Integrasjonsteknikker

Delvis integrasjon er i bunn og grunn en omskriving av produktregelen for derivasjon. Anta at \(u,v\) er to deriverbare funksjoner. Da har vi

\[(u(x)v(x))'=u(x)v'(x)+v(x)u'(x).\]

Ved å flytte over ledd og så integrere på begge sider av ligningen får vi da

\[\int u(x)v'(x)\mathrm{d}x=uv-\int v(x)u'(x)\mathrm{d}x.\]

Enhver rasjonal funksjon \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) har en antiderivert. Trikset for å finne den antideriverte er å skrive om den rasjonale funksjonen ved å bruke polynom av lavere grad.

Teorem: Delbrøksoppspaltning (Forenklet versjon)
Anta at polynomet \(P\) har lavere grad enn polynomet \(Q\) (Dersom dette ikke er tilfelle, utfør polynomdivisjon). Dersom \(Q\) er på formen \(Q(x) = (x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_n)\), dvs et produkt av \(n\) distinkte lineære faktorer, så finnes det konstanter \(A_1,\ldots,A_n\) slik at \[\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{A_1}{(x-a_1)}+\frac{A_2}{(x-a_2)}+\cdots+\frac{A_n}{(x-a_n)}.\]

Substitusjon er en metode er vi substituerer (bytter ut) en funksjon av \(x\) med en ny enkeltvariabel \(u\). Målet med dette er å oppnå et uttrykk som er enklere å integrere. Invers substitusjon går ut på å substituere en enkeltvariabel med en funksjon av en ny variabel. Målet er å få integranden på en form der vi kjenner den antideriverte fra før, eller nære nok en antiderivert til at vi kan klare å løse integralet ved hjelp av ytterligere integrasjonsteknikker. De viktigste inverse substitusjonene er trigonometriske funksjoner.

Inverse sinussubstitusjon:

La \(a>0\) og \(x \in (-a,a)\). Uttrykket \(\sqrt{a^2-x^2}\) kan forenkles ved å bruke substitusjonen \(x=a\sin{\theta}\), som gir

\[\sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{a^2(1-\sin^2\theta)}=a\cos\theta,\]

for \(\theta \in (-\pi/2,\pi/2)\).

Inverse secantsubstitusjon:

La \(a>0\) og \(x \in (-\infty,-a) \cup (a,\infty)\). Uttrykket \(\sqrt{x^2-a^2}\) kan forenkles ved å bruke substitusjonen \(x=a\sec\theta\), som gir

\[\sqrt{x^2-a^2} = a \sqrt{\sec^2\theta-1} = a \left| \tan\theta \right| \]

for \(\theta \in (-\pi/2,\pi/2)\) som er slik at uttrykket under rottegnet er positivt.

Inverse tangentsubstitusjon:

Uttrykkene \(\sqrt{a^2+x^2}\) og \(\frac{1}{x^2+a^2}\) kan forenkles ved subsititusjoen \(x=a\tan\theta\), som i de respektive tilfellene gir:

\[\sqrt{a^2+x^2} = a\sec\theta, \qquad \frac{1}{x^2+a^2} = \frac{\cos^2\theta}{a^2}, \]

Substitusjonene kan brukes for \(a>0\) og \(\theta \in (-\pi/2,\pi/2)\).

\(\tan(\theta/2)\)-substitusjonen:

Enhver rasjonal funksjon av \(\sin(\theta)\) og \(\cos(\theta)\) kan skrives om til en rasjonal funksjon av \(x\) ved å bruke substitusjonen \(x = \tan(\theta/2)\).

Ubestemte koeffisienters metode
I mange tilfeller kan man ved å se på integranden si hvilken klasse av funksjoner den antideriverte må tilhøre. For eksempel vet vi at antideriverte av polynom et polynom av grad \(n\) er et polynom av grad \(n+1\), og at den antideriverte av en eksponentialfunksjon er en eksponentialfunskjon også. (I de fleste tilfeller der man kan benytte denne metoden er oftest også mulig å løse integralet ved å bruke andre kjente integrasjoneteknikker, men ubestemte koeffisienter kan noen ganger være raskere).

Integrasjonstabeller
Dette er lister over kjente ubestemte integral (se for eksempel Rottman).

Algebraiske dataprogram
Maple, MATLAB (med Symbolic Math Toolbox) og WolframAlpha kan alle beregne de fleste ubestemte integral.

Tidligere har vi deivert Riemannintegraler for begrensa funksjoner på begrensa intervall. I praksis viser det seg at man også trenger å kunne regne ute integral der enten integranden eller integrasjonintervallet ikke er begrensa. Dette gjør vi ved å regne ut såkalte uegenlige (eller uekte) integral, som vi skal definere som grenseverdier av vanlige integral.

Definisjon: Uegentlig integral av type I
Dersom \(f\) er kontinerlig på \([a,\infty)\) definerer vi det uekte integralet av \(f\) på intervallet \([a,\infty)\) som

\[ \int_a^{\infty}f(x)dx=\lim_{R\to \infty}\int_a^R f(x)dx.\]

Vi sier at integralet eksisterer dersom grenseverdien eksisterer(dvs. at grenseverdien er et endelig tall). Integral over intervall på formen \((-\infty,b]\) defineres på lignende måte.

Vi definerer også \[ \int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx= \lim_{a \to -\infty} \int_a^0 f(x)dx + \lim_{b \to \infty} \int_0^b f(x)dx,\] som betyr at integralet til venstre er definert dersom begge grenseverdiene til høyre eksisterer.

