TMA4305 Partielle differensialligninger 2020

Meldinger

  • (2020-12-04) Løsning på dagens eksamen under lenken «Gamle eksamensoppgaver» · Send meg en mail om du finner noen feil!

Vis utdaterte meldinger

Skjul utdaterte meldinger

  • (2020-11-16) Siste forelesningsuke har også auditorieforelesninger, slik som (det meste av) resten av semesteret.
  • Melding fra instituttledelsen om eksamen ligger under Kursinformasjon. (Den samme meldingen er også lagt ut i Blackboard.) (Meldingen er ikke lenger aktuell.)
  • (2020-10-23) Auditorieforelesningene er tilbake i gammelt gjenge.
    Jeg har lagt ut et kort notat med beviset for at \(H^1\)-funksjoner har «randverdier» (boundary traces) i \(L^2\). Jeg la det under uke 42 i listen nedenfor, der det hører logisk hjemme.
  • (2020-10-21) Ingen auditorieforelesning i dag pga karanteneproblematikk. Melding om det er lagt ut på Blackboard. Jeg håper alle fikk den.
  • (2020-10-08) «Harmonicfunctionology»-notatet er oppdatert igjen, nå med et mye enklere bevis for at Perrons løsning blir harmonisk.
  • (2020-10-07) Det kommer flere oppdateringer til notatet, men de er ikke klar ennå. Jeg legger melding her når det er gjort. Se for øvrig merknadene til dagens forelesning nedenfor.
  • (2020-10-05) «Harmonicfunctionology»-notatet er oppdatert med en mye enklere utregning av Greens funksjon på baller.
  • (2020-09-18) Det blir ingen auditorieforelesning førstkommende fredag (19. september), og heller ingen øvingstime mandag (21. september). Vanlig timeplan fortsetter fra og med onsdag 23. september. Jeg har spilt inn et par videoer til erstatning for fredagsforelesningen; se i tabellen under.

