Nøkkelbegreper TMA4105 Matematikk 2, vår 2015
Dette er en liste over begreper som alle studenter forventes å beherske. Den er ment som en sjekkliste, og en hjelp til eksamen. For den som trenger det, er her også en norsk-engelsk matematisk ordliste.
Uke 2: 8.2–8.4
- Kurver i planet og kurveparametriseringer
- Sirkler og ellipser som eksempler på kurveparametriseringer
- Glatte kurver, tangent og stigningstall
- Buelengde og buelengdeelementet
- Arealberegning for området begrenset av en lukket kurve
Uke 3: 8.5–8.6, 10.5–10.6
- Polarkoordinater. Konvertere til og fra kartesiske koordinater
- Polare grafer
- Tangenter, og retning der \(r=0\)
- Areal- og buelengdeberegning
- Andregradsflater
- Ellipsoider, sirkulære og elliptiske paraboloider, enkappede og tokappede hyperboloider
- Sylinder- og kulekoordinater. Konvertere til og fra kartesiske koordinater
Uke 4: 11.1, 11.3–11.5
- Deriverbare vektorvaluerte funksjoner av én variabel
- Derivasjonsregler - produktregler og kjerneregelen
- Kurver og parametriseringer i tre dimensjoner
- Buelengden til kurver
- Tangent- og normalvektorer til kurver
- Krumning
Uke 5: 12.1–12.4
- Funksjoner av flere variable
- Grafen og konturlinjene til en funksjon av to variable. Konturflatene til en funksjon av tre variable.
- Grenseverdier av funksjoner av flere variable. Kontinuitet.
- Partiellderiverte av funksjoner av flere variable.
- Tangentplan til funksjonsgrafer.
- Høyereordens partiellderiverte.
- Likhet av blandede partiellderiverte.
Uke 6: 12.5–12.7
- Kjerneregelen
- Bruk av kjerneregelen for høyere ordens deriverte
- Deriverbarhet
- Differensialer og lineær approksimasjon
- Vektorvaluerte funksjoner av flere variable, Jacobimatrise
- Gradienter, retningsderivert
Uke 7: 12.8–12.9 og 15.1
- Implisitt derivasjon (implisitte funksjonssetningen)
- Jacobi-determinanten
- Taylors formel, spesielt i to dimensjoner
- Vektorfelt og skalare felt
- Glatte vektorfelt
- Strømlinjer
Uke 8: 15.2–15.4
- Konservative vektorfelt
- Nødvendige betingelser for konservative vektorfelt
- Linjeintegralet og buelengdeelementet \(ds\)
- Linjeintegralet er uavhengig av parametrisering
- Linjeintegralet av vektorfelter
- Sirkulasjon – linjeintegralet rundt en lukket kurve
- Teorem: uavhengighet av integrasjonskurven for konservative vektorfelter
Uke 9: 14.1–14.2 og 16.3
- Dobbeltintegraler
- Riemannsummer
- Egenskaper til dobbeltintegraler
- Enkle (x-enkle, y-enkle) og regulære integrasjonsområder
- Itererte dobbeltintegraler
- Bytte av integrasjonsrekkefølge
- Greens teorem i planet
- Divergensteoremet i planet
Uke 10: 14.3–14.6
- Uekte integraler for funksjoner med konstant fortegn
- Integrasjon i polarkoordinater
- Variabelskifte i dobbeltintegraler
- Trippelintegraler og itererte integraler i tre dimensjoner
- Variabelsubstitusjon i trippelintegraler
- til/fra sfæriske, sylindriske og kartesiske koordinater (volumelementet \(\mathrm dV\) gitt ved kartesiske, sylindriske og sfæriske koordinater)
- gjennom alminnelige transformasjoner (Jacobimatrise, Jacobideterminant)
Uke 11: Anvendelser og 15.5
- Parametriske flater
- Glatte flater
- Flateintegralet, flateelementet \(dS\) og normalvektoren \(\mathbf{\hat{N}}\)
Uke 12: 15.6 og 16.4 (16.1)
- Orienterte og orienterbare flater
- Fluksen av et vektorfelt gjennom en orientert flate
- Gradient og divergens
- Divergensteoremet i to og tre dimensjoner (Gauss' teorem)
Uke 13: 16.1–16.2 og 16.5
- Gradient, divergens og curl: definisjon og egenskaper
- Rotasjonsfrie vektorfelt er konservative
- Om \(\mathbf{F}\) er divergensfritt er \(\mathbf{F} = \mathbf{\text{curl } G}\)
- Stokes' teorem
Uke 15/16: 13.1–13.3
- Kritiske punkter, singulære punkter og randpunkter
- Nødvendige og tilstrekkelige kriterier for lokalt min/max
- Andrederiverttesten i to dimensjoner
- Beregning av maksimum og minimum for funksjoner definert på delmengder av planet og rommet
- Kompakte (lukkede og begrensede) mengder
- Ubegrensede mengder
- Lagranges multiplikatormetode for én og to bibetingelser