Derivasjon - Eksempel

Her finner du eksempel som illusterer begrep og teorem som er introdusert på temasida Derivasjon.

Problem
Vis at følgende funksjon er deriverbar: \[f(x) = \begin{cases} x^2 \sin(1/x) & \ x \neq 0\\ 0 & \ x=0. \end{cases} \]

Løsning
Funksjonen \(f\) har delt forskrift. La oss først studere \(f(x)= x^2 \sin(1/x)\) for \( x \neq 0\).
Funksjonen \(x^2\) er deriverbar for alle \(x\). Funksjonen \(\sin(1/x)\) er sammensatt av funksjonene \(\sin(z)\) og \(z=1/x\), der vi vet at \(\sin(z)\) er deriverbar for alle verdier av \(z\) og \(z=1/x\) er deriverbar for alle verdier der funksjonen er definert, det vil si \( x \neq 0\). Ved å bruke regneregler for sammensatte funksjoner og produkt av funksjoner har vi da at \(f(x)= x^2 \sin(1/x)\) er deriverbar for \(x\neq 0\).

Da har vi bare ett punkt igjen der vi må sjekke om funksjonene er deriverbar, nemlig origo. For å finne ute om funksjonen er deriverbar i origo må vi bruke definisjonen av den deriverte i et punkt. Vi vil sjekke om

\( \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} \) eksisterer. For \(h \neq 0 \) har vi at \[ \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \frac{h^2 \sin(1/h)}{h} = h \sin(1/h). \]

Dette er en grenseverdi som er velkjent: Når \(h\) går mot 0, går grenseverdien også mot 0. Dette kan man for eksempel vise ved å observere at \[ -|h| \le h \sin(1/h) \le |h|. \]
og bruke skviseteoremet. Vi konkluderer med at grenseverdien eksisterer og er 0, dermed er funksjonen deriverbar også i origo. Da har vi sjekket at funksjonen er deriverbar i alle punkt der den er definert.

Problem
Vi ønsker å finne det punktet på kurva \(y=x^2\) som ligger nærmest punktet \((3,0)\).

Løsning
La \(a\) være \(x\)-koordinaten til det punktet på kurva som ligger nærmest punktet \((3,0)\). Da er \(y\) koordinaten til punktet \(a^2\) siden \(y=x^2\). Vi må prøve å lage noen ligninger med den informasjonen vi har, slik at vi kan bestemme hvilken verdi \(a\) har.

Vi kan dra ei rett linje \(L\) igjennom punkta \((a,a^2)\) og \((3,0)\). Denne linja \(L\) må stå vinkelrett på tangenlinja til kurva i punktet \((a,a^2)\) .

Husk at produktet av stigningstallene til to linjer som står vinkelrett på hverandre er lik \(-1\).

Stigningstallet til tangentlinja er kjent, det må være \(2a\) i punktet \((a,a^2)\). Da kan stigningstallet til \(L\) regnes ut, det må være \(-1/2a\). Stigningstallet til linja \(L\) kan også regnes ut direkte,ved å bruke koordinatene til punkta \((a,a^2)\) og \((3,0)\):

\[ \frac{a^2-0}{a-3} = -\frac{1}{2a}\] \[ \frac{a^2}{a-3} =\frac{-1}{2a}\] \[\frac{2a·a^2}{a-3}=-1\] \[2a^3=-1(a-3)=3-a\] \[2a^3+a-3=0\]

Dette tredjegradspolynomet kan løses på kalkulator eller ved å bruke Maple, eventuelt så er det også ganske lett å se at \(a=1\) er en løsning. Dermed er det vist at punktet på kurva som ligger nærmest punktet \(3,0\) har koordinater \(1,1\).

Andre mulige løsninger: Man kan finne en parametrisering av kurva, og deretter finne minimumspunkt av distansefunksjonen fra \((3,0)\). Den korteste distansen mellom et vilkårlig punkt \((t,t^2)\) på grafen og punktet \((3,0)\) kan man finne ved å finne minimum av \(||(t-3,t^2-0)||^2 = t^4+t^2-6t+9\). Dette kan gjøres ved å derivere og bruke kritiske punkt teoremet (Critical Point Theorem).

Anta at vi har en funksjon \(y=f(x)\). Dersom vi har en \(x\)-verdi der det er lett å regne ut \(y=f(x)\), så er det ofte mulig, for hånd, å finne en god approksimasjon av \(y\) for verdier nær \(x\).

