Derivasjon

Vi ønsker at den deriverte skal gi oss informasjon om stigningstallet til grafen, som er det samme som stigningstallet til tangenten i et hvert punkt på grafen. En tilnærming til stigningstallet til tangenten til grafen kan man få ved å se på stigningstall til sekanten som starten i punktet og går til et punkt i nærheten på grafen. Altså, gitt et punkt \((x,f(x))\) på grafen der man ønsker å finne stigningstallet, så kan man bruke et punkt \((x+h,f(x+h))\) i nærheten (h er altså liten), og se på stigningstallet til sekanten som er gitt ved:

\[\left(f(x+h)-f(x)\right)/h\].

Ved å ta grenseverdien av dette stigningtallet når \(h\) går mot \(0\) får man stigningstallet til grafen for verdien \(x\).

Definisjon: Den deriverte av en funksjon
Den deriverte av en funksjon \(f\) er en funksjon \(f'\). Vi definerer \(f'\) som funksjonen som i punktet \(x\) har funksjonsverdi \( \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\). Det vil si at \[f'(x)=\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\] for alle verdier \(x\) der grenseverdien eksisterer (altså at grenseverdien er et endelig reelt tall). For alle x-verdier der \(f'(x)\) eksisterer sier vi at funksjonen \(f\) er deriverbar (eng: differentiable), og for alle andre \(x\) sier vi at \(f'\) ikke er definert.

Dersom grenseverdien over går mot uendelig for en \(x\)-verdi, så har grafen til funksjonen \(f\) en vertikal tangent i denne \(x\)-verdien. (Funksjonen \(f\) er ikke deriverbar i slike punkt).

For å kunne finne funksjonsuttrykket til den deriverte på en så effektiv måte som mulig trenger man teoremet under. For hvert teorem under har vi at dersom høyresiden eksisterer , så eksisterer også venstresiden (husk på at deriverte er definert som grenseverdier), og venstresiden er da gitt ved formelen som står oppført.

Teorem: Derivasjon av sum og produkt med konstant
\[ (f+g)'(x) = f'(x)+g'(x) \\ (Cf)'(x) = Cf'(x) \]

Teorem: Produktregelen
\[ (fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \]

Teorem:
\[ \left(\frac1f \right)'(x) = \frac{-f'(x)}{(f(x))^2}.\]

Teorem: Brøkregelen
\[ \left( \frac{f}{g} \right)'(x) = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}.\]

Teorem: Kjerneregelen
\[ (f \circ g)'(x) = f'(g(x))g'(x). \]

Under følger de viktigste deriverte:

Potensfunksjoner \[ \frac{d}{dx} x^r = rx^{r-1} \]

Eksponential- og logaritmefunksjoner \[ \frac{d}{dx} e^x = e^x \quad (e = \exp(1)) \] \[ \frac{d}{dx} a^x = \ln(a) a^x \quad (a>0) \] \[ \frac{d}{dx} \ln(x) = \frac1x \quad (x>0) \]

Trigonometriske funksjoner og inverser til disse

\[\sin'(x) = \cos x \] \[\cos'(x) = -\sin x \] \[\tan'(x) = \frac{1}{\cos^2 x} \] \[\arcsin'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \] \[\arccos'(x) = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \] \[\arctan'(x) = \frac{1}{1+x^2} \]

Implisitt derivasjon innebærer å finne deriverte ved å bruke kjerneregelen. Kjerneregelen sier at \((f \circ g)' = (f' \circ g) g'\), og dermed kan vi finne \(g'\) ved å bruke \[ g' = \frac{(f \circ g)'}{f' \circ g}, \] så lenge dette uttrykket gir mening (dvs at nevneren ikke kan være 0). Ved å generalisere dette får vi:

Metode for implisitt derivasjon
Anta at vi har en kurve \(y(x)\) som vi kun kjenner implisitt, dvs vi kun kjenner den ved ligningen \(F(x,y)=0\), der \(F(x,y)\) er en funksjon av to variable, \(x\) og \(y\). Vi ønsker å finne \(y'(x)\) i punktet \((x_0,y_0)\)( altså (\(y'(x_0)\)), der \((x_0,y_0)\) er et punkt på kurva.
For å finne \(y'(x_0)\) kan vi:

• derivere begge sider av ligningen \(F(x,y(x))\) med hensyn på \(x\)
• evaluere i punktet \((x_0,y_0)\) (Det vil si at har tallverdier for \(x_0\) og \(y_0\) som vi kan sette inn i ligningen)
• løs ligningen for \(y'(x_0)\)

I Matematikk 1 kommer vi alltid til å bruke en ligning \(F(x,y(x))=0\) som kan separeres i to, som i eksemplene. Metoden kan også brukes for andre typer ligninger på samme form som ikke kan separeres i to.

Under følger to teorem/setninger som er grunnleggende i kalkulus. Det første resultatet, middelverdisetningen, gir oss en sammenheng mellom tangentlinjer og sekanter, og den andre setningen gir oss en praktisk måte å bestemme hvilke punkt som kan være mulige ekstremalpunkt(maksimumspunkt og minimumspunkt).

Teorem: Middelverdisetningen
La \(f\) være en funksjon som er kontinuerlig på et lukka intervall \([a,b]\), og er deriverbar på det indre åpne intervallet \((a,b)\). Da finnes det et punkt \(c\) i intervallet \((a,b)\) slik at

\[\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c). \]
Med andre ord finnes det altså et punkt \(c\) der tangentlinja i punktet har samme stigningstall som sekanten mellom punkta \((a,f(a))\) og \((b,f(b))\).

Teorem: Teoremet om kritiske punkt
La \(f\) være en deriverbar funksjon som er definert på et åpent intervall \((a,b)\), og som har et ekstremalpunkt \((c,f(c))\) for en \(c\) i det åpne intervallet \((a,b)\). Da er \(f'(c)=0\).

(Husk at punkt der \(f'(x)=0\) blir kalt kritiske punkt.)