Integrasjon

Anta at funksjonen \(f\) er kontinuerlig og positiv på intervallet \([a,b]\), og at vi ønsker å finne arealet under grafen til \(f\).

Vi begynner med å innføre noen matematiske begreper. En partisjon \(P\) av intervallet \([a,b]\) er en endelig mengde punkter \[ P = \{ x_0, x_1, x_2, \ldots , x_n \} ,\] hvor \( a=x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_n = b\). Partisjonen deler intervallet \([a,b]\) opp i \(n\) delintervaller \[ [x_0, x_1], [x_1, x_2], \ldots , [x_{n-1}, x_n], \] hvor lengden av delintervall nummer \(i\) er \[\Delta x_i = x_i-x_{i-1} .\]

La oss nå se på et enkelt delintervall \( [x_{i-1}, x_i]\). Funksjonen \(f\) er kontinuerlig, så det finnes en maksimums- og en minimumsverdi for \(f\) på \([x_{i-1}, x_i]\) (dette følger fra ekstremalverdisetningen). Det betyr at vi kan finne to verdier, \(l_i\) og \(u_i\), i \([x_{i-1}, x_i]\) slik at \[ f(l_i) \leq f(x) \leq f(u_i) \quad \text{ når } \, x_{i-1} \leq x \leq x_i . \] Vi merker oss at arealet under grafen til \(f\) på intervallet \([x_{i-1}, x_i]\) må være større enn et rektangel med areal \(f(l_i) \Delta x_i\), men mindre enn et rektangel med areal \(f(u_i) \Delta x_i \). På hele intervallet \([a,b]\) ser vi dermed at arealet under grafen til \(f\) må være mindre enn den øvre Riemannsummen \[ U(f, P) = f(u_1) \Delta x_1 + f(u_2) \Delta x_2 + \cdots f(u_n) \Delta x_n = \sum_{i=1}^n f(u_i) \Delta x_i, \] men større enn den nedre Riemannsummen \[ L(f, P) = f(l_1) \Delta x_1 + f(l_2) \Delta x_2 + \cdots f(l_n) \Delta x_n = \sum_{i=1}^n f(l_i) \Delta x_i. \] Dersom vi beregner øvre- og nedresummer med stadig finere partisjoner \(P\) (det vil si partisjoner med flere punkter som ligger stadig tettere), forventer vi at disse Riemannsummene vil nærme seg en felles verdi, og at denne felles verdien er arealet under grafen til \(f\). Dette er også tilfellet. Vi definerer det bestemte integralet til \(f\) på intervallet \([a,b]\) som følger.

Definisjon: Det bestemte integralet
Dersom det finnes et tall \(I\) slik at \[ L(f, P) \leq I \leq U(f, P), \] for alle partisjoner \(P\) av intervallet \([a,b]\), sier vi at funksjonen \(f\) er integrerbar på \([a,b]\). Vi sier at \(I\) er det bestemte integralet til \(f\) over \([a,b]\), og med symboler skriver vi \[ I = \int_a^b f(x) dx .\]

Merk: Innledningsvis antok vi at \(f\) er en positiv og kontinuerlig funksjon, men definisjonen av det bestemte integralet er faktisk gyldig for enhver begrenset funksjon.

Følgende egenskaper ved det bestemte integralet kan være kjekke å huske på.

Teorem
Anta at funksjonene \(f\) og \(g\) er integrerbare på et intervall som inneholder punktene \(a\), \(b\) og \(c\). Da gjelder:

a) Integralet over et intervall av lengde null er null:

\[ \int_a^a f(x)dx=0.\]

b) Dersom vi bytter om integrasjonsgrensene i et integral, svarer dette til å endre fortegn i integralet:

\[\int_b^a f(x) \, dx=-\int_a^b f(x) \, dx.\]

c) Dersom \(A\) og \(B\) er konstanter, så er

\[\int_a^b \left(Af(x)+Bg(x)\right) \, dx=A\int_a^b f(x) \, dx+B\int_a^b g(x)\, dx.\]

d) Dersom \(a \leq b \leq c\), så er

\[\int_a^c f(x) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c f(x) \, dx.\]

e) Dersom \(a<b\) og \(f(x)\leq g(x)\) for alle \(x\in (a,b)\), så er

\[ \int_a^b f(x) \, dx \leq \int_a^b g(x) \, dx.\]

f) Dersom \(f\) er integrerbar, så er også \(|f|\) integrerbar, og

\[ \left| \int_a^b f(x) \, dx \right|\leq \int_a^b \left|f(x)\right| \, dx.\]

Å løse integrasjonsoppgaver ved bruk av definisjonen av det bestemte integralet kan være arbeidskrevende og strevsomt. Analysens fundamentalteorem forteller oss at integrasjon og derivasjon er motsatte regningsarter. Dette gjør at vi, i stedet for å evaluere kompliserte summer, kan løse integrasjonsoppgaver ved å finne en antiderivert til den funksjonen vi ønsker å integrere.

Analysens fundamentalteorem
Anta at \(f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}\) er kontinuerlig. Da er f integrerbar på ethvert intervall \([a,x]\) der \(a \leq x \leq b\), og funksjonen

\[F(x)=\int_a^x f(t) dt\]

er en antiderivert til \(f\) på \([a,b]\).

Korollar
Anta at \(f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}\) er kontinuerlig, og at \(G\) er en antiderivert til \(f\). Da er

\[\int_a^b f(x) dx=G(b)-G(a).\]

Fundamentalteoremet forteller oss at dersom vi skal finne integralet til funksjonen \(f\) over et intervall, så er det tilstrekkelig å finne en antiderivert til \(f\) på intervallet. Ved å tenke på regnereglene for derivasjon som regneregler for antiderivasjon, kan vi dermed utvikle nyttige integrasjonsteknikker. For eksempel gir kjerneregelen følgende teorem.

Teorem: Substitusjon i bestemte integraler
Anta at \(g\) er deriverbar på intervallet \([a,b]\). Hvis \(f\) er en kontinuerlig funksjon, så er \[\int_a^b f(g(x)) g'(x) dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) du.\]