Anvendelser av derivasjon - Eksempler

Her finner du eksempler til temaet Anvendelser av derivasjon.

Problem
En kule av is med radius \(r=6 \ \mathrm{cm}\) holder på å smelte. Hvor fort minker volumet dersom radiusen minker med \(0.5 \ \mathrm{cm/time}\)?

Løsning

Vi har at sammenhengen mellom volum og radius er gitt ved \(V(t) = \frac{4}{3}\pi r^3(t)\). I dette tilfellet er vi interesserte i endringen av volumet pr tidsenhet, og dette er da avhengig av hvor raskt radiusen endrer seg i forhold til tiden. For å finne ut hvor fort disse størrelsene endrer seg i forhold til tiden, så deriverer vi formelen med hensyn på tiden: \[V'(t) = 4\pi r^2(t)r'(t).\]

Størrelsen vi ønsker å finne er \(V'(t)\), så vi trenger å finne \(r(t)\) og \(r'(t)\). Radiusen er gitt i oppgaveteksten til å være \(r=6 \ \mathrm{cm}\), og raten radiusen minker med, altså \(r'(t)\), er gitt i oppgaveteksten til å være \(0.5 \ \mathrm{cm/time}\). Da kan vi sette inn i formelen og regne ut:

\[V'(t) = 4\pi r^2(t)r'(t) =4\pi(6 \ \mathrm{cm})^2 \cdot 0.5 \ \mathrm{cm/h} =72\pi \ \mathrm{cm^3/h} .\]

Dette betyr at volumet av kula minker med hastighet \(72\pi \ \mathrm{cm^3/t} \approx 226.2 \ \mathrm{cm^3/t}\).

Problem
a) Forklar hvorfor ligningen \(x\ln x =1 \) kun har en løsning.

b) Bruk Newton's metode for å approksimere denne løsningen.

Løsning

a) Vi definerer en funksjon \(f(x) = x\ln x -1 \). En løsning av ligningen \(x\ln x=1\) vil være det samme som et punkt der \(f(x)=0\).

Funksjonen \(f(x)\) er definert på intervallet \((0,\infty)\), og den deriverte er \(f'(x)=1+\ln x\). Vi vil vise at funksjonen \(f(x)\) kun har ett nullpunkt på intervallet \((0,\infty)\) ved å bruke skjæringssetningen. Det er derfor nyttig å vite i hvilke intervall funksjonen er stigende og synkende. Altså starter vi med å studere den deriverte:
\[f'(x)=0 \ \Leftrightarrow \ -1=\ln x \ \ \Leftrightarrow \mathrm{e^{-1}}=x\]

Vi ser at \(f'(x)<0\) på intervallet \((0,\mathrm{e^{-1}})\) og at \(f'(x)>0\) på intervallet \((\mathrm{e^{-1}},\infty)\). Videre merker vi oss at \( \lim_{x \to 0+}f(x) = -1 \). Dette betyr at \(f(x)\leftarrow1\) for \(x\in (0,\mathrm{e^{-1}})\), og dermed har funksjonen \(f(x)\) ingen nullpunkt i dette intervallet.

Da har vi igjen å lete etter nullpunkt i intervallet \((\mathrm{e^{-1}},\infty)\). Siden \(f(\mathrm{e^{-1}})<0\) og \(f(\mathrm{e})>0\) gir skjæringssetningen at funksjonen har minst et nullpunkt på intervallet \((\mathrm{e^{-1}},\mathrm{e})\). Siden funksjonen er voksende på intervallet kan det bare være ett nullpunkt.

b) Vi lar \(x_0=1\), og definerer \[x_{n+1} =x_n -\frac{x_n\ln x_n-1}{1+\ln x_n} .\]

Ved å bruke kalkulator eller Maple får man da \(x_1 = 2.0, \ x_2 = 1.772, \ x_3 = 1.7632, \ x_4 = 1.7632,\) og en god approksimasjon av løsningen er derfor \(1.7632\).

Problem

Beregn \(\lim_{x \to 0}\frac{\tanh x}{x}\).

Løsning

Vi ser at når \(x \to 0\) så går \((\tanh x)/x \) mot \(0/0\), derfor kan vi bruke L'Hôpitals regel. Dette gir følgende utregning: \[\lim_{x \to 0}\frac{\tanh x}{x} =\lim_{x \to 0}\frac{(\tanh x)'}{(x)'} = \lim_{x \to 0}\frac{1}{\cosh^2 x} =1.\]

Problem
La \(f(x) = \frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}\). Avgjør om funksjonen har ekstremalverdier og bestem disse i så tilfelle.

