MA1102 Grunnkurs i analyse II – vår 2015

Etter en innledende orientering om emnet, startet jeg med kjeglesnitt, basert på Hanche-Olsens notat fra i fjor. Viste de viktigste egenskapene ved kjeglesnitt. Degenererte og ikke-degenererte kjeglesnitt. Ga en algebraisk beskrivelse av kjeglesnitt.

Forsetter med geometrisk beskrivelse av kjeglesnitt: Ellipser, sirkler og parabler.

Forsetter med geometrisk beskrivelse av kjeglesnitt: Hyperbler. Translasjon.

Startet med tilleggskapitlet "Vektorregning og parametriske kurver" til Lindstrøms lærebok. Restrikterte til n=2 (vektorer og kurver i planet). Repeterte de viktigste fakta fra vektorregningen. Behandlet projeksjoner.

Gjennomgikk seksjonen "Parametriserte kurver" i tilleggskapitlet "Vektorregning og parametriske kurver" (s. 28-35).

Parameterstilling av sykloiden. Beregnet buelengden av en kurve. Deretter startet vi med Taylor-polynomer (11.1).

Vi startet med Taylor-polynomer (11.1), og beregnet Taylor-polynomene for noen hyppig forekommende funksjoner.

Fortsatte med Taylors formel med restledd (11.2)

Vi startet med Taylor-polynomer (11.1), og beregnet Taylor-polynomene for noen hyppig forekommende funksjoner.

Dagens tema var punktvis og uniform konvergens (11.3). Illustrerte med noen eksempler.

Dagens tema var integrasjon og derivasjon av funksjonsfølger (11.4). Startet med rekker (12.1).

Forsetter med rekker (12.1). Geometriske og harmoniske rekker.

Dagens tema var positive rekker (12.2) og konvergenstester (12.2.3 og 12.2.4) og sammenligningstester (12.2.6 og 12.2.8).

Forsetter med konvergenstester for positive rekker (12.2.12 og 12.2.16). Alternende rekker (12.3). Vi så absolutt og betinget konvergens (12.4).

Absolutt og betinget konvergens (12.4). Viste at for en absolutt konvergent rekke kan leddene byttes om vilkårlig uten at dette endrer konvergensegenskapene eller summen. Den motsatte ytterlighet fremvises av betinget konvergente rekker: En slik kan manipuleres til å konvergere mot et hvilket som helst reelt tall ved et passende ombytte av leddene. Fortsatte med rekker av funksjoner (12.5), viste Weierstrass's M-test.

Gikk først litt tilbake til 12.4 ved å gjøre oppgavene. Fortsatte med konvergens av potensrekker (12.6). Skrev opp Abels teorem (12.6.9) uten bevis.

Skrev opp Abels teorem (12.6.9) uten bevis. Foreleste 12.7 "Regning med portensrekker".

Fortsatte med Taylor-rekker (12.8). Startet med numersike metoder. Gjennomgikk Newtons metode (7.3)

Gjennomgikk Newtons metode (7.3) og illustrerte med noen eksempler i Maple. Fortsatte med numerisk integrasjon (8.7).

Numerisk integrasjon: Simpsons metode (8.7). Komplekse tall (3.1 - 3.3).

Vi skifter tema igjen og går over til differensialligninger: Lineære førsteordens (10.3) og separable (10.4).

Eksistens og entydighet av løsning av 1. ordens lineær differensialligning med initialbetingelse (10.3). Separable differensialligninger (10.4).

Startet med annenordens homogene ligninger med konstante koeffisienter (10.5), drøftet Tilfelle 1 (karakteristisk ligning har 2 forskjellige reelle røtter), og Tilfelle 2 (karakteristisk ligning har bare en rot).

Fortsatte med seksjon 10.5, drøftet Tilfelle 3 (karakteristisk ligning med komplekse røtter; siden differensialligningen har relle koeffisienter, vil komplekse røtter alltid opptre i konjugerte par). Viste hvordan de reelle løsningene bestemmes ut fra de komplekse løsningene. Startet med annenordens inhomogene ligninger (10.6).

Gjorde en rekke eksempler med inhomogene ligninger som omfattet de fleste variantene.

Litt mer om numeriske løsninger (10.8). Viste å løse differensiallingingen \(y'=f(x)\) over et intervall \([a,b]\) med Eulers metode, Eulers midpunktmetode og Runge Kuttas metod.

Gikk så over til "Potensrekker og differensialligninger" (12.9).

Fullførte oppgave 12.9.4 og 12.9.8