TMA4305 Partielle differensialligninger 2020
Meldinger
- (2020-12-04) Løsning på dagens eksamen under lenken «Gamle eksamensoppgaver» · Send meg en mail om du finner noen feil!
Forelesninger
B i tabellen står for Borthwicks bok
| Uke | Dato | Ref | Hva |
|---|---|---|---|
| 34 | Intro B 1, 2.6, 3.2, 3.4 | Intoduksjon til emnet, start på førsteordens PDE | |
| Les kapittel 1 på egenhånd. Vi kommer tilbake til deler av kap 2 etter hvert som vi får bruk for det | |||
| 25 aug | Onsdag: Intro og transportligningen (ikke helt etter boka) | ||
| 26 aug | Fredag: Mer om transportligningen, kvasilineære ligninger. | ||
| 35 | B 2.5, 3.3, 4.1–2, notat | Mer generelle kvasilineære systemer, bølgeligningen | |
| ⮕ Notat: First order quasilinear equations ( A5 for skjerm, A4 for utskrift) Oppdatert 2020-08-30 |
|||
| 1 sept | Onsdag: Først litt ODE-teori. Se B 2.6, og hvis du er nysgjerrig, side 2–7 i dette notatet (ikke pensum). Litt mer generelle kvasilineære ligninger (notatet ↑) |
||
| 2 sept | Fredag: Eksemplet fra onsdag litt grundigere. Se oppdatert notat for en bedre versjon. Bølgeligningen: D'Alemberts løsning, og introduksjon til Duhamels prinsipp |
||
| 36 | B 4.3, 4.4, 4.6 | Bølgeligningen | |
| 2 sep | Onsdag: Duhamels prinsipp (inhomogen ligning), randverdiproblemer En rask intro til Darbouxs formel |
||
| 4 sep | Fredag: Bølgeligningen i 3 dimensjoner (Kirchoffs integralformel via Darbouxs formel), deretter 2 dimensjoner (Poissons integralformel via «method of descent», eller dimensjonsreduksjon. Litt om Huygens prinsipp. | ||
| 37 | B 4.6, 6.2–3 | Bølgeligningen, varmeligningen | |
| 9 sep | Onsdag: Entydighet via energimetoden, inklusive et eksempel som går utenfor boken. Notat kommer. Litt om vermeligningen til slutt | ||
| 11 sep | Fredag: Varmekjernen, løsning av initialverdiproblemet (Cauchy-problemet) for varmeligningen, konvolusjon | ||
| 38 | B 6.4, 9.5, notater | Varmeligningen, start på harmoniske funksjoner | |
| 16 sep | Onsdag: Duhamel for varmeligningen, maksimumsprinsippet, entydighet | ||
| ⮕ Notat: Weak maximum principle for the heat equation (A5 for skjerm · A4 for utskrift) | |||
| 18 sep | Fredag var det ingen auditorieforelesning. Erstattet med to video-opptak nedenfor. | ||
| Maksimumsprinsippet for et ubegrenset område (Panopto) | |||
| Harmoniske funksjoner og middelverdiegenskapen (Panopto) | |||
| ⮕ Notat: Harmonicfunctionology (A5 for skjerm · A4 for utskrift) · Ny versjon 2020-10-08 β2: Sterkt forenklet utledning av Theorem 22 («β2» fordi jeg ikke har korrekturlest det veldig nøye). | |||
| 39 | notater | Harmoniske funksjoner, fortsatt etter “Harmonicfunctionology”-notatet ovenfor | |
| 23 sep | Onsdag: Middelverdiegenskapen (mve) karaktereriserer harmoniske funksjoner: Selv en funksjon som bare antas å være kontinuerlig, og har mve, er harmonisk og uendelig deriverbar. | ||
| 25 sep | Fredag: Sub- og superharmoniske funksjoner, maksimums/minimums-prinsippet, Poissonligningen, fundamentalløsningen | ||
| 40 | notater | Harmonicfunctionology videre: Poissonligningen, Greens funksjon, … | |
| 30 sep | Onsdag: Konvolusjon med fundamentalløsningen for å løse Poissonligningen, … | ||
| 2 okt | Fredag: Greens funksjon, spesielt på baller | ||
