Pythagoras' teorem følger det at bidraget fra intervallet \(dx\) til den totale buelengden er \[ ds = \sqrt{dx^2+dy^2} = dx \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2} = dx \sqrt{1+\left( f'(x) \right)^2} . \] Summerer vi alle bidrag \(ds\) over intervallet \([a,b]\) får vi at den totale buelengden \(s\) er \[ s = \int_{x=a}^{x=b} ds = \int_{a}^{b} \sqrt{1+\left( f'(x) \right)^2} \, dx. \]

Integralet for arealet av en rotasjonsflate
Anta at vi roterer grafen til \(f(x)\) for \(a \leq x \leq b\) rundt enten \(x\)- eller \(y\)-aksen. Vi deler intervallet \([a,b]\) i små delintervaller \(dx\), og vet at buelengden av grafen over \(dx\) er \(ds = dx \sqrt{1+\left( f'(x) \right)^2}\). Legg så merke til at bidraget fra \(ds\) til arealet av rotasjonsflaten er \(2\pi r \cdot ds\), der \(r\) er avstanden fra grafen til rotasjonsaksen. Ved å summere opp alle bidrag får vi at det totale arealet av flaten som fremkommer når grafen til \(f\) roteres om en koordinatakse er gitt ved \[ S = \int_a^b 2 \pi r \sqrt{1+\left( f'(x) \right)^2} \, dx. \]

Massen M av et legeme er gitt ved integralet av massetettheten \(\rho\) over volumet av legemet. Dersom volumet av legemet er gitt som en funksjon \(V=V(x)\), så er massen av legemet

\[ M = \int_{\mathrm{Vol}} \rho(x) \, dV = \int_a^b \rho(x) V'(x) \, dx.\]

Momentet \(M_c\) om punktet \(c\) til funksjonen \(f\) på \([a,b]\) er gitt ved

\[ M_c = \int_a^b (x-c) f(x) \, dx .\]

Massesenteret \(\bar{x}\) til et en-dimensjonalt legeme med massetetthet \(\rho = \rho(x)\), er

\[ \bar{x} = \frac{\int_a^b x \rho(x) \, dx}{\int_a^b \rho(x) \, dx} = \frac{\int_a^b x \rho(x) \, dx}{M} .\]

I to dimensjoner
Formlene ovenfor kan generaliseres til høyere dimensjoner. La oss for eksempel se på tilfellet hvor et område i planet er avgrenset av \(a \leq x \leq b\) og \(0 \leq y \leq f(x)\), og massetettheten i ethvert punkt \((x,y)\) er \(\rho(x)\). Området har da:

i) Masse \(M = \int_a^b \rho(x) f(x) \, dx\)

ii) Moment om y-aksen \(M_{x=0} = \int_a^b x \rho(x) f(x) \, dx\)

iii) Moment om x-aksen \(M_{y=0} = \frac12 \int_a^b \rho(x) \left( f(x) \right)^2 \, dx\)

iv) Massesenter \((\bar{x}, \bar{y}) = (\frac{M_{x=0}}{M}, \frac{M_{y=0}}{M})\)

Når vi skal finne volumet av et omdreiningslegeme, eller arealet av en rotasjonsflate, er det noen ganger enklere å bruke Pappus' teorem enn å regne ut integralene angitt ovenfor. Pappus' teorem gir volumet av omdreiningslegemet (eller arealet av rotasjonsflaten) som funksjon av avstanden fra rotasjonsaksen til sentroiden til området (eller kurven) som roteres. Sentroiden til et område i planet er massesenteret til området gitt konstant massetetthet.

Pappus' teorem

(a) La \(R\) være et område i planet. Volumet som fremkommer når \(R\) roteres om ei linje \(L\) er gitt ved \[ V = 2 \pi \overline{r} A, \] hvor \(A\) er arealet til \(R\), og \(\overline{r}\) er avstanden fra linja \(L\) til sentroiden til \(R\).

(b) La \(\mathcal{C}\) være en kurve i planet. Arealet av overflaten som fremkommer når \(\mathcal{C}\) roteres om ei linje \(L\) er gitt ved \[ S = 2 \pi \overline{r} s, \] hvor \(s\) er lengden av \(\mathcal{C}\), og \(\overline{r}\) er avstanden fra linja \(L\) til sentroiden til \(\mathcal{C}\).