Forelesninger

B i tabellen står for Borthwicks bok

Uke Dato Ref Hva
34 Intro
B 1, 2.6, 3.2, 3.4
Intoduksjon til emnet, start på førsteordens PDE
Les kapittel 1 på egenhånd. Vi kommer tilbake til deler av kap 2 etter hvert som vi får bruk for det
19 aug Onsdag: Intro og transportligningen (ikke helt etter boka)
21 aug Fredag: Mer om transportligningen, kvasilineære ligninger.
35 B 2.5, 3.3, 4.1–2, notat Mer generelle kvasilineære systemer, bølgeligningen
Notat: First order quasilinear equations ( A5 for skjerm, A4 for utskrift)
Oppdatert 2020-08-30
26 aug Onsdag: Først litt ODE-teori. Se B 2.6, og hvis du er nysgjerrig, side 2–7 i dette notatet (ikke pensum).
Litt mer generelle kvasilineære ligninger (notatet ↑)
28 aug Fredag: Eksemplet fra onsdag litt grundigere. Se oppdatert notat for en bedre versjon.
Bølgeligningen: D'Alemberts løsning, og introduksjon til Duhamels prinsipp
36 B 4.3, 4.4, 4.6 Bølgeligningen
2 sep Onsdag: Duhamels prinsipp (inhomogen ligning), randverdiproblemer
En rask intro til Darbouxs formel
4 sep Fredag: Bølgeligningen i 3 dimensjoner (Kirchoffs integralformel via Darbouxs formel), deretter 2 dimensjoner (Poissons integralformel via «method of descent», eller dimensjonsreduksjon. Litt om Huygens prinsipp.
37 B 4.6, 6.2–3 Bølgeligningen, varmeligningen
9 sep Onsdag: Entydighet via energimetoden, inklusive et eksempel som går utenfor boken. Notat kommer. Litt om vermeligningen til slutt
11 sep Fredag: Varmekjernen, løsning av initialverdiproblemet (Cauchy-problemet) for varmeligningen, konvolusjon
38 B 6.4, 9.5, notater Varmeligningen, start på harmoniske funksjoner
16 sep Onsdag: Duhamel for varmeligningen, maksimumsprinsippet, entydighet
Notat: Weak maximum principle for the heat equation (A5 for skjerm · A4 for utskrift)
18 sep Fredag var det ingen auditorieforelesning. Erstattet med to video-opptak nedenfor.
Maksimumsprinsippet for et ubegrenset område (Panopto)
Harmoniske funksjoner og middelverdiegenskapen (Panopto)
Notat: Harmonicfunctionology (A5 for skjerm · A4 for utskrift) · Ny versjon 2020-10-08 β2: Sterkt forenklet utledning av Theorem 22 («β2» fordi jeg ikke har korrekturlest det veldig nøye).
39 notater Harmoniske funksjoner, fortsatt etter “Harmonicfunctionology”-notatet ovenfor
23 sep Onsdag: Middelverdiegenskapen (mve) karaktereriserer harmoniske funksjoner: Selv en funksjon som bare antas å være kontinuerlig, og har mve, er harmonisk og uendelig deriverbar.
25 sep Fredag: Sub- og superharmoniske funksjoner, maksimums/minimums-prinsippet, Poissonligningen, fundamentalløsningen
40 notater Harmonicfunctionology videre: Poissonligningen, Greens funksjon, …
30 sep Onsdag: Konvolusjon med fundamentalløsningen for å løse Poissonligningen, …
2 okt Fredag: Greens funksjon, spesielt på baller
41 notater
Start B 7
Harmonicfunctionology avslutning, start på funksjonsrom
7 okt Onsdag: Perrons metode
Jeg oppdaget en bedre måte å gjøre konvergensdelen i beviset for Thm 22 på, ved hjelp av Harnacks ulikhet i stedet for det mye mer kompliserte trikset med tette delmengder og uniform (Lipschitz) kontinuitet fra Prop. 6. Jeg foreleste det forbedrede beviset, og oppdaterer notatet i etterkant.
9 okt Fredag: Perrons metode, avslutning med barrierer. Start på funksjonsrom
42 B 7, 10.1, 10.3, 10.4 Funksjonsrom, svak derivasjon
14 okt Onsdag: Diverse om funksjonsrom (kap 7, studentene forventes å lese dette kapitlet mye på egen hånd). Deretter start på kapittel 10.
16 okt ​ Fredag: Sobolevrom (10.3), regularitet (10.4) – Vi hopper over 10.2 foreløpig
Notat: Om randverdier i Sobolev-forstand (boundary traces) (A5 for skjerm · A4 for papir)
43 B 10.5, 11.1, 11.2, 11.3 Sobolevrom, mm
21 okt Onsdag: Fortsetter der vi slapp i 10.4 …
Det var ingen auditorieforelesning. Video til erstatning for forelesningen ligger nedenfor.
Del 1 (15:06) Sobolev-regularitet (periodisk)lysark») til dels repetisjon fra sist fredag, mye raskere i starten, langsommere med nye detaljer på slutten
Del 2 (06:19) Sobolev-regularitet (lokal versjon)lysark»)
Del 3 (32:59) Svake løsninger av Poisson-ligningen og Dirichlets prinsipplysark»)
23 okt Fredag: Tilbake i auditoriet! Poincarés ulikhet, kvadratiske former og koersivitet, eksistens av minimum for Dirichlet-funksjonalen (og dermed svake løsninger for Dirichlet-problemet).
44 B 11.4–11.7 Elliptisk regularitet, egenverdier for Laplaceoperatoren, …
23 okt ​ Onsdag: Elliptisk regularitet, kompakthet
30 okt ​Fredag: Spektralteoremet for Laplace-operatoren med Dirichlet randbetingelser
Håndskrevet notat: kompakthet (fordi det ikke er dekket så godt i Lineære metoder?)
– se også avsnitt 2.8 i C. Heil: Metrics, Norms, Inner Products, and Operator Theory.
45 B 11.8, 12.2–12.4 Euler–Lagrange-ligningene, distribusjonsteori
4 nov Onsdag: Euler–Lagrange, start på distribusjonsteori
6 nov Fredag: Distribusjoner fortsatt; konvolusjon, fundamentalløsninger
46 B 12.6, 10.2 Tidsavhengige distribusjoner, svake løsninger av bevaringslover
11 nov Onsdag: Tidsavhengige distribusjoner og fundamentalløsninger.
13 nov Fredag: Svake løsninger av bevaringslover – med mer bruk av distribusjonsteori enn i boken
47 Siste uke med forelesninger. Litt om karakteristikker og klassifikasjon av PDEer, Cauchy–Kowalevskaya, regning av eksamensoppgaver
18 nov Onsdag: Karakteristikker og klassifisering av 2. ordens kvasilineær PDE \(au_{xx}+2bu_{xy}+cu_{yy)=d\). Cauchy–Kowalevskaya. Litt om distribusjonsløsninger til bølgeligningen.
20 nov Fredag: Siste forelesning. Regnet eksamen fra august 2020, og siste oppgave fra desember 2019.
Referanse for første tema i onsdagsforelesningen: Avsnitt 2.1 i Fritz John (SpringerLink; du må være innenfor NTNUs nett fysisk eller på VPN. Du trenger bare kapittel 2, The Cauchy Problem for Higher Order Equations – og bare de første to-tre sidene. Notasjonen avviker litt fra min.)
2021-04-05, Harald Hanche-Olsen