Anvendelser av derivasjon

I mange ligninger vil det være flere størrelsen som avhenger av same variable (flere størrelser kan f.eks. være avhengige av tiden, eller f.eks radius i en kule). Hvor fort disse størrelsene endrer seg med hensyn på f.eks tiden eller radius er da ikke uavhengig av hverandre, men kobla sammen. Hvordan de er kobla sammen finner vi ut ved å derivere den opprinnelige ligningen med hensyn på den variablen størrelsen avhenger av (f.eks deriverer vi med hensyn på tiden).

Metode for kobla hastigheter
Anta at vi har to ulike størrelsen \(A=A(t)\) og \(B=B(t)\) som begge er avhengige av tiden \(t\), og at vi har en ligning hvor begge størrelsene inngår, \(F(A(t)),B(t))=0\). Dersom \(A'(t)\) er kjent, men du ønsker å finne \(B'(t)\), så kan dette oppnåes ved å derivere ligningen \(F(A(t),B(t))=0 \) implisitt med hensyn på \(t\), dvs finne \( \frac{d}{dt} F(A(t),B(t)) = 0 \). Dette vil være en ligning i \(A'(t)\) og \(B'(t)\), og kan derfor løses for \(B'(t)\).

I anvendelser av matematikk har man ofte bruk for å løse ligninger som ikke kan løses analytisk. Da må man ofte ty til numeriske metoder for å finne tilnærmede løsninger. En av de mest kjente er Newton's metode.

Newton's metode
Anta at vi vil finne en rot (rot=løsning av ligningen) av ligningen \(f(x)=0\). Velg et tall \(x_0\), og se på sekvensen \[x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.\] Dersom \(x_n\) går mot et tall \(r\) når \(n \to \infty\), så vil \(f(r)=0\) (i alle fall dersom \(f/f'\) er kontinuerlig i punktet \(r\).

Dersom \(\lim f(x) = L\) og \(\lim g(x) = M\) så vet vi fra regneregler for grenseverdier at så lenge \(M \neq 0\), så har vi at \(\lim f(x)/g(x) = L/M\). Videre så er det kjent at dersom \(M=0\) og \(l \ neq 0\) så er grenseverdien av typen \(\pm \infty\). Hva skjer så dersom både \(M=0\) og \(L=0\)? Da er grenseverdien på forma "0/0" og dette er et av flere uttrykk som man kaller en ubestemt form (indeterminate form på engelsk). Noen tilfeller av grenseverdier på denne forma seg regne ut relativt lett, for eksempel ved å faktoriserer både teller og nevner, videre skal vi studere en metode som kan hjelpe oss å finne enda flere grenseverdien av ubestemt form.

Teorem: L'Hôpital's første regel
Anta at \(f\) og \(g\) er deriverbare på intervallet \((a,b)\). Anta videre også at \[\begin{align} & (i) \quad \lim_{x \to a+} f(x) = \lim_{x \to a+} g(x) = 0, \\ & (ii)\quad \lim_{x \to a+} \frac{f'(x) }{g'(x)} = L. \end{align}\] Da er \[\lim_{x \to a+} \frac{f(x)}{g(x)} = L. \] Vi har det samme resultatet dersom grensa er en vanlig to-sidig grense, eller dersom grensa er en-sidig fra venstre, eller dersom det er grensen når \(x\) går mot uendelig.

Den andre reglen tar for seg ubestemt form av typen "\(\infty/\infty\)".

Teorem: L'Hôpital's andre regel
Anta at \(f\) og \(g\) er deriverbare på intervallet \((a,b)\). Anta videre også at \[\begin{align} & (i) \quad \lim_{x \to a+} g(x) \pm \infty, \\ & (ii)\quad \lim_{x \to a+} \frac{f'(x) }{g'(x)} = L. \end{align}\] Da er \[\lim_{x \to a+} \frac{f(x)}{g(x)} = L. \] Tilsvarende resultat holder også for to-sidige grenser, ensidige grenser fra venstre og grenseverdier der \(x\) går mot uendelig.

Når man prøve å evaluere en grenseverdi treffer man ofte på ubestemte former av typen \(0^0\) eller \(0 \cdot \infty\). Da er strategien å skrive om grenseverdien til en av de ubestemte formene \(0/0\) eller \(\infty/\infty\) og bruke en av reglene over.

Vi må først definere hva vi mener med globale og lokale ekstremalverdier. Definisjonene under er for maksimum; tilsvarende definisjoner finnes for minimum.

