Forelesninger
Her finner du en direktelenke til videoopptakene fra hver forelesning, sammen med en liste over de viktigste temaene som dekkes i den forelesningen.
| Dato | Video | Tema | Stikkord |
|---|---|---|---|
| 23. august | Tirsdag 23.08 del 1 Tirsdag 23.08 del 2 | Komplekse tall og funksjoner (1.1–1.4 i A&G) | - Komplekse tall - Det komplekse plan - Komplekse funksjoner (med vekt på geometrisk fortolkning av avbildninger av områder i det komplekse plan) |
| 26. august | Fredag 26.08 del 1 Fredag 26.08 del 2 | Rekker av komplekse tall og noen grunnleggende funksjoner (1.5–1.7 i A&G; se Krantz 9.3 som et bedre alternativ til 1.6–1.7) | - Konvergens av følger og rekker av komplekse tall - Eksponentialfunksjonen (definert som potensrekke) - Trigonometriske funksjoner (definert som potensrekker) |
| 30. august | Tirsdag 30.08 del 1 Tirsdag 30.08 del 2 | Den komplekse logaritmen; områder i det komplekse plan (1.8, 2.1 i A&G) | - Den komplekse logaritmen - Åpne mengder - Sammenhengende mengder - Områder i det komplekse plan |
| 2. september | Fredag 02.09 del 1 Fredag 02.09 del 2 | Grenser og kontinuitet (2.2 i A&G) | - Definisjon av \(\lim_{z\to z_0}f(z)\) - Kontinuerlige funksjoner - Eksempler på kontinuerlige funksjoner - Hevbare og ikke-hevbare diskontinuiteter |
| 6. september | Tirsdag 06.09 del 1 Tirsdag 06.09 del 2 | Analytiske funksjoner (2.3 i A&G) | - Definisjon av analytiske funksjoner - Grunnleggende regneregler - Eksempler på analytiske og ikke-analytiske funksjoner - Lineær approksimasjon - Kjerneregel |
| 9. september | Fredag 09.09 del 1 Fredag 09.09 del 2 | Cauchy–Riemann-ligningene (2.4–2.5 i A&G) | - Analytiske funksjoner og Cauchy–Riemann-ligningene; sammenheng mellom deriverbarhet i kompleks og reell forstand - Bakgrunn fra flerdimensjonal analyse: Deriverbare funksjoner i to reelle variable - Eksempler på bruk av Cauchy–Riemann-ligningene |
| 13. september | Tirsdag 13.09 del 1 Tirsdag 13.09 del 2 | Komplekse linjeintegral (3.1–3.2 i A&G) | - Kurver, parametriserte kurver, veier, lukkede veier - Det komplekse linjeintegralet definert ved hjelp av Riemann-integralet - Grunnleggende egenskaper til det komplekse linjeintegralet |
| 16. september | Fredag 16.09 del 1 Fredag 16.09 del 2 | Regning med komplekse linjeintegral; antideriverte og uavhengighet av integrasjonsveien (3.2–3.3 i A&G) | - Buelengde; \(ML\)-estimat av komplekse linjeintegral - Sammenheng mellom eksistens av antiderivert og uavhengighet av integrasjonsveien (se her for koblingen til konservative vektorfelt) |
| 20. september | Tirsdag 20.09 del 1 Tirsdag 20.09 del 2 | Spesialtilfeller av Cauchys teorem, med vekt på Cauchy–Goursats teorem (3.4–3.5 i A&G) | - Cauchys teorem under antagelse om kontinuitet av den deriverte (anvendelse av Greens teorem) - Cauchys teorem for en trekant (Cauchy–Goursat); NB! Ingen antagelse om kontinuitet av den deriverte |
| 23. september | Fredag 23.09 del 1 Fredag 23.09 del 2 | Homotopier og Cauchys teorem i enkeltsammenhengende områder (3.5-3.6 i A&G) | - Anvendelse av Cauchy–Goursat og vårt teorem om vei-uavhengihet: Generell versjon av Cauchys teorem i stjerneformede områder - Homotopier (kontinuerlig deformasjon av veier) - Cauchys teorem for enkeltsammenhengende områder |
| 27. september | Tirsdag 27.09 del 1 Tirsdag 27.09 del 2 | Cauchys formel (3.8 i A&G) | - Cauchys integralformel - Derivasjon av Cauchys formel (derivasjon under integraltegnet) - Middelverdiegenskapen til analytiske funksjoner - Moreras teorem |
| 30. september | Fredag 30.09 del 1 Fredag 30.09 del 2 | Anvendelser av Cauchys formel (3.9 i A&G) | - Cauchy-estimat - Liouvilles teorem - Algebraens fundamentalteorem - Maksimumsprinsippet (mer presist: maksimum-modulus-prinsippet) |
| 4. oktober | Tirsdag 04.10 del 1 Tirsdag 04.10 del 2 | Konvergens av følger og rekker av analytiske funksjoner (4.1-4.2 i A&G) | - Konvergens og uniform konvergens av funksjonsfølger - Weierstrass' M-test - Uniform konvergens av følger av analytiske funksjoner på kompakte mengder - Potensrekker |