Løsning

Det kan være lurt å starte med å kikke på verdier av x der nevneren er null, i og med at funksjoner med rotuttrykk ofte kan gå mot uendelig eller minus uendelig nær slike punkt, og i så tilfelle har ikke funksjonen maksimumspunkt eller eventuelt minimumspunkt. I dette tilfellet er det aktuelt kikke på hva som skjer med grenseverdien når x går mot 2 eller -2. Ved å sjekke dette finner man at \(\lim_{x \to 2-} f(x) = \infty\), og dermed har ikke funksjonen maksimumspunkt.

For å lokalisere minimumspunkt kan vi bruke et teorem som sier at minimumspunkt kan forekomme i kritiske punkt (\(f'(x)=0\)), singulære punkt (\(f'(x)\) ikke definert), eller i endepunkt i domenet til funksjonen.

Domenet til funksjonen \(f\) er alle \(x\) som er slik at \(4-x^2 \ge 0\), det vil si \(x \in (-2,2)\). Vi ser derfor at domenet til \(f\) ikke har noen endepunkt, og vi kan derfor utelukke minimumspunkt i endepunkt. Videre ser vi at \(f'\) er definert for alle \(x\in (-2,2)\), og vi kan da utelukke minimumspunkt i singulære punkt. Da har vi bare igjen å sjekke kritiske punkt.

Vi har at \[f'(x) = \frac{2x(4-x^2)-x^2(-2x)}{4-x^2} = \frac{8x}{4-x^2},\] så det eneste kritiske punktet er \(x=0\). Man kan se av funksjonsuttrykket til \(f'(x)\) at den deriverte er negativ til venstre for \(x=0\) og positiv til høyre for \(x=0\), dermed kan vi konkludere med at \(f(0)=0\) er et lokalt minimum. Videre ser vi at \(f(x)>0\) for \(x\neq 0\), siden både nevner og teller er positive tall, og dermed er det klart at \(f(0)=0\) er et globalt minimumspunkt.

Problem
La \(f(x) = \ln(x)^2\). Bestem hvor grafen til \(f\) er konkav og hvor den er konkveks.

Løsning
For å bestemme konkavitet må vi se på fortegn til den andrederiverte.

Vi har at \[f'(x) = 2\frac{\ln(x)}{x}, \qquad f''(x) = 2\frac{1-\ln(x)}{x^2}.\]

Nevneren i \(f''(x)\) er alltid positiv, så for å bestemme fortegn er det nok å se på telleren. Da ser vi at \(f''(x)\) er positiv for \(x \in\ (0,e)\), og negativ for \(x \in (e,\infty)\). Dermed er grafen til \(f\) konveks for \(x\in (0,e)\) og konkav for \(x \in (e,\infty)\).

Problem
Bruk andregrads Taylorpolynom av funksjonen \(f(x)=\ln(x)\) om \(1\) for å approksimere \(\ln 1.3\), og gi en øvre grense for feilen.

Løsning
Den førstederiverte og den andrederiverte er gitt ved: \[f'(x) = \frac{1}{x},\ \ (f''(x) = \frac{-1}{x^2}.\]

Andregrads Taylorpolynom om \(1\) er da: \[P(x) = f(1) + f'(1)(x-1) + \frac12 f''(1) (x-1)^2 = (x-1) - \frac12 (x-1)^2.\]

Dermed blir approksimasjonen \(P(1.3) = 0.255\).

Vi kan finne et estimat for feilen ved å bruke Tayor's teorem, som sier:

\[f(1.3)-P(1.3) = \frac{f'''(s)(s-1)^3}{3!},\] der \(s\) er et tall mellom \(1\) og \(1.3\). Siden \(f'''(x) = \frac{2}{x^3}\), har vi \(|f'''(s)| < 2\) og derfor har vi \[|f(1.3)-P(1.3)| < \left|\frac{2(1.3-1)^3}{3!} \right| = 0.009.\] Vi konkluderer med at \(\ln(1.3) \in (0.246,0.264)\). Faktisk kan vi si at \(\ln(1.3) \in (0.255,0.264)\), siden vi må ha at \(f'''(s)>0\).