Generelt sett så har vi at dersom endringen av størrelsen \(x\) er \(\Delta x\), så vil endringen \(y\) være gitt ved \(\Delta y =f(x+\Delta x)-f(x)\). Dersom \(\Delta x\) ikke er null, kan vi også skrive \(\Delta y\) på følgende måte: \(\Delta y= \frac{\Delta y}{\Delta x}\Delta x\). Dersom \(\Delta x\) er liten nok er første faktoren i uttrykket en tilnærming til den deriverte \(f'(x)\), altså \[\Delta y \approx f'(x)\Delta x.\]

Problem
Regn ut en approksimasjon av \(\sqrt{17}\).
Løsning

Vi definerer en funksjon \(f\) der \(f=\sqrt{x}\). Den deriverte av denne funksjonen kjenner vi, den er nemlig \[f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}.\]

Videre lar vi \(x=16\) og \(\Delta x=1\). Da har vi at

\[\sqrt{17} = f(x + \Delta x) = f(x) + \Delta y.\]

Dette betyr at \[\sqrt{17} \approx f(x) + f'(x)\Delta x = \sqrt{x} + \frac{1}{2\sqrt{x}}\Delta x. \] Vi substituerer for \(x\) og \(\Delta x\) og finner da at \[\sqrt{17} \approx 4 + \frac{1}{8} = 4.125.\] Dette er en ganske god approksimering siden \(\sqrt{17}\) med tre desimalers nøyaktighet er \(4.123\).

Problem
Finn stigningstallet til tangenten til kurva \( \tan(x y^2) = \frac{2xy}{\pi} \) i punktet \((-\pi,\frac12)\).

Løsning

Vi bruker framgangsmåten beskrevet på temasiden om derivasjon. Ligningen som må deriveres er:

\[ \tan(x y^2) =\frac{2xy}{\pi}.\]

Vi går ut fra at \(y=y(x)\), altså at \(y\) er en funksjon av \(x\), og deriverer ligningen med hensyn på \(x\):

\[ \frac{d}{dx} \tan\left(x y(x)^2\right) - \frac{d}{dx} \frac{2xy(x)}{\pi} = 0 \] \[ \frac{y(x)^2+2xy(x)y'(x)}{\cos^2\left(xy(x)^2\right)} - \frac{2y(x)+2xy'(x)}{\pi} = 0\]

Deretter kan man sette inn \(x = -\pi \) og \(y(x) = \frac12 \) i ligningen, og løse dette for \(y'(x) \):

\[ \frac12- \frac{1}{\pi} + (2-2\pi)y'(-\pi) = 0 \] \[ y'(-\pi) = \frac{\pi-2}{4 \pi (\pi-1)}. \]

Stigningstallet til tangenten til kurva i punktet \((-\pi,\frac12)\) er altså \[ y'(-\pi) = \frac{\pi-2}{4 \pi (\pi-1)}. \]

Problem
Et firma produserer sylinderforma blikkbokser. Materialet som blir brukt til sylinderen, toppen og bunnen har samme konstante tykkelse. For hver blikkboks som skal lages bruker man materiale med et fiksert areal \(A\). Hva er den optimale sammenhengen mellom høyden \(h\) og radius \(r\) av sylinderen for å maksimere volumet på blikkboksen, gitt at \(A\) er en konstant?

Løsning

Formelen for volum av en sylinder er \(V=\pi r^2 h\). Vi går ut fra at materialet som blir brukt er så tynt at vi kan se bort fra tykkelsen på dette i beregningene. Da blir mengden materialer som går med til hver boks det samme som størrelsen på overflaten av boksen, gitt ved \(A=2\pi rh+2\pi r^2\) (sylinder+topp+bunn). Vi skriver om for å få høyden uttrykt ved radius:

\[h=\frac{A}{2\pi r}-r.\]

Dermed har kan vi skrive formelen for volumet som en funksjon av kun \(r\):

\[V(r)=\frac{Ar}{2}-\pi r^3.\]

Det som gjenstår nå er å derivere denne funksjonen med hensyn til \(r\) og lete etter maksimumspunkter(husk at \(A\) er en konstant):

\[\frac{dV}{dr}=V'(r)=\frac{A}{2}-3\pi r^2.\]

Vi finner at \(V'(r)\) har kritiske punkt for \(r=±\sqrt{\frac{A}{6\pi}}\). Radiusen kan aldri være et negativt tall, så vi kan se bort fra den negative verdien. Ved bruk av fortegnsskjema finner man da at \(V(r)\) har et maksimumspunkt for \(r=\sqrt{\frac{A}{6\pi}}\).

Da er \(A=6\pi r^2\). Innsatt i uttrykket for \(h\) over, får vi at

\[h=\frac{A}{2\pi r} -r = \frac{6\pi r^2}{2\pi r} -r = 2r.\]

Volumet av blikkboksen er altså maksimalt når \(h=2r\).

Problem
Anta at \(f\) og \(g\) er deriverbare funksjoner på et åpent intervall \((a,b)\) og at \(f'=g'\). Vis at da er \(f-g\) en konstant funksjon.

Løsning
Start med å definere en ny funksjon \(h=f-g\). Da har vi at \(h'=f'-g'=0\) på intervallet \((a,b)\).

For hvert par av disktinkte punkt \(x_1\) og \(x_2\) i intervallet \((a,b)\) kan vi bruke middelverdisetningen som gir :

\[\frac{h(x_1)-h(x_2)}{x_1-x_2} = 0. \]

Dermed har vi at \(h(x_1)=h(x_2)\), for ethvert par av vilkårlige punkt \(x_1\) og \(x_2\) i intervallet \((a,b)\). Da kan vi konkludere med at \(h\) er en konstant funksjon.