TMA4305 Partielle differensialligninger 2021

Meldinger

FIRST LECTURE 2021 ON WEDNESDAY AUG. 25th at 14.15 -16.00 IN F3.

Lectures will be in English.

Recorded lectures (Panopto)

Forelesninger

B i tabellen står for Borthwicks bok. THIS SCHEDULE (FROM LAST FALL) WILL GRADUALLY BE UPDATED.

Uke Dato Ref Hva
34 Intro
B 1, 2.6, 3.4
Introduction to the course,
We will cover material in Ch. 2 when we need it
25 aug Wed: Introduction, existence and uniqueness of solutions for ODEs. 1st order quasilinear equations in two variables.
26 aug Thu: Examples on quasilinear equations, in particular, Burgers' equation. Derivation of the linear wave equation. Started derivation of d'Alembert's solution.
35 B 2.5, 3.3, 4.1–2, notat Mer generelle kvasilineære systemer, bølgeligningen
Notat: First order quasilinear equations ( A5 for skjerm, A4 for utskrift)
Oppdatert 2020-08-30
2 sept Torsdag: d'Alembert's solution finished. Duhamel's Principle. Energy considerations, uniqueness
3 Sept Friday: Darboux's equation. Kirchhoff's formula, n = 3.
36 B 4.3, 4.4, 4.6, 4.7 Bølgeligningen
9 Sep Thursday: Poisson's formula via descent from Kirchhoff's, randverdiproblemer
???
10 Sep Friday: Local energy, uniqueness, past light cone. Derivation of the Heat Eqn.
37 B 6.1–4 The Heat Equation
16 Sep Thursday: Heat Kernel, solution of the initoal value problem (the Cauchy Problem)From Fouriertransform
17 sep Friday: Uniqueness via energy considerations. Duhamel's principle again. (Weak) Maximum Principle. B.9.5

38 B 6.4, 9.5, notater Varmeligningen, start på harmoniske funksjoner
16 sep Onsdag: Duhamel for varmeligningen, maksimumsprinsippet, entydighet
Notat: Weak maximum principle for the heat equation (A5 for skjerm · A4 for utskrift)
18 sep Fredag var det ingen auditorieforelesning. Erstattet med to video-opptak nedenfor.
Maksimumsprinsippet for et ubegrenset område (Panopto)
Harmoniske funksjoner og middelverdiegenskapen (Panopto)
Notat: Harmonicfunctionology (A5 for skjerm · A4 for utskrift) · Ny versjon 2020-10-08 β2: Sterkt forenklet utledning av Theorem 22 («β2» fordi jeg ikke har korrekturlest det veldig nøye).
39 notater Harmoniske funksjoner, fortsatt etter “Harmonicfunctionology”-notatet ovenfor
23 sep Onsdag: Middelverdiegenskapen (mve) karaktereriserer harmoniske funksjoner: Selv en funksjon som bare antas å være kontinuerlig, og har mve, er harmonisk og uendelig deriverbar.
25 sep Fredag: Sub- og superharmoniske funksjoner, maksimums/minimums-prinsippet, Poissonligningen, fundamentalløsningen
40 notater Harmonicfunctionology videre: Poissonligningen, Greens funksjon, …
30 sep Onsdag: Konvolusjon med fundamentalløsningen for å løse Poissonligningen, …
2 okt Fredag: Greens funksjon, spesielt på baller
41 notater
Start B 7
Harmonicfunctionology avslutning, start på funksjonsrom
7 okt Onsdag: Perrons metode
Jeg oppdaget en bedre måte å gjøre konvergensdelen i beviset for Thm 22 på, ved hjelp av Harnacks ulikhet i stedet for det mye mer kompliserte trikset med tette delmengder og uniform (Lipschitz) kontinuitet fra Prop. 6. Jeg foreleste det forbedrede beviset, og oppdaterer notatet i etterkant.
9 okt Fredag: Perrons metode, avslutning med barrierer. Start på funksjonsrom
42 B 7, 10.1, 10.3, 10.4 Funksjonsrom, svak derivasjon
14 okt Onsdag: Diverse om funksjonsrom (kap 7, studentene forventes å lese dette kapitlet mye på egen hånd). Deretter start på kapittel 10.
16 okt ​ Fredag: Sobolevrom (10.3), regularitet (10.4) – Vi hopper over 10.2 foreløpig
Notat: Om randverdier i Sobolev-forstand (boundary traces) (A5 for skjerm · A4 for papir)
43 B 10.5, 11.1, 11.2, 11.3 Sobolevrom, mm
21 okt Onsdag: Fortsetter der vi slapp i 10.4 …
Det var ingen auditorieforelesning. Video til erstatning for forelesningen ligger nedenfor.
Del 1 (15:06) Sobolev-regularitet (periodisk)lysark») til dels repetisjon fra sist fredag, mye raskere i starten, langsommere med nye detaljer på slutten
Del 2 (06:19) Sobolev-regularitet (lokal versjon)lysark»)
Del 3 (32:59) Svake løsninger av Poisson-ligningen og Dirichlets prinsipplysark»)
23 okt Fredag: Tilbake i auditoriet! Poincarés ulikhet, kvadratiske former og koersivitet, eksistens av minimum for Dirichlet-funksjonalen (og dermed svake løsninger for Dirichlet-problemet).
44 B 11.4–11.7 Elliptisk regularitet, egenverdier for Laplaceoperatoren, …
23 okt ​ Onsdag: Elliptisk regularitet, kompakthet
30 okt ​Fredag: Spektralteoremet for Laplace-operatoren med Dirichlet randbetingelser
Håndskrevet notat: kompakthet (fordi det ikke er dekket så godt i Lineære metoder?)
– se også avsnitt 2.8 i C. Heil: Metrics, Norms, Inner Products, and Operator Theory.
45 B 11.8, 12.2–12.4 Euler–Lagrange-ligningene, distribusjonsteori
4 nov Onsdag: Euler–Lagrange, start på distribusjonsteori
6 nov Fredag: Distribusjoner fortsatt; konvolusjon, fundamentalløsninger
46 B 12.6, 10.2 Tidsavhengige distribusjoner, svake løsninger av bevaringslover
11 nov Onsdag: Tidsavhengige distribusjoner og fundamentalløsninger.
13 nov Fredag: Svake løsninger av bevaringslover – med mer bruk av distribusjonsteori enn i boken
47 Siste uke med forelesninger. Litt om karakteristikker og klassifikasjon av PDEer, Cauchy–Kowalevskaya, regning av eksamensoppgaver
18 nov Onsdag: Karakteristikker og klassifisering av 2. ordens kvasilineær PDE \(au_{xx}+2bu_{xy}+cu_{yy)=d\). Cauchy–Kowalevskaya. Litt om distribusjonsløsninger til bølgeligningen.
20 nov Fredag: Siste forelesning. Regnet eksamen fra august 2020, og siste oppgave fra desember 2019.
Referanse for første tema i onsdagsforelesningen: Avsnitt 2.1 i Fritz John (SpringerLink; du må være innenfor NTNUs nett fysisk eller på VPN. Du trenger bare kapittel 2, The Cauchy Problem for Higher Order Equations – og bare de første to-tre sidene. Notasjonen avviker litt fra min.)
2021-09-17, Lars Peter Lindqvist