Forelesningslogg, MA1101, høst 2010

Her finner du en kort oversikt over hva som blir gjennomgått i forelesningene. Informasjonen blir lagt ut noen dager i forkant av forelesningsøkten, slik at du har mulighet til å møte forberedt. Merk at dette ikke er noen fullstendig oversikt, og at planen ikke alltid vil stemme overens med gjennomføringen ;)

Velkommen til kurset!
Det blir gitt diverse praktisk informasjon vedrørende faget, før vi starter med Preliminaries-kapittelet. Ikke alt vil bli gjennomgått på forelesning, så noe må dere lese gjennom på egenhånd. Sannsynligvis vil dere oppleve at kapittelet inneholder både kjente og nye ting. Vi vil i første time se litt på P1 og P4, som inneholder blant annet egenskaper ved de reelle tall, litt om ulikheter og absoluttverdi, samt definisjonen av en funksjon.

Siden vi hadde besøk av Andrew Saba i går som fortalte litt om MathXL (internettresurssene knyttet til læreboken) rakk vi ikke så langt som planlagt. I dag fortsetter vi derfor med absoluttverdier fra P1, før vi ser på ulike aspekter ved funskjoner (funksjonsbegrepet, definisjons-og verdimengde, noen spesielle symetriegenskaper, hvordan vi kan flytte rundt på en funksjon/graf, samt ulike måter å sette sammen funksjoner på) (P3-P5).

Vi ser på sammensetning av funksjoner (P5), polynomer og polynomdivisjon (P6) og definerer kort de viktigste trigonometriske funksjonene (P7). Deretter går vi over til kapittel 1 om grenseverdier. Vi presenterer både den uformelle definisjonen fra kap. 1.2 og den formelle definisjonen fra kap. 1.5.

Vi starter på det første hovedtemaet i vår analyse av funksjoner, nemlig grenseverdier. Målet er å få et intuitivt bilde av det som skjer i grenseprosessen og lære noen triks og knep (kap.1.2), men vi skal også jobbe med den formelle definisjonen fra kap.1.5. Dette er en definisjon som gjerne krever modning før man kjenner seg komfortabel med den.

Mer om grenser. Vi ser på uendelige grenser og grenser i det uendelige (kap.1.3), og definerer kontinuitet av en funskjon ved hjelp av grensebegrepet (kap.1.4).

Vi definerer kontinuitet (kap.1.4) og presenterer noen sentrale resulatat vedrørende kontinuerlige funskjoner, før vi såvidt beveger oss over i kapittel 2 om derivasjon. Definisjonen av den deriverte introduseres ved hjelp av grensebegrepet (kap.2.1-2.2).

Derivasjon; definisjon, notasjon og regneregler (kap.2.2-2.4). Det forventes at dere kjenner de grunnleggende regnereglene for derivasjon fra før, tren på disse dersom det er lenge siden du hadde det i fingrene! (Derivasjon av polynomer, produkt-, brøk- og kjerneregel.)

Ennå mer derivasjon. I dag skal vi derivere de trigonometriske funksjonene (kap.2.5). Høyere ordens deriverte (kap 2.6 i 7.utgave, kap.2.8 i 6.utgave av boken) rakk vi å se på i går, så vi tar kun med et eksempel i dag. Videre skal vi se på et nyttig resultat som involverer den deriverte, nemlig sekantsetningen (The Mean-Value Theorem) (kap.2.8 i 7.utgave, kap. 2.6 i 6.utgave).

Marius Irgens vikarierer. Jeg har gitt ham ganske frie tøyler, men har sagt at vi nettopp har bevist sekantsetningen i kap.2.8. Kanskje får dere se noen anvendelser av sekantsetningen spesielt eller derivasjon mer generelt? Det kan også være greit å forberde seg på kap. 2.9 om implisitt derivasjon.

Marius Irgens vikarierer.

