MA 2401 Geometri

Det vil bli gitt 10 ukentlige øvinger. Du må ha 6 godkjente øvinger for å få gå opp til eksamen. (Gjelder ikke om du har godkjente øvinger i emnet fra tidligere år.) Jobb en del med øvingen før du går til veiledningstimen! Da utnytter du din egen og stud.assens tid bedre.

Det er ugunstig å bruke den første utgaven av læreboka. Ikke bare er den strukturert forskjellig fra andreutgaven, men den mangler rett og slett en del av resultatene og øvingsoppgavene vi kommer til å bruke i kurset. Dersom du insisterer på å ikke skaffe den nye utgaven, bør du alliere deg med noen som har den.

Innlevering blir kl 16 dagen etter at øvingen veiledes. Øvingen leveres i merkede hyller i tredje etasje av nordre lavblokk. Med NTNU-brukernavn og -passord kan du logge deg inn i øvingssystemet. Du skal aldri laste opp filer eller trykke på "lever øving" selv om du har levert skriftlig; dette systemet skal du kun bruke til å holde oversikt over dine godkjente øvinger.

I emnets It's Learning-rom finner du nå en oversikt over hvilken av de fire øvingsgruppene du hører til. Dersom du ikke er plassert i en gruppe, eller er plassert i en gruppe som kolliderer med annen undervisning, send en epost til Torkil.

• Gruppe 1 har øvingstime 10-12 på torsdager i MA23. Stud.ass er Per Hag (bruker ikke epost).
• Gruppe 2 har øvingstime 10-12 på torsdager i R51. Stud.ass er Fredrik Nevjen.
• Gruppe 3 har øvingstime 16-18 på torsdager i R50. Stud.ass er Petter Holm Reiso.
• Gruppe 4 har øvingstime 16-18 på torsdager i B22. Stud.ass Øyvind Haugan Lien.

• Avsnitt 2.4: 10, 13(a–c)
• Avsnitt 2.6: 5–7 (vise teoremene 2.6.6–8)
• Avsnitt 3.2: 6, 12, 15, 22
• Utfordring: Avsnitt 1.6 oppgave 11
• Veiledning: torsdag 28. januar
• Innlevering: fredag 29. januar kl 16.

• Avsnitt 3.2: 17
• Hvilke av de første tre aksiomene holder i sfærisk geometri?
• Avsnitt 3.3: 1, 3–5
• Avsnitt 3.4: 1
• Avsnitt 3.5: 2–4
• Utfordring: Hvilke av de første tre aksiomene holder i projektiv geometri? (Se under.)
• Veiledning: torsdag 4. februar
• Innlevering: fredag 5. februar kl 16.

Punktene i det projektive planet er uordnede par \(\{A_1,A_2\}\) av antipodale punkt på sfæren \(\mathbb{S}^2\). En storsirkel definerer en linje i det projektivet planet, bestående av par \(\{A_1,A_2\}\) der \(A_1\) og \(A_2\) ligger på storsirkelen (hvis ett av dem gjør det, gjør de begge det). Avstanden mellom to punkt \(\{A_1,A_2\}\) og \(\{B_1,B_2\}\) er den minste av avstandene \(A_1B_1\) og \(A_1B_2\) målt i sfærisk metrikk. (Merk at \(A_2B_1=A_1B_2\) og \(A_2B_2=A_1B_1\) på grunn av symmetrier i sfæren.)

Dere fikk presentert det projektive planet på en annen måte i en tidlig forelesning. De to definisjonene er essensielt ekvivalente. Der var et punkt i det projektive planet gitt ved en linje gjennom origo i rommet. En slik linje skjærer enhetssfæren \(\mathbb{S^2}\) i to antipodale punkt.

• Avsnitt 3.6: 1–2
• Avsnitt 3.7: 2
• Avsnitt 4.1: 2
• Avsnitt 4.2: 1–5
• Veiledning: torsdag 11. februar
• Innlevering: fredag 12. februar kl 16.

• Avsnitt 4.3: 1–7 (1 og 2 er kanskje de mest utfordrende oppgavene - spar dem gjerne til slutt!)
• Avsnitt 4.4: 1–3
• Veiledning: torsdag 18. februar
• Innlevering: fredag 19. februar kl 16.

• Avsnitt 4.5: 1, 2
• Avsnitt 4.6: 1, 2, 5, 7
• Avsnitt 4.7: 1, 5
• Veiledning: torsdag 25. februar
• Innlevering: fredag 26. februar kl 16.

• Avsnitt 4.8: 1, 2, 5–8, 10
• Veiledning: torsdag 3. mars
• Innlevering: fredag 4. mars kl 16.

• Avsnitt 5.1: 2, 7–9
• Avsnitt 5.3: 1, 2
• Avsnitt 5.4: 1–3
• Veiledning: torsdag 10. mars
• Innlevering: fredag 11. mars kl 16.

• Avsnitt 6.1: 2, 3, 5
• Avsnitt 6.2: 3
• Tillegg (forutsetter nøytral geometri, men antagelsen i punkt 3 kan åpenbart bare holde i hyperbolsk geometri ):
  1. Vis at \(\bigl|d(P,\ell)-d(Q,\ell)\bigr|≤PQ\) for en gitt linje \(\ell\) og punkter \(P\) og \(Q\). (Hint: Vis ulikheten først uten absoluttverdi på venstre side. Bytt så om \(P\) og \(Q\).)
  2. Anta \(m\parallel\ell\), anta en gitt koordinatisering av \(m\), og la \(D_x\in m\) være punktet med koordinat \(x\), for hver \(x\in\mathbb{R}\). Vis at \(d(D_x,\ell)\) er en kontinuerlig funksjon av \(x\).
  3. Anta \(m\parallel\ell\), og at de to linjene ikke har noen fellesnormal. Dersom \(P\), \(Q\) og \(R\) er punkter på \(m\) og \(P*Q*R\), vis at enten er \(d(P,\ell)\lt d(Q,\ell)\lt d(R,\ell)\) eller så er \(d(P,\ell)\gt d(Q,\ell)\gt d(R,\ell)\).
• Veiledning: torsdag 17. mars
• Innlevering: fredag 18. mars kl 16.

• Avsnitt 8.1: 5, 6, 7
• Avsnitt 8.2: 1 (se hint nedenfor)
• Avsnitt 10.1: 1, 7
• Hint til 8.2.1: I euklidsk geometri kan du vise at høydene i en trekant møtes i et punkt ved å trekke paralleller med hver side gjennom motstående hjørne. Høydene møtes i omsenteret til den større trekanten som dannes av disse linjene.
• Veiledning: torsdag 7. april
• Innlevering: fredag 8. april

• Avsnitt 8.3: 8
• Avsnitt 10.2: 9
• Avsnitt 10.3: 2, 3
• Avsnitt 10.7: 8
• Hint til 10.2.9: Oppgaven blir nok svært vanskelig om du går direkte ut fra bokens definisjon av \(\rho_{AB}\) som sammensetningen av to speilinger. Men tar du utgangspunkt i at \(T_{AB}\) er en isometri, og derfor bevarer linjer, stråler og vinkelmål (i tillegg til avstand), blir oppgaven straks mer håndterlig. Husk at \(T_{AB}(A)=B\).
• Veiledning: torsdag 21. april
• Innlevering: fredag 22. april