Prosjekt- og masteroppgaver tilbudt av Helge Holden

Kontaktinfo

Over en lengre periode er det studert en rekke ikkelineære partielle differensialligninger. Spesiell vekt har vært lagt på hyperbolske konserveringslover som bl.a. uttrykker massebevaring i kontinuerlige mekaniske systemer. En hovedteknikk har vært frontfølgingsmetoden.

En rekke anvendelser har vært studert. Figuren nedenfor viser et sjokk som kommer inn fra venstre og treffer en gassboble med lavere tetthet.

En rekke oppgaver er her mulig med varierende fokus hva angår vanskelighetsgrad og bruken av numeriske hjelpemidler.

• Trafikkmodellering. En vanlig modell for tett trafikk er hyperbolske konserveringslover (et vanlig eksempel, f.eks. i Matematisk modellering). Her er den ukjente tettheten til kjøretøyene. Dette kan utvides til en modell som gjelder et nett av veier, f.eks. i en bykjerne. Oppgaven går ut på å lage et simuleringsverktøy for en matematisk modell i dette tilfellet. En annen modell for trafikk er å modellere hvert enkelt kjøretøy, f.eks. ved å si at hastigheten til et kjøretøy er avhengig av avstanden til kjøretøyet rett foran – jo tettere trafikken er, jo langsommere kjører man. Et problem er å studere hvordan denne modellen blir når antall kjøretøyer øker kraftig – vil da denne modellen gå over til en kontinuerlig modell der man studerer tettheten til kjøretøyene heller enn individuelle kjøretøy? Oppgaven blir å studere problemer i denne retningen.
• Frontfølger. Det er utviklet flere frontfølgingsimplementasjoner, se f.eks. Holden and Risebro: "Front Tracking for Hyperbolic Conservation Laws" for å løse hyperbolske konserveringslover. Felles for disse er at det må lages en Riemann-løser for den konkrete ligningen som skal løses. Oppgaven går ut på å lage en slik Riemann-løser for ulike ligninger.
• Høyere ordens frontfølging. Tradisjonelt er frontfølging en førsteordens metode. Imidlertid kan den forbedres til en annenordens metode. Minst to mulige oppgaver fins innen dette området: For det første kan man studere første- og andreordens metodene teoretisk på enklere skalare ligninger i en dimension. Alternativt kan man implementere metodene på de fulle Euler-ligningene for gassdynamikk i to eller tre dimensjoner og sammenligne dem numerisk på noen modelleksempler.
• Ikkelineær variasjonsbølgeligningen. Denne ligningen har formen \[ \large u_{tt} - c(u)(c(u)u_x)_x = 0 \] der u er den ukjente funksjonen og c(u) er en kjent funksjon. Ligningen brukes som en modell for flytende krystaller. Dersom c(u) er konstant, får vi den vanlige bølgeligningen. Men for andre valg av c(u) er denne ligningen, som på engelsk heter "the nonlinear variational wave equation", mye mer komplisert. Oppgaven går ut på å studere noen klasser av løsninger, og se på både analytiske og numeriske egenskaper.
• Bølger mot en strand. Bølger som bryter og slår mot en strand er et komplisert fenomen. Oppgaven går ut på å gjøre et litteraturstudium av fenomenet og programmere og utteste ulike numeriske metoder.
• Gasstrøm i rør. En viktig anvendelse er å kunne modellere gasstrøm i rør. Fordelen er at modellene ofte kan tilnærmes som endimensjonale, og det gjør både den matematiske og numeriske behandlingen enklere.