Definisjon: Absolutt maksimumsverdi
En funksjon \(f\) har en absolutt maksimumsverdi \(f(x_0)\) i punktet \(x_0\) dersom \(x_0\) er i domenet til \(f\) og \(f(x) \le f(x_0)\) for alle \(x\) \(f\).

Definisjon: Lokal maksimumsverdi
En funksjon \(f\) har en lokal maksimumsverdi \(f(x_0)\) i punktet \(x_0\) dersom det eksisterer et tall \(h>0\) slik at \(f(x) \le f(x_0)\) for alle \(x\) i domenet til \(f\) som oppfyller \(|x-x_0|<h\).

Vi husker at et punkt \(x_0\) kalles et kritisk punkt for funksjonen \(f\) dersom \(f'(x_0)=0\). Videre definerer vi et sigulært punkt til å være et punkt \(x\) i domenet til \(f\) der funksjonen \(f'(x)\) ikke er definert. Neste resultat bruker denne terminologien til å karakterisere i hvilke punkt det kan forekomme (lokale) ekstremalverdier.

Teorem: Ekstremalverdier
Dersom funksjonen \(f\) er definert på et intervall \(I\) og har et lokalt maksimum eller et lokalt minimum i eit punnkt \(x_0\) så er \(x_0\) enten et kritisk punt, et singulært punkt eller et endepunkt i intervallet \(I\).

Resultatet over forteller oss hvike punkt vi må sjekke dersom vi leter etter ekstremalverdiene til en funksjon, men det gir oss ingen eksakte regler for hvilke punkt som er maksimumspunkt, hvilke som er minimumspunkt osv. Neste teorem gir oss litt mer informasjon å gå etter. Teoremet står skrevet for maksimumsverdier, men holder på samme måte for minimumsverdier.

Teorem : Førstederiverttesten for maksimum
DEL I. Testing av indre kritiske punkt og singulære punkt.
Anta at \(f\) er kontinuerlig i punktet \(x_0\), og at \(x_0\) ikke er et endepunkt i domenet til \(f\).
(i) Dersom det finnes et åpent intervall \((a,b)\) som inneholder \(x_0\) og som er slikt at \(f'(x)>0\) på intervallet \((a,x_0)\) og \(f'(x)<0\) på intervallet \((x_0,b)\) da har \(f\) et lokatl maksimum i punket \(x_0\).

DEL II. Testing av endepunkt.
Anta at \(a\) er venstre endepunkt i domenet til \(f\) og at \(f\) er høyrekontinuerlig i \(a\).
(ii) Dersom \(f'(x)<0\) for et eller annet intervall \((a,b)\), så er \(a\) er lokalt maksimum.

Anta at \(b\) er høyre endepunkt i domenet, og at \(f\) er venstrekontinuerlig i \(a\).
(iii) Dersom \(f'(x)>0\) for et eller annet intervall \((a,b)\), så er \(b\) et lokalt maksimum.

Vi har sett at gitt en funksjon \(f\) som er deriverbar i eit punkt \(a\), så er lineariseringen \(L(x)=f(a)+f'(a)\) en god lineær tilnærming av funksjonen \(f\) nær punktet \(a\). Legg merke til at \(L(a)=f(a)\) og også at \(L'(a)=f'(a)\). Et naturlig spørsmål er da hvor god tilnærming til funksjonen \(f\) vi kan oppnå om vi tillater polynom av høyere grad med tilsvarende egenskap, nemlig at n'te deriverte av polynomet i punktet \(a\) er lik n'te deriverte av funksjonen i punket \(a\). Vi kaller polynom med disse egenskapene Taylorpolynom.

Taylorpolynom
Anta at \(f\) er n ganger deriverbar i punktet \(a\). Taylorpolynomet til f av grad n om punktet a er da gitt ved

\[P_n(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n.\] \(P_n\) er det unike polynomet av grad høyst \(n\) som er slik at \(f(a) = P_n(a), \ f'(a) = P_n'(a), \ldots ,f^{(n)}(a) = P^{(n)}(a).\) \(P_1\) er lineariseringen av \(f\) om punktet \(a\).

Følgende teorem gir et presist estimat av hvor godt et Taylorpolynom rundt \(a\) approksimerer en funksjon nær \(a\).

Teorem: Taylor's teorem
Dersom den \((n+1)\) deriverte \(f^{(n+1)}\) er definert for alle \(t\) i et intervall som innholder \(a\) og \(x\), så er feilen \(E_n(x) = f(x)-P_n(x)\) gitt ved \[E_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(s)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\] for et tall \(s\) mellom \(a\) og \(x\).