MA 2401 Geometri – forelesningslogg

Under her kommer notater om eller fra forelest stoff, som det ikke er plass til i tabellen ovenfor.

Av stoff utenom læreboken så jeg på noen eksempler på det jeg kaller «naiv» euklidsk geometri. Det eneste som er «naivt» ved dette er at vi ikke baserer oss strengt på aksiomene slik de presenteres i kurset, men i stedet benytter verktøy og resultater kjent fra videregående skole. Spesielt så er det underforstått at vi arbeider i et kartesisk plan, der punkter er entydig gitt ved koordinater \(x,y\). Men vi unngår likevel å bruke koordinatene eksplisitt, så langt det lar seg gjøre.

Jeg gjennomgikk Cevas teorem. (Ceva er et italiensk navn, og uttales «tsjeva».) Snakket litt om forskjellige sentra i en trekant: Omsenter, innsenter, ortosenter. Jeg repertert også litt om sentervinkler og perifierivinkler, og om sinusproporsjonene. Tirsdag i uke 3 var jeg også innom den såkalte nipunktssirkelen til en trekant.

Som en innledende øvelse viste jeg hvordan vi kan komprimere det euklidske planet inn i sirkelskiven \(x^2+y^2\lt1\): Plassér en kule med radius 1 med sydpolen i origo i planet, og projiser hvert punkt \((x,y)\) i planet først til kuleskallet ved å trekke en rett linje fra \((x,y)\) til sentrum i kulen og velge det punktet der denne linjen krysser kuleskallet, deretter rett ned i planet igjen. Slik avbildes \((x,y)\) på \((x/\sqrt{1+x^2+y^2},y/\sqrt{1+x^2+y^2})\). Bildet av en rett linje blir en storsirkel på kuleskallet, som avbildes ned på en ellipse (egentlig bare en halv ellipse) som har en diameter i sirkskiven som store halvakse. Figuren viser bildet av fem parallelle linjer:

Poincaré-disken er også basert på enhetssirkelskiven \(x^2+y^2\lt1\), men er ellers nokså annerledes. Spesielt er linjene (Poincarélinjene) sirkelbuer som møter enhetssirkelen perpendikulært. (Eller diametere i sirkelen, som kan oppfattes som sirkelbuer med uendelig radius.) Den første figuren under illustrerer beviset for at sentrum C i en slik sirkelbue gjennom \(A\) ligger på en rett linje som skjærer strålen \(OA\) ortogonalt i en avstand \(y=(1+a^2)/(2a)\) fra origo \(O\):

Hvis du har to slike punkter \(A\) og \(B\), har de tilhørende linjene ett punkt felles, som er kjernen i beviset for at insidensaksiomet holder: Kun én linje gjennom to punkter. (Hvis \(A\) og \(B\) ligger på en felles diameter, er denne diameteren også linjen gjennom de to.

Jeg gjør avsnitt 6.3 på min måte. Før jeg startet, påpekte jeg at kontinuitetsaksiomet (3.5.15 side 62) med letthet kan utvides. Vi kan definere funksjonen der for alle \(x≥0\), som lar \(D_x\) være et vilkårlig punkt på \(\overrightarrow{CB}\); og da blir \(f\) kontinuerlig for \(x\ge0\). Den blir også strengt voksende (direkte følge av vinkelmålaksiomet). (I forelesningen generaliserte jeg til alle reelle tall \(x\) og hele linjen \(\overleftrightarrow{CB}\), men det er egentlig mer enn jeg trenger for mine formål.)

Startet med et studium av rettvinklete trekanter. Hvis \(△ABC\) er en rettvinklet trekant med den rette vinkelen i \(B\), \(AB=a\) og \(BC=x\), så er \(μ(∠BAC)\) en funksjon bare av \(a\) og \(x\), for alle slike trekanter er kongruente ved SAS. Vi skriver \(f\) for denne funksjonen: \(f(a,x)=μ(∠BAC)\). Så er \(f(a,x)\) en strengt voksende, kontinuerlig funksjon på \([0,∞)\), og den har en grenseverdi \[κ(a)=\lim_{x→∞} f(a,x)≤90.\] Jeg avsluttet med (litt annerledes formulert)

Lemma: La \(\ell\) være en linje, og \(P\) et punkt utenfor \(\ell\). La \(A\) være fotpunktet til normalen fra \(P\) til \(\ell\), og \(a=PA\). La videre \(\overrightarrow{PQ}\) være en stråle, ikke motsatt rettet \(\overrightarrow{PA}\). Da er \(\overrightarrow{PQ}\cap\ell=\emptyset\) hvis og bare hvis \(μ(∠APQ)≥κ(a)\).

Neste gang tar vi for oss disse umiddelbare konsekvensene:

Teorem: La \(\ell\) være en linje, og \(P\) et punkt utenfor \(\ell\). La \(A\) være fotpunktet til normalen fra \(P\) til \(\ell\), og \(a=PA\). La videre \(Q\) være et punkt utenfor \(\overleftrightarrow{PA}\). Da er \(\overleftrightarrow{PQ}\parallel\ell\) hvis og bare hvis \(κ(a)≤∠APQ≤180-κ(a)\).

Korollar: I hyperbolsk geometri er \(κ(a)<90\).