| 7. oktober | Fredag 07.10 del 1 Fredag 07.10 del 2 | Taylor- og Laurent-rekker (4.3-4.4 i A&G) | - Entydighet av potensrekkerepresentasjon - Representasjon av analytisk funksjon ved Taylor-rekke om et punkt - Analytisk fortsettelse - Laurent-rekke til en funksjon analytisk i en annulus |
| 11. oktober | Tirsdag 11.10 del 1 Tirsdag 11.10 del 2 | Nullpunkter og singulariteter (4.5 i A&G) | - Nullpunkter - Singulariteter (isolerte): Hevbare singulariteter, poler, essensielle singulariteter - Orden til nullpunkter og poler - Identitetsprinsippet |
| 14. oktober | Fredag 14.10 del 1 Fredag 14.10 del 2 | Residyteoremet (5.1, 5.3 i A&G) | - Litt mer om singulariteter; eksempler - Residyen til en funksjon i en isolert singularitet - Residyteoremet - Beregning av residyer; eksempler |
| 18. oktober | Tirsdag 18.10 del 1 Tirsdag 18.10 del 2 | Beregning av reelle integral ved hjelp av komplekse integral (5.2, 5.4, 5.5 i A&G) | - Bestemte integral med trigonometriske funksjoner - Uegentlige integral som involverer rasjonale funksjoner, eksponentialfunksjonen og trigonometriske funksjoner - Integral rundt grenkutt |
| 21. oktober | Fredag 22.10 del 1 Fredag 22.10 del 2 | Argumentprinsippet; Fourier-rekker (5.7 i A&G til s. 354, 11.1, 11.2 i Krantz) | - Argumentprinsippet - Trigonometriske polynom - Fourier-rekker - Ortogonalitet og Bessels ulikhet |
| 25. oktober | Tirsdag 25.10 del 1 Tirsdag 25.10 del 2 | Konvergens av Fourier-rekker (11.2 i Krantz) | - Fourier-rekkene til \(f(x)=x\) og \(f(x)=|x|\) på \([-\pi,\pi]\) - Chernoffs bevis for konvergens av Fourier-rekker (NB! Krantz ser ut til å bevise mer i Thm. 11.8, men hans forsøksvise bevis for uniform konvergens er ufullstendig.) - Dirichlet-kjernen - Fejér-kjernen og approksimasjon av kontinuerlige funksjoner |
| 28. oktober | Fredag 28.10 del 1 Fredag 28.10 del 2 | Fourier-transformen (11.3 i Krantz) | - Fourier-transformen - Fourier-transform og derivasjon - Riemann–Lebesgues lemma - Fourier-transform av \(e^{-ax^2}\) - Fourier-inversjon |
| 1. november | Tirsdag 01.11 del 1 Tirsdag 01.11 del 2 | Fourier-teknikker for partielle differensialligninger med utgangspunkt i varmeligningen (Krantz 11.5) | - Utledning av varmeligningen \(u_t=\eta^2 u_{xx} \) - Fra separasjon av variablene til Fourier-rekker (Fouriers idé) - Generelt om Fourier-teknikker for partielle differensialligninger (Fourier-transformér ligning/separasjon av variable) - Varmekjernen på \(\mathbb R\) |
| 4. november | Fredag 04.11 del 1 Fredag 04.11 del 2 | Bølgeligningen (Krantz 11.4.3–11.4.6) | - Varmeligningen oppsummert - Utledning av bølgeligningen i én romlig dimensjon - d'Alemberts løsning av bølgeligningen - Løsning av bølgeligningen ved hjelp av separasjon av variablene og Fourier-rekker |
| 8. november | Tirsdag 08.11 del 1 Tirsdag 08.11 del 2 | Harmoniske funksjoner (A&G 6.1) | - Laplace-ligningen \(\Delta u =0 \) - Harmoniske funksjoner - Harmonisk konjugert - Middelverdiegenskap til harmoniske funksjoner - Maksimumsprinsipp for harmoniske funksjoner |
| 11. november (NB! Siste forelesning med nytt stoff) | Fredag 11.11 del 1 Fredag 11.11 del 2 | Dirichlet-problemet for enhetsdisken (A&G 6.3-6.4) | - Dirichlet-problemet for enhetsdisken - Poisson-kjernen og Poissons integralformel - Poisson-kjernen og Fourier-rekker - Poisson-kjernen som "approksimerende identitet" |
| 15. november | Ekstra veiledning Øving 12 & Øving 13 (sistnevnte er "prøveeksamen") | ||
| 18. november | Ekstra veiledning Øving 12 & Øving 13 (sistnevnte er "prøveeksamen") | ||
| 22. november | Tirsdag 22.11 del 1 Tirsdag 22.11 del 2 | Gjennomgang av "prøveeksamen" oppgave 1, 2 | |
| 25. november | Fredag 25.11 del 1 Fredag 25.11 del 2 | Gjennomgang av "prøveeksamen" oppgave 3, 4, 5, 6 |