MA1101 Grunnkurs i analyse I

Pensum er de deler av læreboken som blir listet i fremdriftsplanen, alle øvinger, og forelesningene. Endringer kan forekomme. Listen nedenfor er foreløpig og ment som en veiledning for den som ønsker lese i forkant. For repetisjon, anbefalles i første rekke å repetere øvinger og forelesninger. Når man regner gamle eksamen, bør man se på oppgaver over mange år (kikk eventuelt også på MA1102 for Taylor og andre oppgaver som har variert mellom emnene i løpet av årene). Det gis normalt ikke separat formelark på eksamen: de viktigste formlene er nevnt nedenfor.

• Mengder og operasjoner på mengder.
• Mengdene \(\mathbb N\), \(\mathbb Z\), \(\mathbb Q\), \(\mathbb R\).
• Intervaller (åpne, lukkede, halvåpne), avstand, begrensninger (skranker), supremum, infimum.
• Kompletthetsaksiomet for reelle tall.
• Triangelulikheten.

• Følger \((x_j)_{j \in {\mathbb N}}\).
• Limesbegrepet for følger, endelige og uendelige grenseverdier.
• Endelige grenseverdier for reelle funksjoner: \(f(x) \to L\) når \(x \to x_0\) via følger, henholdsvis via \(\varepsilon/\delta\).
• Uendelige grenseverdier for reelle funksjoner, og grenseverdier i uendeligheten.
• Begrepene konvergens, divergens.
• Regneregler for grenseverdier; skviseteoremet.
• Kontinuitet for reelle funksjoner; venstre- og høyrekontinuitet.
• Deriverte, høyre- og venstrederiverte.
• Uniform kontinuitet
• Produkt-, kjerneregeln (og grunnleggende regler derivasjonsregler for summer, kvoter og sammensetninger av elementære funksjoner).
• L'hôpital's regel

• Endelig summasjon.
• Teleskoperende summer.
• Summen \(\sum_{j=1}^n j = \frac{n(n+1)}{2}\) (inklusive noen bevisteknikk for slike summer).
• Rekker \(\sum_{j \in {\mathbb N}} a_j\) og deres delsummer \(s_n = \sum_{j = 1}^n a_j\).
• Divergens av den harmoniske rekken.
• Geometriske summer og potensrekker.

• Funksjonsbegrepet. Definisjonsmengde (domene) og naturlig definisjonsmengde, målmengde (kodomene) og verdimengde (bilde).
• Injektivitet, surjektivitet, og bijektivitet. Begrepet omvendt funksjon.
• Ekstremalverdisetningen.
• Skjæringsetningen.
• Kontinuitet til deriverbare funksjoner.
• Middelverdisetningen
• Omvendte funksjonsetningen
• Lineariseringen til en funksjon i punktet \(x_0\) i retning \(h\).
• En variant av Taylor's setning. Begrepet Taylorpolynom.
• Første- og andrederivertetesten, ekstremalverdiproblemer på begrensede og ubegrensede intervall.
• Tangenten og normalen til en funksjon (til grafen av en funksjon) i et punkt \(x_0\).
• Asymptoter til funksjoner; graffremstilling.

• De trigonometriske funksjonene \(\sin\), \(\cos\), \(\tan\), \(\arcsin\), \(\arccos\), \(\arctan\): domene, bilde og deriverte.
• De hyperbolske funksjonene \(\sinh\), \(\cosh\), \(\tanh\): domene, bilde og deriverte.
• Eksponensialfunksjonen \(\exp \colon x \mapsto e^x\): domene, bilde og deriverte. Taylorrekke og differensiallikning \(f' = f\), \(f(0) = 1\).
• Den naturlige logaritmen \(\ln\): domene, bilde og deriverte.
• Regneregler for potenser og (naturlige) logaritmer.
• Formlene \(\sin(2x) = 2 \sin (x) \cos(x)\), \(\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}\), \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\), \(\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1\).
• Verdier for \(\sin(x)\) og \(\cos(x)\) i \(x = \frac{n\pi}{4}\), \(n \in \mathbb{N}\).
• Omvendte transcendentale funksjoner, spesielt \(\mathrm{asin}\), \(\mathrm{atan}\) og \(\mathrm{asinh}\) som brukes ved integrasjon.
• Grenseverdier ('hastigheter') i origo og uendeligheten av kvotienter med \(\ln\), \(\mathrm{exp}\), \(\sin\) og polynomer.
• Å kjenne igjen Taylorutviklingene til \(\sin\), \(\cos\) og \(\mathrm{exp}\) i origo.

• Middelverdisetning for integraler.
• Analysens fundamentalteorem.
• Integrerbarhet til (stykkevis) kontinuerlige funksjoner.
• Middelverdien \(\bar f\) til en funksjon over et intervall \([a,b]\).
• Variabelskifte i integraler (obs. at såkalt omvendt substitusjon bare er en variant av vanlig substitusjon).
• Delvis integrasjon.
• Delbrøksoppspaltning. Kunne hantere termer av typen\( \frac{P(x)}{(x-a)^2(x-b)((x-c)^2 + d)}\) for noe polynom \(P\).
• Å kunne integrere integrander med faktorer av typen \(a \pm bx^2\) og \(\sqrt{a \pm bx^2}\) i nevner.
• Uegentlige integraler (ubegrensete intervaller).
• Numerisk integrasjon: grunnleggende kjennskap til trapezoid- og Simpson's regel, å kunne utføre dem ved hjelp av formel.

• Klassifisering av første ordens ordinære differensiallikninger: (ikke)separable, (ikke)homogene.
• Partikulærløsning og homogen løsning. Å kunne løse ved integrerende faktor og ved separasjon av variabler. Å kunne løse noen likninger som ikke direkte passer inn i systemene (se øvinger).
• Å forstå forskjellen mellom, og kunne håndtere, initialverdiproblemer og differensiallikninger uten initialverdier.

• Preliminaries
• 1.2–1.5
• 2.2–2.10 (første to avsnitt i 2.10)
• 3.1, 3.2 (kursorisk), 3.3–3.6
• 4.1, 4.3–4.6, 4.8 (kursorisk), 4.9–4.10
• 5.1, 5.3 (kursorisk), 5.4, Thm 5 i 5.5, 5.6, 5.7 (å kunne regne areal fra integraler).
• 6.1–6.3, 6.5–6.7 (grunnleggende kjennskap til trapes- og Simpson's metode).
• 7.9
• 9.1
• 18.1, 18.2
• Appendix III, IV