Her er figuren som illustrerer hvordan (inntil) tre speilinger avbilder \(\triangle ABC\) på \(\triangle DEF\). Vi speiler i tur og orden gjennom de tre røde linjene fra venstre mot høyre. Først avbildes \(\triangle ABC\) på \(\triangle DB'C'\) ved speiling i midtnormalen på \(\overline{AD}\), deretter avbildes \(\triangle DB'C'\) på \(\triangle DEC''\) ved speiling i midtnormalen på \(\overline{B'E}\). Til sist speiles \(\triangle DEC''\) på \(\triangle DEF\) ved speiling i \(\overleftrightarrow{DE}\). Hvis \(\triangle DEF\) hadde vært motsatt orientert i forhold til hva den var her, ville den siste speilingen vært overflødig.

Her er den tilhørende geogebrafilen. Du kan gå frem og tilbake i konstruksjonsprotokollen med pilknappene nederst. Du kan trekke punktene A, B, C og D fritt. E kan trekkes langs en (usynlig) sirkel om D med lengde AB, og F følger bare med og går dit den må.

Noen bilder fra ukens forelesning. Aller først en illustrasjon av to innbyrdes inverse punkter relativt til en sirkel:

Dernest en illustrasjon til beviset for at inversjon i en sirkel avbilder en ortogonal sirkel på seg selv:

Og en illustrasjon til beviset for at en sirkel gjennom \(O\) er inversjonen av en linje utenom \(O\), og omvendt:

En illustrasjon til vinkelbevaring ved inversjon. Idéen er at den ytre sirkelen kan inverteres til den indre i to trinn. Først inverteres den på seg selv ved inversjon i den lysegrå sirkelen, så krympes den til den lille sirkelen ved en homoteti:

Vi observerte nemlig at sammensetningen av to inversjoner i konsentriske sirkler er en homoteti med faktor lik kvadratet av forholdet mellom radiene.

Og til sist, første skritt på veien til å vise at kryssforholdet mellom fire punkter bevares ved inversjon. Her ser vi bare på to punkter:

Her er \(P\) og \(P'\) innbyrdes inverse, og likedan for \(Q\) og \(Q'\). Per definisjon er \(OP\cdot OP'=r^2=OQ\cdot OQ'\), som sammen med den felles vinkelen i \(O\) gir at trekantene er likeformet. Spesielt er \[\frac{PQ}{P'Q'}=\frac{OP}{OQ'}=\frac{OQ}{OP'}.\] Og der endte ukens forelesninger, litt i løse luften.

To bilder fra tirsdagens forelesning:

Formelen \(aa'=r^2\) beskriver bare potensen til \(O\) med hensyn på den høyre sirkelen. Dette er formelen for inversjon i den svarte sirkelen, men det «inverterte» punktet havner på motsatt side av \(O\) i stedet for på samme side. En ekstra speiling gjennom \(O\) ordner opp i det, og vi får at den høyre sirkelen inverteres over i den venstre.

Poincarédisken flislagt (tesselert) med hvite og blå fliser. Flisene er alle kongruente og likesidete trekanter i Poincarédisken, med vinkel 45° i hvert hjørne. Total vinkelsum 135°. (Her er den som vektorgrafikk.)

Avsnitt 5.5 (trigonometri) kan dere lese selv. Her er et par hint til bevisene i avsnittet.

Først sinusproporsjonen, som sier at i en (euklidsk!) trekant $\triangle ABC$ er \[\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c},\] der vi bruker de vanlige forkortelsene for trekanter \(A=\mu(\angle CAB)\), \(a=BC\), etc. Jeg foretrekker denne varianten: \[\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}=\frac1{2R},\] der \(R\) er radien i den omskrevne sirkelen til \(\triangle ABC\). Det er nok å vise \[\frac{\sin A}{a}=\frac1{2R},\] for vi kan alltid bytte om navnene på hjørnene og få samme verdi på brøken. I figuren er \(A'\) diametralt motsatt \(C\) på den omskrevne sirkelen. Ekvivalent er at \(\angle CBA'\) er rett. Slik det er i figuren vil vinkelen i \(A\) og den i \(A'\) begge være periferivinkler som utspenner samme sirkelbue, så de er like. Hvis vinkelen i \(A\) var stump, ville vinkelen i \(A'\) i stedet vært en supplementvinkel til \(A\), men i begge tilfeller er \(\sin A'=\sin A\). Men så blir \(a=CA'\sin A=2R\sin A'\), og resultatet følger. (Hvis \(\overline{BC}\) allerede var en diameter i den omskrevne sirkelen, bryter dette argumentet sammen, men da er jo vinkelen i \(A\) rett, så vi får samme resultat uten ytterligere dikkedarer.)

Det andre resultatet er cosinusloven \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\). Beviset er nokså likefrem fra figuren under: Vi nedfeller en normal fra \(C\) på \(\overleftrightarrow{AB}\) med fotpunkt \(D\). I figuren havner \(D\) i det indre av \(\overline{AB}\), og målene blir som vist på figuren. Anvend Pythagoras på \(\triangle BCD\) og forenkle, så faller cosinusloven ut. Nå kunne \(D\) havnet på utsiden av \(\overline{AB}\), enten utenfor \(A\) om vinkelen i \(A\) er stump, eller utenfor \(B\). Begge tilfeller gir essensielt det samme beviset.

(Geogebra-filer: For sinusproporsjonen og cosinusloven.)