Vi fortsetter med de inverse trigonometriske funksjonene (kap.3.5), før vi går over til å studere eksponential- og logaritmefunskjoner (kap.3.2, 3.3). Vi skal lære å behandle disse funksjonene, men skal i dette kurset ikke gå så langt inn i diskusjonen om hvordan vi kan/bør/må definere dem. (Dette kommer i MA1102, Grunnkurs i Analyse II.)

Eksepler på eksponentiell vekst (kap.3.4). Forberedelse til midtsemesterprøven ved gjennomgang av (enkelte oppgaver fra ) fjorårets semesterprøve, se Midtsemester 2009. (Evt. andre oppgaver etter ønske.)

Midtsemesterprøve. Se informasjon i egen link i venstre marg. NB! Ikke alle skal sitte i R2.

Kort om de hyperbolske funksjonene (kap.3.6), før vi går inn i kapittel 4 og ser på noen anvendelser av derivasjon. Først ut er koblede hastigheter (4.1) og L'Hopitals regel for grensebetraktninger (kap.4.3) (NB! kap.4.9 i sjetteutgaven av boka).

Mer om L'Hopitals regel for grenseutrykk av formen "null over null" og "uendelig over uendelig" (kap.4.3 i 7.utgave, kap.4.9 i 6.utgave). Neste tema er funksjonsdrøfting (ekstremalverdier, vendepunkt, asymptoter m.m.) (kap.4.4-4.6 i 7.utgave, 4.2-4.4 i 6.utgave). Her bør det være mye kjent stoff?!

Mer om funksjonsdrøfting (kap.4.4-4.6, 4.8).

Skfte av tema! Vi skal nå gå over til å se på integrasjon. Vi vil innføre (det bestemte) integralet ved hjelp av arealbetraktninger og Riemansummer (kap.5.1-5.3, Appendiks IV).

Mer om Riemannintegralet. Vi ser på nyttige egenskaper som faller rett ut av definisjonen, samt et middelverdiresultat for integral (kap. 5.4), før vi (endelig -hvis vi rekker det…) kommer fram til Analysens Fundamentalteormet, som gir den ønskede sammenhengen mellom integrajon og (anti)derivasjon (kap.5.5).

Analysens fundamentalteorem gjennomgås (kap.5.5), før vi ser på integrasjonsteknikkene substitusjon (kap. 5.6) og delvis integrajson (kap.6.1).

Delvis integrasjon (kap.6.1) og delbrøkoppspalting (kap.6.2 i 7.utgave, kap.6.3 i 6.utgave) er dagens tema.

Mer om delbrøkoppspalting (kap.6.2 i 7.utgave, kap.6.3 i 6.utgave), samt eksempler på inverse (trigonometriske) substitusjoner (kap.6.3 i 7.utgave, kap.6.2 i 6.utgave).

Vi ser ett til eksempel på en invers trigonometrisk substitusjon, før vi ser på såkalte uegentlige integral (kap 6.5). Dette avslutter kapittel 6 for oss (dere vil få mer herfra i MA1102), så om vi rekker mer starter vi såvidt på kapittel 7, hvor vi skal anvende integrasjon blant annet for å beregne volum.

Vi ser på volum og overflate av omdreinginslegemer. For å regne på overflaten trenger vi også å studere buelengder (kap.7.1-7.3)

Vi avslutter beregninger vedrørende omdreiningslegemer, før vi starter på differensiallikninger. Differensiallikninger er samlet i kapittel 17, men der henvises vi tilbake til ulike delkapitler i boken. Vi skal starte med å se på førsteordens separable og førsteordens lineære differensiallikninger, som vi finner i kap. 7.9.

Temaet er differensiallikninger. Vi studerer førsteordens lineære differensiallikninger (kap.7.9) og homogene andreordens lineære differensiallikninger med konstante koeffisienter (kap 3.7).

Mer om andreordens, lineære differensiallikninger med konstante koeffesienter, både homogene (kap.3.7) og inhomogene (kap.17.6). For løsning av de inhomogene vil vi konsentrere oss om 'ubestemte koeffesienters metode' (første del av 17.6).

Siste rest om differensiallikninger. Vi starter med repetisjon i time to.

Repetisjon