• Mandager 15:15-17:00 i R1
• Onsdager 14:15-16:00 i R7

Jeg har reservert R9 for oppgaveregning etter forelesning på Onsdagene. Dette betyr at hvis vi skal diskurere noe spørsmål eller oppgaver rett etter forelesning på Onsdag, kan vi fortsette diskusjonene i R9 om ønskelig.

R1 på Mandager er ledig kl 17 til kl 18 vanligvis. Rommet er foreløpig ikke reservert til oss, men jeg tenker at vi kan likevel bruke rommet fram til kl 18:00 (ihvertfall som en midlertidig ordning) om det viser seg å være nyttig å diskutere faget i mindre grupper etter forelesning.

Elena Celledoni

Treffetid og -sted: Kl 16-17 Onsdager i forbindelse med Mattelab i S8. Med mindre det gis beskjed om noe annet.

Onsdag 3. September treffetid i R9.

Onsdag 10. September og Onsdag 17. September er treffetid avlyst.

Mathias Breistein Industriell Økonomi

Thomas Gjedebo Industriell Økonomi

Nora P. Gjertsen Industriell Design

Greatania Juardi Produktutvikling og produksjon.

Øyvind Vikestad Aarø Produktutvikling og produksjon.

Mari Vassdokken Sigstad Marin Teknikk

Se her for informasjon om referansegruppeordningen. Vi trenger studenter som representerer medstudenter i referansegruppe. Hvis du er villig, vennligst ta kontakt med faglærer ( Elena). Det bør være minst en representat for hver linje.

Grafer av funksjoner

The tangent line problem. Stigningstallet til tangenten som grenseverdi til stigningstallet til sekanten til f mellom (x,f(x)) og (x+h,f(x+h)).

Morsomt video om trigonometriske funksjoner

Funksjonen er \[f(x)=\sqrt{x}\] oppgaven spør at vi approksmere funksjonen med Taylorpolynomet av grad 2 rundt x=64 og bruke den til å approksimere kvadratroten av 61. Så må vi estimere feilen ved bruk av feilfunksjonen for Taylorpolynom og finne den minste intervallet vi kan som innholder roten av 61 (basert på vår estimat). Vi har \[P_2(x)=8+\frac{1}{16}(x-64)-\frac{1}{8^4}(x-64)^2,\quad P_2(61)=8-\frac{3}{16}-\frac{9}{8^4}=7.810302734375000\] og \[E_2(x)=\frac{1}{16}\frac{1}{s^{5/2}}(x-64)^3, \quad s\in(61,64),\] og \[ E_2(61)=-\frac{27}{16}\frac{1}{s^{5/2}},\quad s\in(61,64).\] Nå funksjonen \[\frac{1}{s^{5/2}},\quad s\in(61,64)\] er avtagende og oppnår sin maksimum i 61 og sin minimum i 64, så \[-\frac{27}{16}\frac{1}{61^{5/2}}< E_2(61)< -\frac{27}{16}\frac{1}{64^{5/2}}.\] Da må \[\sqrt{61}\in(P_2(61)-\frac{27}{16}\frac{1}{61^{5/2}},P_2(61)-\frac{27}{16}\frac{1}{64^{5/2}})\] og med tall dette blir \[7.810249675906654=\sqrt{61}\in(7.810244668738105, 7.810251235961914).\]

Finn grensen \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^3}.\]

Løsning Vi bruker variabelen \[y=\frac{1}{x}\] da \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^3}=\lim_{y\rightarrow \infty}e^{-y^2}\,y^3\] Vi bruker nå Teorem 5 (a) fra kap 3.4 og vi får

\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^3}=\lim_{y\rightarrow \infty}e^{-y^2}\,y^3=0.\]

Finn grensen \[ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{2\tan(2x)-4x}{2x^3}\]

Løsning For å finne grensen bruker vi Taylor formelen for \[f(x)=\tan(2x).\] Taylor formelen: \[f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\mathcal{O}(x^4).\] In our case we have \[f(0)=0,\quad f'(0)=(2+2\tan(2\cdot 0)^2),\quad f''(0)=4\tan(2\cdot 0)(2+2\tan(2\cdot 0)^2),\quad f'''(0)=4(2+2\tan(2\cdot 0)^2)^2+16\tan(2\cdot 0)^2(2+2\tan(2\cdot 0)^2)\] \[f(0)=0,\quad f'(0)=2,\quad f''(0)=0,\quad f'''(0)=16\] da \[2\tan(2x)-4x=2(2x+\frac{16}{6}x^3+\mathcal{O}(x^4))-4x=\frac{16}{3}x^3+\mathcal{O}(x^4)\] Og så \[ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{2\tan(2x)-4x}{2x^3}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{16}{3}x^3+\mathcal{O}(x^4)}{2x^3} =\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{8}{3}+\mathcal{O}(x))=\frac{8}{3}\]

Vi skal bevise at \[1=\log_a x\cdot \log_x a.\]

Vi bruke definisjon av logaritme og får at

\[x=a^{\log_a x},\qquad a=x^{\log_x a},\] vi setter inn uttrykket for \[a=x^{\log_x a}\] i uttrykket for \[x=a^{\log_a x}.\] Vi får \[x=\left( x^{\log_x a} \right)^{\log_a x}=x^{\log_x a\cdot \log_a x}\] og det må til sluttt være at \[1=\log_x a\cdot \log_a x.\]

Finn en funksjon \[f\] som tilfredstiller \[x=f(x+4).\]

For å løse dette setter vi \[u=x+4\] da blir \[u-4=x\] og \[u-4=f(u-4+4)=f(u).\] Slik at vi får \[f(x)=x-4.\]

MTMART har eget Teknostart på Tyholt.