Definisjon: Uengentlige integral av type II
Dersom \(f\) er kontinuerlig på intervallet \((a,b]\) og ikke begrenser nær \(a\) definerer vi det uegentlige integralet av \(f\) som

\[\int_a^b f(x)dx=\lim_{c\to a^+}\int_c^bf(x)dx.\]

Tilfellet der \(f\) er integrervar på intervallet \([a,b)\) og ikke er begrenset nær \(b\) er definert på tilsvarende måte ved å bruke grenseverdien fra venstre.

Noen uegentlige integral som er greit å kunne utenatt.

Teorem: p-integral
Dersom \(a > 0\), så har vi at

\[\begin{aligned} (a) \quad \int_a^{\infty}x^{-p}dx \quad \begin{cases} \mbox{konvergerer mot } \frac{a^{1-p}}{p-1} & \mbox{if } p>1, \\ \mbox{divergerer mot } \infty & \mbox{if } p \le 1. \end{cases}\\ (b) \quad \int_0^ax^{-p}dx \quad \begin{cases} \mbox{konvergerer mot } \frac{a^{1-p}}{p-1} & \mbox{if } p<1, \\ \mbox{divergerer mot } \infty & \mbox{if } p \ge 1. \end{cases}\\ \end{aligned}\]

Ofte er vi ikke interesserte i den eksakte verdien til et uegentlig integral, men er heller interessert i om det konvergerer eller divergerer. Det neste teoremet er nyttig i slike tilfeller, og bruker ofte sammen med teoremet over.

Teorem: Et sammenligningsteorem for integral
La \(-\infty \le a < b \le \infty\). Anta at \(f\) og \(g\) er kontinuerlige på intervallet \((a,b)\) og at vi har \(0 \le f(x) \le g(x)\) over dette intervallet. Dersom \(\int_a^b g(x) dx\) konvergerer,så konvergerer også \(\int_a^b f(x) dx\)

\[ \int_a^b f(x) dx \le \int_a^b g(x) dx. \]

Noen ganger er det ikke mulig å finne en antiderivert av integranden uttrykkt ved kjente funksjoner; for eksempel er det ikke mulig å finne en formel for \(\int \sin(x^2) dx\). Det lar seg likevel gjøre å finne nøyaktige og effektive numeriske metoder for å approksimere \(\int \sin(x^2) dx\), gitt reelle tall \(a\) og \(b\).

De tre numeriske metodene som følger bruker alle samme strategi. Gitt en funskjone \(f\) på et intervall \([a,b]\), del intervallet \([a,b]\) opp i \(n\) delintervall av lik lengde, (altså lengde \(h=(b-a)/n\)), og anta at funksjonsverdien av \(f\) er kjent i punkta \(x_0=a, x_1=a+h,\ldots, x_n=a+nh\). Ideen er da å approksimere \(f\) på hvert delintervall med en enklere funksjon. Forskjellen på de tre metodene er hva slags funksjoner de bruker til å approksimere \(f\) med på delintervallene.

Definisjon: Trapesregelen (lineærapproksimasjon)
La \(f\) være en begrenset funskjon på intervallet \([a,b]\). Vi deler intervalelt \([a,b]\) inn i \(n\) delintervall av lik lengde, si lengde \(h=(b-a)/n\), og vi antar at veriden til \(f\) er kjent i punkta \(x_0=a, x_1=a+h,\ldots, x_n=a+nh\). Det neste steget er å approksimere \(f\) ved lineære interpolasjon mellom punkta i planet\((x_i,f(x_i))\). Dette gir et trapes over hvert delintervall med hjørner\((x_{i-1},0)\), \((x_{i-1},f(x_{i-1}))\), \((x_i,f(x_i))\) og \((x_i,0)\). Vi bruker arealformelen for trapes og får:

\[\int_a^b f(x)\mathrm{d}x \simeq h\left(\frac{f(x_0)+f(x_1)}{2}+\ldots+\frac{f(x_{n-1})+f(x_n)}{2}\right).\]

Definisjon: Midtpunktsregelen (Approksimasjon med konstantfunksjon)
På hvert delintervall \([x_{i-1},x_i]\) lar vi konstanten \(f(m_i)\) approksimere \(f\), der \(f(m_i)\) er gitt ved \(m_i = (x_{i-1}+x_i)/2\):

\[\int_a^b f(x)\mathrm{d}x \simeq h\left( f(m_1)+f(m_2)+\cdots+f(m_n) \right).\]
Definisjon: Simpson's reglen (approksimasjon ved kvadratisk funksjon)
Denne metoden krever at tallet på delintervall \(n\) er et partall. Gitt et partall antall delintervall, kan vi ved å slå sammen to og to intervall inntil hverandre få \(n/2\) større delintervall av lengde \(2h\) og med \(3\) kjente funksjonsverdier på hvert av de sammenslåtte delintervallene. På hvert delintervall approksimerer vi da \(f\) med den unike kvadratiske funksjonen som går igjennom dissse tre punktene. Dette gir Simpsons's reglen

\[\int_a^b f(x)\mathrm{d}x \simeq h\left( f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+\cdots+ 2f(x_{n-1})+f(x_{n}) \right),\] der odde indekser har koeffisient \(4\), partallsindekser har koeffisient \(2\), og endepuntene har koeffisient \(1\).

Til slutt så må det nevnes at en numerisk approksimasjon ikke er bedre enn feilestimatet. I boka finnes det teorem som gir presise estimat for feilen i integrasjonsmetodene presentert her.