| 41 | notater Start B 7 | Harmonicfunctionology avslutning, start på funksjonsrom | |
| 7 okt | Onsdag: Perrons metode Jeg oppdaget en bedre måte å gjøre konvergensdelen i beviset for Thm 22 på, ved hjelp av Harnacks ulikhet i stedet for det mye mer kompliserte trikset med tette delmengder og uniform (Lipschitz) kontinuitet fra Prop. 6. Jeg foreleste det forbedrede beviset, og oppdaterer notatet i etterkant. |
||
| 9 okt | Fredag: Perrons metode, avslutning med barrierer. Start på funksjonsrom | ||
| 42 | B 7, 10.1, 10.3, 10.4 | Funksjonsrom, svak derivasjon | |
| 14 okt | Onsdag: Diverse om funksjonsrom (kap 7, studentene forventes å lese dette kapitlet mye på egen hånd). Deretter start på kapittel 10. | ||
| 16 okt | Fredag: Sobolevrom (10.3), regularitet (10.4) – Vi hopper over 10.2 foreløpig | ||
| ⮕ Notat: Om randverdier i Sobolev-forstand (boundary traces) (A5 for skjerm · A4 for papir) | |||
| 43 | B 10.5, 11.1, 11.2, 11.3 | Sobolevrom, mm | |
| 21 okt | Onsdag: Fortsetter der vi slapp i 10.4 … | ||
| Det var ingen auditorieforelesning. Video til erstatning for forelesningen ligger nedenfor. | |||
| Del 1 (15:06) Sobolev-regularitet (periodisk) («lysark») til dels repetisjon fra sist fredag, mye raskere i starten, langsommere med nye detaljer på slutten | |||
| Del 2 (06:19) Sobolev-regularitet (lokal versjon) («lysark») | |||
| Del 3 (32:59) Svake løsninger av Poisson-ligningen og Dirichlets prinsipp («lysark») | |||
| 23 okt | Fredag: Tilbake i auditoriet! Poincarés ulikhet, kvadratiske former og koersivitet, eksistens av minimum for Dirichlet-funksjonalen (og dermed svake løsninger for Dirichlet-problemet). | ||
| 44 | B 11.4–11.7 | Elliptisk regularitet, egenverdier for Laplaceoperatoren, … | |
| 23 okt | Onsdag: Elliptisk regularitet, kompakthet | ||
| 30 okt | Fredag: Spektralteoremet for Laplace-operatoren med Dirichlet randbetingelser | ||
| ⮕ Håndskrevet notat: kompakthet (fordi det ikke er dekket så godt i Lineære metoder?) – se også avsnitt 2.8 i C. Heil: Metrics, Norms, Inner Products, and Operator Theory. |
|||
| 45 | B 11.8, 12.2–12.4 | Euler–Lagrange-ligningene, distribusjonsteori | |
| 4 nov | Onsdag: Euler–Lagrange, start på distribusjonsteori | ||
| 6 nov | Fredag: Distribusjoner fortsatt; konvolusjon, fundamentalløsninger | ||
| 46 | B 12.6, 10.2 | Tidsavhengige distribusjoner, svake løsninger av bevaringslover | |
| 11 nov | Onsdag: Tidsavhengige distribusjoner og fundamentalløsninger. | ||
| 13 nov | Fredag: Svake løsninger av bevaringslover – med mer bruk av distribusjonsteori enn i boken | ||
| 47 | Siste uke med forelesninger. Litt om karakteristikker og klassifikasjon av PDEer, Cauchy–Kowalevskaya, regning av eksamensoppgaver | ||
| 18 nov | Onsdag: Karakteristikker og klassifisering av 2. ordens kvasilineær PDE \(au_{xx}+2bu_{xy}+cu_{yy)=d\). Cauchy–Kowalevskaya. Litt om distribusjonsløsninger til bølgeligningen. | ||
| 20 nov | Fredag: Siste forelesning. Regnet eksamen fra august 2020, og siste oppgave fra desember 2019. | ||
| Referanse for første tema i onsdagsforelesningen: Avsnitt 2.1 i Fritz John (SpringerLink; du må være innenfor NTNUs nett fysisk eller på VPN. Du trenger bare kapittel 2, The Cauchy Problem for Higher Order Equations – og bare de første to-tre sidene. Notasjonen avviker litt fra min.) |